广西桂梧高中2017-2018学年高一下学期第一次月考数学A试题 含解析 精品


桂梧高中 2017—2018 年度第二学期月考(1) 高一数学试题(A)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分。每小题只有一个正确答 案)
1. 已知集合 A. B. C. D. 或 中只有一个元素,则 ( )

【答案】D 【解析】当 D. 2. 函数 A. 【答案】C 【解析】函数的定义域为不等式组 的解集,解得 ,故选 C. ) B. 的定义域为 ( C. ) D. 时, ,方程有一个解,当 时,判别式 ,解得 .故选

3. 有 5 件产品, 其中 3 件正品, 2 件次品, 从中任取 2 件, 则互斥而不对立的两个事件是( A. 至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 C. 至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 【答案】B 【解析】有 5 件产品,其中 3 件正品,2 件次品,从中任取 2 件, B. 恰有 1 件次品与恰有 2 件正品 D. 至少有 1 件次品与都是正品

在 A 中,至少有 1 件次品与至多有 1 件正品能同时发生,不是互斥事件,故 A 错误; 在 B 中,恰有 1 件次品与恰有 2 件正品不能同时发生,但能同时不发生,是互斥 而不对立的两个事件,故 B 正确; 在 C 中,至少有 1 件次品与至少有 1 件正品能同时发生,不是互斥事件,故 C 错误; 在 D 中,至少有 1 件次品与都是正品是对立事件,故 D 错误。 本题选择 B 选项.
4. 8 弧度的角的终边所在的象限为 ( )

A. 第一象限
【答案】B 【解析】由于 5. 函数 A. 【答案】A 【解析】函数 B.

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

,故为第二象限角,选 B. 图象恒过点 ,下列函数图象不过点 是 ( C. D. )

过定点为

,代入选项验证可知 A 选项不过 点,故选 A.

6. 央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏,下面的茎叶图是两位 选手在个人追逐赛中的比赛得分,则下列说法正确的是( )

A. 甲的平均数大于乙的平均数 C. 甲的方差大于乙的方差 【答案】C 【解析】由茎叶图,知:

B. 甲的中位数大于乙的中位数

D. 甲的平均数等于乙的中位数

, , , , 甲的中位数为:26,乙的中位数为:28, ∴甲的方差大于乙的方差。 本题选择 C 选项.
7. 为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了《三国演义》 、 《水浒传》 、 《红楼梦》和《西 游记》若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学 期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】试题分析: 考点:古典概型 8. 设函数 A. B. C. D. ,则 ( ) ,故选 B.

【答案】C

考点:1、分段函数的解析式;2、对数与指数的性质. 9. 阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】试题分析: , 运行第二次, ,运行第三次, ,运行第四次, ,运行第五次, 输出的值 9,结束 故选 B. 考点:1、对数的运算;2、循环结构. 运行第一次, , , , , , 不成立; 不成立; 不成立; 成立; 不成立;

视频 10. 某单位有 名职工现采用系统抽样方法抽取 人做问卷调查,将 的人数为( ) 人按 , ,…,

随机编号,则抽取的 人中,编号落入区间 A. B. C. D.

【答案】C 【解析】 11. 设 A. ,每 人为一组,故落在区间 ,角 的终边经过点 B. C. D. ,那么 的人数为 ( ) 人,所以选 C.

【答案】A 【解析】依题意有 ,故选 A. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义,三角函数的正负.对于给定角的终边上一点,求出 角的正弦值,余弦值和正切值的题目,首先根据三角函数的定义求得 函数的定义,可直接计算得 函数的正负. 12. 已知底面半径为 的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为 为( A. 【答案】D ) B. C. D. 或 的球面上,则该圆锥的体积 ,然后利用三角 ,所以 ,所以

.本题由于点的坐标含有参数,要注意三角

【解析】

由题意圆锥底面半径为

,球的半径为

如图设

, 则 所以,圆锥的体积为 ,圆锥的高 或

或 故选 D.

.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分。 )
13. 如图,在边长为 1 的正方形中,随机撒豆子,其中有 1000 粒豆子落在正方形中,180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为_________.

【答案】0.18 【解析】试题分析:此为几何概型,正方形的面积为 1,设阴影面积为 x,所以 ,故填:0.18. 考点:几何概型 14. 把 【答案】 【解析】 15. 已知 【答案】 【解析】令 ,则 ,故 ,故 . ,则 ,故填 . 化为 的形式是___________.

_____________.

16. 已知 终边在第四象限,则 终边所在的象限为_______________. 【答案】第三象限或第四象限或 轴负半轴

【解析】由于 是第四象限角,故 第四象限或 轴负半轴”.

,故

,即 终边在” 第三象限或

三、解答题 (本大题共 6 小题,17 题 10 分,其余 5 题每题 12 分,共 70 分。 解答应有文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 一个盒子中装有 5 张编号依次为 1、 2、 3、 4、 5 的卡片, 这 5 张卡片除号码外完全相同. 现 进行有放回的连续抽取 2 次,每次任意地取出一张卡片. (1)求出所有可能结果数,并列出所有可能结果; (2)求事件“取出卡片号码之和不小于 7 或小于 5”的概率. 【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】试题分析:

(1)由题意可知,共有 25 种结果,一次列出所有可能的结果即可; (2)结合题意和(1)中列出的结果可得事件“取出卡片号码之和不小于 7 或小于 5”的概率是 . 试题解析: (1)所有可能结果数为:25. 所有可能结果为: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5). (2)记 记 “取出卡片号码之和小于 7”,事件 的频数为 10,则 , . ,

“取出卡片号码之和小于 5”,事件 的频率为 6,则

∴事件“取出卡片号码之和不小于 7 或小于 5”的概率

18. 假设关于某种设备的使用年限 (年)与所支出的维修费用 (万元)有如下统计资料: x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

已知



.



