1.4.1&1.4.2空间图形基本关系的认识 空间图形的公理课件( 北师大版必修2 )


文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互 关系 (1)符号语言简洁,层次感强,应用方便. (2)文字语言比较自然、生动,它能将问题所研究的对象的

含义更加明白地叙述出来,因此教科书中的概念、定理、
公理等多以文字语言叙述.

(3)图形语言易引起清晰的视觉形象,它能直观地表达概念、 公理、定理的本质及相互关系,在抽象的数学思维面前起 着具体化和加深理解的作用.

【例1】依据下列数学符号语言画出图形:
(1)α ∩β =l, m? α ,n? β , m∥l, n∥l;

(2)α ∩β =l,直线PO? α ,直线PO∩直线l=O,直线
PA∩β =A,直线PB∩β =B; (3)α ∩β =a,△ABC的三个顶点满足条件A∈a,B∈α , B? ?a,C∈β ,C ? ?a. 【审题指导】先从总体分析可知:三个小题中都有两个平 面相交,再从局部分析两个平面交线及平面内点、线的位 置,按由总体到局部的顺序作图.

【规范解答】 (1)

(2)

(3)

共面问题

1.证明共面问题的依据
(1)公理2是确定平面的依据.它提供了把空间问题转化为平

面问题的条件.

(2)公理2的三个推论 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

2.解决线共面问题的基本方法:

在空间图形中确定平面,把立体几何问题 转化为平面几何问题,是解决立体几何问题的常用方法 .

【例2】已知A、B、C、D、E五点,A、B、C、D共面,B、C、
D、E共面,则A、B、C、D、E五点一定共面吗? 【审题指导】本题是一个开放性问题,由A、B、C、D共面, B、C、D、E共面可考虑分B、C、D三点不共线和B、C、D三 点共线两类讨论.

【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线,则它们确定一 个平面α.因为A、B、C、D共面,所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面,所以点E在平面α内,所以点A、E都在平 面α内,即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l,若A∈l,E∈l,则A、B、C、

D、E五点一定共面.若A,E有且只有一个在l上,则A、B、C、
D、E五点一定共面.若A,E都不在l上,则A、B、C、D、E五

点可能不共面.

点共线与线共点的问题

1.证明点共线与线共点的问题的理论依据
(1)证明点共线与线共点的实质都是要证明点在直线上.

(2)公理3是证明点在直线上的主要方法,其基本理论是把
直线看作两平面的交线,点看作是两平面的公共点.可用数 学符号表示为若α ∩β =l,A∈α ,A∈β ,则A∈l.

2.证明若干点共线的思路
找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两个平面的 公共点. 3.证明若干直线共点的思路 先证两条直线交于一点,再证明其他直线经过该点,把问 题转化为证明点在直线上的问题.

【例3】如图,空间四边形ABCD中,

E、H分别是AB、AD的中点,F、G分
别是BC、CD上的点,且 CF ? CG ? 2 .
CB CD 3

求证:三条直线EF、GH、AC交于一 点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点,可先证 直线EF与GH交于一点P,然后再证该交点P在直线AC上.

【规范解答】∵E、H分别是AB、AD的中点,

∴EH∥BD, EH= 1 BD.
? CF CG 2 2 ? ? , ? GF ∥BD,GF ? BD, CB CD 3 3 2

∴EH∥GF且EH≠GF,
∴四边形EFGH为梯形, ∴两腰EF、GH交于一点P.

∵EF? 平面ABC, ∴P∈平面ABC,同理P∈平面ADC, ∴P在平面ADC和平面ABC的交线AC上, ∴三条直线EF、GH、AC交于一点.

截面及平面与平面交线的画法

1.作两个平面的交线的基本思路

由公理3可知作两个平面的交线,只要确定这两个平面的两
个公共点就可以解决了.

2.作某几何体的截面的基本思路
(1)利用公理2确定截面位置. (2)利用公理3画截面与几何体表面的交线.

【例】如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线 上一点,E、F是棱AB、BC的中点.试分别画出过下列各点、 直线的平面与正方体表面的交线. (1)过点G及AC; (2)过三点E、F、D1.

【审题指导】画截面的本质是确定截面与正方体表面的交 线,也就是要确定截面与正方体表面的两个公共点 . 【规范解答】(1)画法:连接GA交A1D1于点M,连接GC交C1D1 于点N;连接MN、AC,则MA、CN、MN、AC为所求平面与正方 体表面的交线.如图①所示.

(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q; 连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF、NE,则 D1M、MF、FE、EN、ND1为所求平面与正方体表面的交线 .如 图②所示.

【典例】(12分)如图所示,正方

体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是
A1B1和B1C1的中点.问:

(1)AM和CN是否是异面直线?
(2)D1B和CC1是否是异面直线? 请说明理由. 【审题指导】根据异面直线的定义判定两条直线异面,比 较困难.通常选取一个平面作为衬托,进行判断.

