圆的标准方程导学案(规范)


数学必修?

4.1.1 圆的标准方程
编写人:田勇 班级 审核:高二数学组 组名: 时间:2013-01-15 姓名

【学习目标】 A 级目标:掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程; B 级目标:会求圆的标准方程,了解圆的标准方程的简单应用。 【重点难点】 重点:圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的特点; 难点:会根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 【学习过程】 一、问题提出 1. 在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也确定一条直线,那么 在什么条件下可以确定一个圆呢?

2. 直线可以用一个方程表示, 圆也可以用一个方程来表示吗?怎样建立圆的方程是 我们需要探究的问题.

二、合作探究 探究一:圆的标准方程 思考 1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中,圆是怎样定义的? 如何用集合语言描述以点 A 为圆心,r 为半径的圆?

思考 2:确定一个圆最基本的要素是什么?

思考 3:设圆心坐标为 A(a,b),圆半径为 r,M(x,y)为圆上任意一点,根据圆的定 义 x,y 应满足什么关系?

思考4:对于以点A(a,b)为圆心,r为半径的圆,由上可知,若点M(x,y)在圆上,则点 M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ;反之,若点M(x,y)的坐标适合方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 ,那么点M一定在这个圆上吗?

思考5:那么确定圆的标准方程需要几个独立条件?

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思考6:以原点为圆心,1为半径的圆称为单位圆,那么单位圆的方程是什么? 随堂巩固: 1、写出下列圆的标准方程 ①圆心为 A(-2,-3)半径为 5 ②圆心为(-3,4)半径为 3

2、求下列圆的圆心,坐标与半径 ①(x-3) +(y+2) =16
2 2

②(x+1) +(y+2) =2

2

2

③x +y =1

2

2

探究二:点与圆的位置关系 思考7:在平面几何中,初中学过:点与圆有哪几种位置关系?

思考8:在初中平面几何中,如何确定点与圆的位置关系? 思考 9:在直角坐标系中, 如何利用方程判断一个点 P (x0,y0) 是在圆 (x-a)+(y-b) =r 的内部还是外部? 分析:设 P 到圆心 A 的距离|PA|=d,由圆定义知
2 2 2

d=r?点 P 在圆上
优化

d>r? d<r?

d=r? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r ?(x-a)2+(y-b)2=r2 d<r? d<r? ? ?

结论: (x0-a) +(y0-b) =r2? 在圆上
2 2

? 在圆内 ? 在圆外 三.知识应用 例 1.写出圆心为 A(2,-3)半径为 5 的圆的标准方程,并判断点 M1(5,-1) ,M2 (-1,-3)是否在这个圆上?

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例 2. Δ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它 的外接圆的方程。

四.突破疑难 例 3. 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1, 1)和 B(2, -2),且圆心 C 在直线上 l: x -y +1=0,求圆心为 C 的圆的标准方程.

【当堂检测】 1、已知两点 P1(4,9) ,P2(6,3) ,求以线段 P1P2 为直径的圆的方程,并判断点 M (6,9) ,N(3,3) ,Q(5,3)在圆上、在圆内、还是在圆外(可利用计算器)?

2 求以点 A(1, 2) 为圆心,并且和 x 轴相切的圆的标准方程;

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3、已知Δ AOB 的顶点坐标分别是 A(4,0) ,B(0,3) ,O(0,0) ,求Δ AOB 外接圆 的方程。

【课后反思】 1.今天你的收获是什么? 2.你有哪些方面需要努力? 【课后巩固提高】 1.圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 13 的周长和面积分别为( )

( A) 26? ,169? ( B ) 2 13? ,13? (C ) 26? ,13? ( D) 2 13? ,169? 2 2 2.若点 (1, 2) 在圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? m 的内部,则实数 m 的取值范围是( ) ( A) 0 ? m ? 10 (C ) m ? 10 ( B ) 0 ? m ? 10 ( D) m ? 10
2 2

3.自点 A(?1, 4) 作圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 的切线,则切线长为

.

4.圆 C 与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切于点 P(1,1) ,且圆心到 y 轴的距离等于 2 ,求圆 C 的方程

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