江苏省2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——圆锥曲线


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江苏省 届高三数学下学期模拟试题分类汇编——圆锥曲线 数学下学期模拟试题分类汇编 江苏省 2009 届高三数学下学期模拟试题分类汇编 圆锥曲线
一,填空题 1,( ,(2009 丹阳高级中学一模)已知对称中心为原点的双曲线 x y = 丹阳高级中学一模) ,(
2 2

1 与椭圆有公共 2

的 焦 点 , 且 它 们 的 离 心 率 互 为 倒 数 , 则 该 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ___________________ .

x2 + y2 = 1 2
2, , (2009 淮安 3 月调研)已知抛物线 y = 2 px( p > 0)上一点M( ,m) 到其焦点的距 月调研) 1 (
2

离为 5,双曲线 x
2

y2 = 1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a= a

1 4

x y 2 3,( ,(2009 江宁高级中学 3 月联考)抛物线 y =4mx(m>0)的焦点到双曲线 - =l 的一 月联考) ,( 16 9 条渐近线的距离为 3,则此抛物线的方程为
2

2

2

y 2 = 20 x
△ .

4,( ,(2009 金陵中学三模)抛物线 y = 4 x 的焦点到准线的距离是 金陵中学三模 中学三模) ,(

1 8

5,( ,(2009 南京一模)过椭圆 南京一模) ,(

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的左顶点 A 作斜率为 l 的直线,与 a2 b2

椭 圆 的 另 一 个 交 点 为 M , 与 y 轴 的 交 点 为 B . 若 AM = MB , 则 该 椭 圆 的 离 心 率



.

6 3

x2 y 2 1 6,( ,(2009 苏,锡,常,镇四市调研)若椭圆 镇四市调研) + = 1(m, n > 0) 的离心率为 ,一个 ,( 2 m n
焦点恰好是抛物线 y 2 = 8 x 的焦点,则椭圆的标准方程为

x2 y 2 + =1 16 12
1
,

7, , (2009 扬州大学附中 3 月月考) 月月考) 椭圆 (

x2 a
2

2 2 2 2 右焦点 F c,0) 方程 ax + bx c = 0 的两个根分别为 x1,x2, ( , 则点 P x1,x2) ( 与圆 x + y = 2 b
的位置关系是 二,解答题 ▲ .点 P 在圆内 点

+

y2
2

= 1(a > 0, b > 0)的离心率 e =

1,( ,(2009 丹阳高级中学一模)已知椭圆 C1 : 丹阳高级中学一模) ,(

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 , 2 3 a b

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直线 l : y = x + 2 与以原点为圆心,椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 , 右焦点为 F2 , 直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴, 动直线 l 2 垂直于直线 l1 ,垂足为点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C 2 的方 程; (3)设 C 2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C 2 上,且满足 QR RS = 0 ,求 | QS | 的取 值范围. 解: (1)由 e =

3 2 2 得 2a = 3b , 又由直线 l : y = x + 2 与圆 x 2 + y 2 = b 2 相切, b = 2 , 得 3

a = 3 ,∴椭圆 C1 的方程为:

x2 y2 + = 1 .---------------------------------4 分 3 2

(2)由 MP = MF2 得动点 M 的轨迹是以 l1 : x = 1 为准线, F2 为焦点的抛物线,∴点 M 的 轨迹 C 2 的方程为 y 2 = 4 x .----------------------------------8 分 (3) Q (0,0) ,设 R (

y12 y2 y2 y 2 y12 , y1 ), S ( 2 , y 2 ) ,∴ QR = ( 1 , y1 ), RS = ( 2 , y 2 y1 ) , 4 4 4 4
2 y12 ( y 2 y12 ) + y1 ( y 2 y1 ) = 0 ,∵ y1 ≠ y 2 16

由 QR RS = 0 ,得

∴化简得 y 2 = y1

16 ,---------------------------------------------10 分 y1

∴ y 2 = y1 +
2 2

256 + 32 ≥ 2 256 + 32 = 64 (当且仅当 y1 = ±4 时等号成立), y12
2 y2 2 1 2 2 ) + y2 = ( y 2 + 8) 2 64 , 4 4