【规范解答】(1)不是异面直线.理由如下:连接A1C1、AC、 MN,????????????????????1分 ∵在△A1B1C1中,M、N分别是A1B1和B1C1的中点,

∴MN是△A1B1C1的中位线,
∴MN∥A1C1. ??????????????????2分

又∵A1A∥D1D,A1A=D1D,D1D∥C1C,D1D=C1C,
∴A1A∥C1C,A1A=C1C,∴四边形A1ACC1是平行四边形,

???????????????????????4分
∴A1C1∥AC,得到MN∥AC, ∴A、M、N、C在同一个平面内,故AM、CN不是异面直线. ???????????????????????6分

(2)是异面直线.理由如下:???????????7分 ∵直线CC1?平面BB1C1C,????????????8分

直线D1B∩平面BB1C1C=B, ???????????10分
且 B? ? 直线CC1, ∴D1B与CC1是异面直线. ???????????? 12分

【误区警示】在解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α 外”,正确的是 ( (A)A∈l,l? α (C)A ?l,l ? α (B)A∈l,l? ?α (D)A? l,l? ?α )

【解析】选A.集合观点下表示点、线、面的位置关系 .点与 线、点与面是元素与集合的关系,直线与平面是集合与集 合的关系,故A正确.

2.下列图形中不一定是平面图形的是( (A)三角形

)

(B)四边相等的四边形

(C)梯形

(D)平行四边形

【解析】选B.由互相平行的两条直线确定一个平面知 C、D

是平面图形,由相交的两条直线确定一个平面知A是平面图
形,四边相等的四边形可能是空间四边形,故 B不一定是平 面图形.

3.如图在四面体中,若直线EF和GH相交, 则它们的交点一定( (A)在直线DB上 (B)在直线AB上 (C)在直线CB上 (D)在直线AC上 )

【解析】选D.设直线EF∩直线GH=P, 则P∈直线EF? 平面ABC, P∈直线GH ?平面ACD.

又平面ABC∩平面ACD=直线AC, 所以由公理3知P∈直线AC.

4.对于结论“若a

α 且a∩b=P,则P∈α ”,用文字语言

可以叙述为__________. 【解析】若直线a在平面α内且直线a与直线b相交于一点P, 则点P一定在平面α内. 答案:若直线a与直线b相交于一点P且直线a在平面α内,则 点P一定在平面α内

5.画出满足下列条件的图形: (1)三个平面:一个水平,一个竖直,一个倾斜; (2)α ∩β =l,直线AB EF∩β =F,F ?l. α ,AB∥l,E∈直线AB,直线

【解析】(1)

(2)

一、选择题(每题4分,共16分) 1.(2011·郑州高一检测)下列叙述中错误的是( (A)若P∈α ∩β 且α ∩β =l,则P∈l )

(B)三点A,B,C只能确定一个平面
(C)若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面

(D)若A∈l,B∈l且A∈α ,B∈α ,则l? α
【解析】选B.只有不共线的三个点才能确定一个平面,因 此B错误.由公理1知D正确,由两条相交直线可以确定一个 平面的推论知C正确,由公理3知A正确.

2.以下叙述正确的有(

)

(1)若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面 (2)依次首尾相接的四条线段必共面. (3)空间四点A、B、C、D共面但不共线,则AB、BC、CD、DA 四条直线中总有两条直线平行. (4)空间四点A、B、C、D共面但不共线,则AB与CD必相交. (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

【解析】选A.(1)错误.因为共面不具有传递性. (2)错误.依次首尾相接的四条线段可形成空间四边形,不 一定共面. (3)错误.若空间四点A、B、C、D共面但不共线,则AB,BC, CD,DA有可能两两相交. (4)错误.若空间四点A、B、C、D共面但不共线,则AB与CD 可以平行.

3.(2011·桂林高一检测)下列说法正确的是(
(A)平面α 和平面β 只有一个公共点 (B)两两相交的三条直线必共面 (C)不共面的四点中,任何三点不共线 (D)有三个公共点的两平面必重合

)

【解析】选C.两平面若有公共点,则有无数个,故A错误;
两两相交的三条直线若交于一点(如同一顶点正方体的三条 棱),可能不共面,故B错误;C正确,因为四点中若有三点 共线,则与第四个点确定一个平面,这与四点不共面矛盾; D错误,因为有三个公共点的平面可能相交.

4.(2011·西宁高一检测)已知α ,β ,γ 是平面,a,b,c是直
线,α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c,若a∩b=P,则( )

(A)P∈c
(C)c∩a=?

(B)P? ?c
(D)c∩β =?