(1)求 , ; (2) 与 具有线性相关关系,求出线性回归方程; (3)估计使用年限为 10 年时,维修费用约是多少? 【答案】 (1) , ; (2) ; (3)12.38 .(2)利用回归直线方程计算公式计算出 ,由

【解析】试题分析:(1)利用平均数公式计算出 此求得回归直线方程.(3)将 试题解析: (1) = = =4, =5.

代入回归直线方程,求得维修费用预报值.

(2) =



=1.23,

= -

=5-1.23×4=0.08.

所以线性回归方程为 =1.23x+0.08. (3)当 x=10 时, =1.23×10+0.08=12.38(万元), 即估计使用年限为 10 年时,维修费用约为 12.38 万元. 19. 计算: (1)

(2)

【答案】 (1) ; (2)

【解析】试题分析:(1)利用对数运算公式化简式子.(2)利用三角函数诱导公式,根据”奇变偶不 变,符号看象限”,化简原式. 试题解析: (1)原式= =

(2)原式= 20. 某加油站 20 名员工日销售量的频率分布直方图,如图所示: (1)补全该频率分布直方图在[20,30)的部分,并分别计算日销售量在[10,20) ,[20,30) 的员工数; (2)在日销量为[10,30)的员工中随机抽取 2 人,求这两名员工日销量在[20,30)的概 率.

【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】试题分析: (1)先根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为 1,得[20,30) 的小矩形面积, 根据小长方形面积等于组距与纵坐标的乘积得小矩形高度; 根据小长方形面 积等于对应区间概率得概率,再根据频数等于总数与频率乘积得结果; (2)先根据小长方形 20) [20, 30) 面积计算[10, , 人数, 根据枚举法确定总事件数, 再确定两名员工日销量在 [20, 30)的事件数,最后根据古典概型概率公式求概率. (0.010+0.030+0.025+0.015)=0.2, 试题解析: 解: (Ⅰ) 日销售量在[20,30) 的频率为 1﹣10× 故销售量在[20,30)的小矩形高度为=0.02, ∴频率分布图如上图所示: 10× 0.010=2, 日销售量在[10,20)的员工数为:20× 10× 0.020=4. 日销售量在[20,30)的员工数为:20× (Ⅱ)由(Ⅰ)知日销售量在[10,30)的员工共有 6 人,在[10,20)的员工共有 2 人,令

为 a,b 在[20,30)的员工有 4 人,令为 c,d,e,f,从此 6 人中随机抽 2 人,基本事件为: , 故基本事件 总数 n=15, 这 2 名员工日销售量在[20,30)包含的基本事件为: m=6, ∴这两名员工日销量在[20,30)的概率 p= . , 个数

21. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,

(1)证明:PA∥平面 EDB (2)证明:平面 BDE 平面 PCB

【答案】 (1)见解析; (2)见解析 【解析】试题分析: (1)取 BD 中点 O,由三角形中位线性质得 OE//PA,再根据线面平行 判定定理得结论, (2)先根据等腰三角形性质得 DE 垂直 PC,再根据 PD 垂直平面 ABCD 得平面 PDC 垂直平面 ABCD,再根据 ABCD 是正方形得 CD 垂直 BC,因此由面面垂直性质定 理得 BC 垂直平面 PCD,即 BC 垂直 DE,最后根据线面垂直判定定理得 DE 垂直平面 PBC, 即得平面 BDE 平面 PCB.

试题解析:(1)取 BD 中点 O,则 OE//PA,所以 PA//平面 EDB (2)由条件得 PD 垂直 EDB,所以 PD 垂直 BC,又 CD 垂直 BC,所以 BC 垂直 PCD,即 BC 垂直 DE,又 DE 垂直 PC,所以 DE 垂直平面 PBC,即平面 BDE 平面 PCB.

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 22. 已知点 及圆 : .

(1)若直线过点 且与圆心 的距离为 ,求直线的方程. (2)设直线 分弦 与圆 交于 , 两点,是否存在实数,使得过点 的直线 垂直平

?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由. ; (2)见解析

【答案】 (1)

【解析】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于 建立方 程,解出子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为 ,经验证可知也

符合.(2)将直线方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平 分线经过圆心”,求出直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在. 试题解析: (1)设直线 l 的斜率为 k(k 存在),则方程为 y-0=k(x-2),即 kx-y-2k=0. 又圆 C 的圆心为(3,-2),半径 r=3, 由 =1,解得 k=- .

所以直线方程为

,即 3x+4y-6=0.

当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2,经验证 x=2 也满足条件 (2)把直线 y=ax+1 代入圆 C 的方程,消去 y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 由于直线 ax-y+1=0 交圆 C 于 A,B 两点, 故 Δ =36(a-1)2-36(a2+1)>0, 解得 a<0.

则实数 a 的取值范围是(-∞,0). 设符合条件的实数 a 存在. 由于 l2 垂直平分弦 AB,故圆心 C(3,-2)必在 l2 上.所以 l2 的斜率 kPC=-2. 而 kAB=a=- 由于 ,所以 a= .

,故不存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB

【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问 由于题目给出圆心到直线的距离,故可利用点到直线的距离公式,建立方程,求的直线的斜率. 由于直线的斜率可能不存在,故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么 直线和圆方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.

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