∵ | QS |=

(

2 2 又∵ y 2 ≥ 64 ,∴当 y 2 = 64 ,即 y 2 = ±8 时 | QS | min = 8 5 ,

∴ | QS | 的取值范围是 [8 5 ,+∞) -----------------------------15 分 2,( ,(2009 江宁高级中学 3 月联考)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的焦距为 2,两 月联考) ,( 准线问的距离为 10.设 A(5,0), B(1,0).
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(1)求椭圆 C 的方程;(4 分) (2)过点 A 作直线与椭圆 C 只有一个公共点 D,求过 B,D 两点,且以 AD 为切线的圆 的方程;(6 分) (3)过点 A 作直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点,过点 P 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于另一点 S. → → → → 若AP=tAQ(t>1),求证:SB=tBQ (6 分) (1)设椭圆的标准方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2
∴ b2 = 4 所以,椭圆的标准方程为

2c = 2, c = 1, 依题意得: 2a 2 ,得 = 10, a = 5, c

x2 y 2 + = 1. 5 4

(2)设过点 A 的直线方程为: y = k ( x 5) ,代入椭圆方程

x2 y 2 + = 1 得; 5 4

(4 + 5k 2 ) x 2 50k 2 x + 125k 2 20 = 0

(*)

依题意得: = 0 ,即 (50k 2 )2 4(4 + 50k 2 )(125k 2 20) = 0

5 4 5 ,且方程的根为 x = 1 ∴ D (1, ± ) 5 5 当点 D 位于 x 轴上方时,过点 D 与 AD 垂直的直线与 x 轴交于点 E , 4 5 1 直线 DE 的方程是: y = 5( x 1) , ∴ E ( ,0) 5 5 3 2 5 24 所求圆即为以线段 DE 为直径的圆,故方程为: ( x ) 2 + ( y )= 5 5 25 3 2 5 24 同理可得:当点 D 位于 x 轴下方时,圆的方程为: ( x ) 2 + ( y + )= . 5 5 25
得: k = ±

x12 y12 =1 + x1 5 = t ( x2 5) 5 4 (3)设 P ( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 由 AP = t AQ 得: ,代入 2 2 y1 = ty2 x2 + y2 = 1 5 4

x1 = 2t + 3 ∴ 3t 2 (**) x2 = t

1 x1 = t ( x2 1) (1) 要证 SB = t BQ ,即证 y1 = ty2 (2)

由方程组(**)可知方程组(1)成立,(2)显然成立.∴ SB = t BQ 3,( ,(2009 金陵中学三模)已知圆 O: x 2 + y 2 = 1 ,直线 l : y = 金陵中学三模 中学三模) ,(

3 ( x + 4) . 3

(1)设圆 O 与 x 轴的两交点是 F1 , F2 ,若从 F1 发出的光线经 l 上的点 M 反射后过点 F2 ,求

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以 F1 , F2 为焦点且经过点 M 的椭圆方程. (2)点 P 是 x 轴负半轴上一点,从点 P 发出的光线经 l 反射后与圆 O 相切.若光线从射出 经反射到相切经过的路程最短,求点 P 的坐标.

y

P F1 O

F2 x

(1)如图,由光学几何知识可知,点 F1 关于 l 的对称点 F1 在过点 A ( 4, 0 ) 且倾斜角为 60
/

0

的直线 l 上.在 AF2 F1 中,椭圆长轴长 2a = MF1 + MF2 = F1 F2 = 19 ,
/ /

/

----4 分

又椭圆的半焦距 c = 1 ,∴ b = a c =
2 2 2

15 , 4

x2 y 2 + = 1 . --------------7 分 19 15 4 4 / (2)路程最短即为 l 上上的点 P / 到圆 O 的切线长最短, / 由几何知识可知, P / 应为过原点 O 且与 l 垂直的直线与 l 的 交点, 这一点又与点 P 关于 l 对称, AP = AP / = 2 , ∴ 故点 P 的坐标为 ( 2,0 ) . ---------------------15 分
∴所求椭圆的方程为
2 y2 4,( ,(2009 南京一模)如图,椭圆 x 2 + 2 = 1 (a>b>0)的左, 南京一模) ,( a b