【解题提示】根据题目条件推断P∈α,P∈γ,进而 由公理3推出P在α与γ的交线上. 【解析】选A.∵a∩b=P,∴P∈a且P∈b. 又∵a ?α,b ?γ,∴P∈α且P∈γ. 又∵α∩γ=c,∴P∈c.

二、填空题(每题4分,共8分)
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 下列叙述正确的是____________. (1)直线AC1 ?平面CC1B1B; (2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心 分别为O、O1,则平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1;

(3)点A、O、C只能确定一个平面;

(4)由点A、C1、B1确定的平面是ADC1B1;
(5)由点A、C1、B1确定的平面和由点A、C1、D确定的平面是 同一平面.

【解析】(1)错误.若直线AC1? 平面CC1B1B,则A∈平面 CC1B1B,这与正方体中A? ? 平面CC1B1B矛盾; (2)正确.因为O、O1是这两个平面的两个公共点; (3)错误.因为点A、O、C在一条直线上;

(4)正确.因为点A、C1、B1不共线,所以确定一个平面α. 又因为AB1C1D是平行四边形,过AD与B1C1两平行线确定一个 平面β,又α,β都过不共线三点A,C1,B1,所以α与β重合, 所以点D∈平面AC1B1,即A、C1、B1确定的平面是ADC1B1;

(5)正确.原因类似(4).
答案: (2)(4)(5)

6.将正方体纸盒展开(内表面如图所示),关于直线BM、ED、 CN、DN、BE的叙述正确的是__________. (1)BM与ED平行; (2)CN与BM是异面直线;

(3)CN与BE是异面直线;
(4)DN与BM是异面直线.

【解析】把平面图形还原为正方体
如图所示,正确的是(2)(4),观察 图形,根据两直线平行或异面的定 义可知,BM与ED是异面直线,CN与 BE平行,故(1)(3)错误. 答案:(2)(4)

【误区警示】解答本题容易出现以下错误:(1)还原 为正方体时,各点在正方体中的位置出错 .(2)对异面直线 的判定方法不熟,而导致错误.

三、解答题(每题8分,共16分)

7.(2011·日照高一检测)如图,在
△ABC中,若AB、BC在平面α 内,判

断AC是否在平面α 内.
【解析】AC在平面α内, ∵AB在平面α内,∴A在平面α内,又∵BC在平面α内, ∴C在平面α内.∴点A、C都在平面α内, ∴直线AC在平面α内.

8.(2011·海口高一检测) 已知,α ∩β =m,b ?α ,

c? β ,b∩m=A,c∥m,
求证: b,c是异面直线.

【证明】假设b与c共面,则b∥c或b与c相交.
①若b∥c,由c∥m得m,b平行,这与m∩b=A矛盾. ②若b与c相交,不妨设c∩b=B,∵c? β,b ?α,

故B∈β,B∈α,故B必在α、β的交线m上,即m与c相交 于点B,这与m∥c矛盾,故b与c不相交. 综合①②知,b与c是异面直线.

【方法技巧】巧证两条直线异面
(1)用定义证明:此时需要反证法,假设两条直线不异面, 根据空间两条直线的位置关系,这两条直线一定共面,即 这两条直线可能相交也可能平行,然后推导出矛盾,说明 相交和平行都不成立. (2)用重要结论证明:用该法证明时,必须阐述清楚此结论 满足的条件:a? α,A? ?a,然后推导出 ? α,B∈α,B ? 直线a与AB是异面直线.

【挑战能力】 (10分)如图,定线段AB所在的直线与 定平面α 相交,交点为O,P为定直线 外一点,P ? ?α ,直线AP、BP与平面 α 分别相交于A′,B′,试问,如果P

点任意移动,直线A′B′是否恒过一
定点,请说明理由.

【解析】随着P点移动,直线A′B′恒过定点O,O为直线AB
与平面α的交点.理由如下: 直线AB和直线外一点P可确定平面β,因为AP∩α=A′, BP∩α=B′,所以α∩β=A′B′,而AB∩α=O,所以O一 定在交线A′B′上,即直线A′B′恒过定点O.


相关文档

1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理(公理1、2、3)课件(北师大版必修二)
高中数学第一章1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理(一)课件北师大版必修2
立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理(一)课件北师大版必修2
高中数学北师大版必修二课件:第一章 4.1 空间图形基本关系的认识-4.2 空间图形的公理(一)
高中数学北师大版必修二课件第一章 4.1 空间图形基本关系的认识-4.2 空间图形的公理(一)
【推荐】北师大版必修2高中数学1.4.1&1.4.2空间图形基本关系的认识 空间图形的公理课件.ppt
1.4.1-2《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(1、2、3)》课件(北师大版必修2)
北师大版高中数学必修二课件1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理(公理1、2、3)
北师大版必修2高中数学1.4.1&1.4.2《空间图形基本关系的认识 空间图形的公理》ppt课件
北师大版高中数学必修二课件4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1,2,3)
电脑版
?/a>