《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)必修13.4.2习题课_图文


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【学习要求】 1.进一步掌握常用的函数模型,并会应用它们来解决实际问题; 2.提高在面临实际问题时, 通过自己建立函数模型来解决问题的 能力.

试一试·双基题目、基础更牢固

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1.某商店出售 A、B 两种价格不同的商品,由于商品 A 连续两次提价 20%,同时商品 B 连续两次降价 20%,结果都以每件 23 元售出,
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若商店同时售出这两种商品各一件, 则与价格不升不降时的情况比

少赚约6元 较,商店盈利情况是_______________.
解析 设 A、B 两种商品的原价为 a、b, 23×25 23×25 2 2 则 a(1+20%) =b(1-20%) =23?a= ,b= , 36 16 a+b-46≈6(元).

试一试·双基题目、基础更牢固
2.某电信公司推出两种手机收费方式: 种方式是月 A 租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网 内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数 关系如图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式
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10 电话费相差________元.
解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 S=k1t+20,B 种方式对应的函 数解析式为 S=k2t, 1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=5,t=150 时,150k2-150k1 1 -20=150×5-20=10.

试一试·双基题目、基础更牢固

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3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 l1 =5.06x-0.15x2 和 l2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司

45.6 在这两地共销售 15 辆车,则可能获得的最大利润为________万元.
解析 设该公司在甲地销售 x 辆,
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则在乙地销售(15-x)辆.
由题意可知所获利润 l=5.06x-0.15x2+2(15-x) =-0.15(x-10.2)2+45.606.

当 x=10 时,lmax=45.6(万元).

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4.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y =ekt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),

2ln 2 则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖为________个. 1 024
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解析

当 t=0.5 时,y=2,
1 k 2

∴2= e ,∴k=2ln 2,

∴y=e2tln 2,当 t=5 时, ∴y=e10ln 2=210=1 024.

研一研·题型解法、解题更高效

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题型一
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分段函数模型的应用

例 1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.

(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 004 km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数 解析式,并作出相应的图象.

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解 =360.

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(1)阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1

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阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360 km. ?50t+2 004, 0≤t<1, ? ?80?t-1?+2 054, 1≤t<2, ? (2)根据图,有 s=?90?t-2?+2 134, 2≤t<3, ? ?75?t-3?+2 224, 3≤t<4, ?65?t-4?+2 299, 4≤t≤5. ? 这个函数的图象如图所示.

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小结
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(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,

可以先将其当作几个问题, 将各段的变化规律分别找出来, 再将其 合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不 漏.

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跟踪训练 1 某游艺场每天的盈利额 y 元与售出的门票数 x 张之间的关 系如下图所示,试问盈利额为 750 元时,当天售出的门票数为多少?

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根据题意,每天的盈利额 y 元与售出的门票数 x 张之间的函数 ?0≤x≤400? 000 ?400<x≤600? .

?3.75x ? 关系是:y=? ?1.25x+1 ?

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①当 0≤x≤400 时,由 3.75x=750,得 x=200.
②当 400<x≤600 时,由 1.25x+1 000=750, 得 x=-200(舍去).
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综合①和②,盈利额为 750 元时,当天售出的门票数为 200 张. 答 当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元.

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题型二 选择函数的拟合问题 例 2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

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160

170

体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

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(1)根据表中提供的数据, 能否建立恰当的函数模型, 使它能比较近似地反 映这个地区未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系?试写出这个函 数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏 瘦,那么这个地区一名身高为 175 cm,体重为 78 kg 的在校男生的体重是 否正常?

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解 (1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.

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本 课 根据点的分布特征,可考虑以 y=a·x 作为刻画这个地区未成年男性的 b 时 栏 体 重 与 身 高 关 系 的 函 数 模 型 . 如 果 取 其 中 的 两 组 数 据 (70,7.90) , 目 ? 7.9=a·70 b 开 (160,47.25),代入 y=a·x 得:? ? b ,用计算器算得 a≈2, 关 ? 47.25=a·160 b ?

b≈1.02.这样, 我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x.将已知数据代入 上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型 与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年 男性体重与身高的关系.

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(2)将 x=175 代入 y=2×1.02x 得 y=2×1.02175, 由计算器算得 y≈63.98. 由于 78÷ 63.98≈1.22>1.2, 所以,这个男生偏胖.
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跟踪训练 2

习题课 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响, 在山上建立

了一个观察站,测量最大积雪深度 x 与当年灌溉面积 y.现有连续 10 年 的实测资料,如表所示. 年序 1
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最大积雪深度 x(cm) 15.2 10.4 21.2 18.6 26.4 23.4 13.5 16.7 24.0 19.1

灌溉面积 y(公顷) 28.6 21.1 40.5 36.6 49.8 45.0 29.2 34.1 45.8 36.9

2 3 4 5 6 7 8 9 10

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(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象;

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(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型,并画出图象; (3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为 25 cm,可以灌溉土 地多少公顷?
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解 (1)利用计算机几何画板软件,描点如图甲.

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灌溉面积 y 和最大积雪深度 x 满足线性函数模型 y=a+bx. 取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入 y=a+bx,得
?21.1=a+10.4b ? ? ?45.8=a+24.0b ?

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(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设



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用计算器可得 a≈2.4,b≈1.8.

这样,我们得到一个函数模型:y=2.4+1.8x.作出函数图象如图乙,可以 发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反 映积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由 y=2.4+1.8×25,求得 y=47.4,即当积雪深度为 25 cm 时,可以灌 溉土地 47.4 公顷.

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题型三 例3 对数函数模型的应用

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1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿人口日”, 提出了“人类对生育的

选择将决定世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们 的面前.
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(1)世界人口在过去 40 年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少? (2)我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿,若将人口平均增长率控制在 1% 以内,我国人口在 2008 年底至多有多少亿? 以下数据供计算时使用: 数N 数N 1.010 3.000 1.015 5.000 1.017 12.48 1.310 13.11 2.000 13.78 对数 lg N 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 对数 lg N 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2

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解 (1)设每年人口平均增长率为 x,n 年前的人口数为 y,

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则 y· (1+x)n=60,则当 n=40 时,y=30,即 30(1+x)40=60, ∴(1+x)40=2, 两边取对数,则 40lg (1+x)=lg 2, lg 2 则 lg (1+x)= ≈0.007 526, 40 ∴1+x≈1.017,得 x=1.7%.

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(2)依题意,y≤12.48(1+1%)10, 得 lg y≤lg 12.48+10×lg 1.01≈1.139 2, ∴y≤13.78,故人口至多有 13.78 亿.

答 每年人口平均增长率为 1.7%,2008 年人口至多有 13.78 亿.

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小结

(1)解决应用题的基础是读懂题意,理顺数量关系,关键是正

确建模,充分注意数学模型中元素的实际意义. f(x)=mlogax+n(m, a 为常数, n, 本 (2)对数函数模型的一般表达式为: 课 时 a>0,a≠1). 栏 目 开 关

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跟踪训练 3 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬,研究燕子的 Q 科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v=5log2 ,单 10 位是 m/s,其中 Q 表示燕子的耗氧量. (1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
本 课 (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速度是多少? 时 解 (1)由题意知,当燕子静止时,它的速度为 0,代入题目所给公式 栏 目 可得 0=5log Q . 2 10 开 关

解得 Q=10,即燕子静止时的耗氧量为 10 个单位.

(2)将耗氧量 Q=80 代入公式得: 80 v=5log210=5log28=15 (m/s), 即当一只燕子耗氧量为 80 个单位时,速度为 15 m/s.

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1.函数模型的应用实例主要包括三个方面 (1)利用给定的函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题.

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2.函数拟合与预测的一般步骤 (1)能够根据原始数据、表格,绘出散点图; (2)通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线, 即拟合直 线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,
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滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用 中,这种情况是一般不会发生的.因此,使实际点尽可能均匀 分布在直线或曲线两侧,使两侧的点大体相等,得出的拟合直 线或拟合曲线就是“最贴近”的了; (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系 式; (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制, 为 决策和管理提供依据.


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