y

P F1 O

F2 x

M y

右焦点分别为 F1,F2,M,N 是椭圆右准线上的两个动点, 且 F1 M F2 N = 0 . (1)设 C 是以 MN 为直径的圆,试判断原点 O 与圆 C 的位置关系; (2)设椭圆的离心率为 1 ,MN 的最小值为 2 15 ,求椭圆方程. 2
2 y2 【解】(1)设椭圆 x 2 + 2 = 1 的焦距为 2c(c>0), a b

F1

O

F2

x

N

2 则其右准线方程为 x= a ,且 F1(-c, 0), F2(c, 0). c 2 2 设 M a , y1 ,N a , y2 , c c 2 2 则 F1 M = a + c, y1 ,F2 N = a c, y2 , c c 2 2 OM = a , y1 ,ON = a , y2 . c c

……………2 分

(第 18 题)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

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………………………4 分
2 2 2 因为 F1 M F2 N = 0 ,所以 a + c a c + y1 y2 = 0 ,即 a c c c

(

)(

)

( ) + y y =c .
2 2 1 2

2 于是 OM ON = a c

( ) + y y =c
2 1 2

2

> 0 ,故∠MON 为锐角.

所以原点 O 在圆 C 外.

………………………7 分

(2)因为椭圆的离心率为 1 ,所以 a=2c,……………………8 分 2 于是 M

( 4c,

2 y1 ),N ( 4c, y2 ) ,且 y1 y2 = c 2 a c
2 2

( ) = 15c .
2 2

…………9 分

MN2=(y1-y2)2=y12+y22-2y1y2 = y1 + y2 + 2 y1 y2 ≥4 y1 y2 = 60c 2 . ………… 12 分
当且仅当 y1=-y2= 15c 或 y2=-y1= 15c 时取"="号, ……………… 13 分 所以(MN)min= 2 15c=2 15,于是 c=1, 从而 a=2,b= 3,
2 y2 故所求的椭圆方程是 x + =1. 4 3

…………… 15 分

6,(2009 盐城中学第七次月考)设椭圆 C : 盐城中学第七次月考)

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的上顶点为 A ,椭圆 a 2 b2
3 , 过点 A 2

C 上两点 P, Q 在 x 轴上的射影分别为左焦点 F1 和右焦点 F2 , 直线 PQ 的斜率为
且与 AF1 垂直的直线与 x 轴交于点 B , AF1 B 的外接圆为圆 M . (1)求椭圆的离心率; (2)直线 3 x + 4 y +

1 2 1 a = 0 与圆 M 相交于 E , F 两点, ME MF = a 2 , 且 求椭圆方程; 4 2

(3)设点 N (0,3) 在椭圆 C 内部,若椭圆 C 上的点到点 N 的最远距离不大于 6 2 ,求椭圆 C 的短轴长的取值范围.

b2 解:(1)由条件可知 P c, a
因为 k PQ =

b2 , Q c, a


………4 分

1 3 ,所以得: e = 2 2

(2)由(1)可知, a = 2c, b = 3c ,所以, A 0, 3c , F1 ( c,0 ), B(3c,0 ) ,从而 M (c,0) 半径为 a,因为 ME MF =

(

)

1 2 a a ,所以 ∠EMF = 120° ,可得:M 到直线距离为 2 2 x2 y 2 + = 1; 16 12
………9 分 ………10 分

从而,求出 c = 2 ,所以椭圆方程为: (3)因为点 N 在椭圆内部,所以 b>3
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设椭圆上任意一点为 K ( x, y ) ,则 KN 2 = x 2 + ( y 3) ≤ 6 2
2

( )

2

由条件可以整理得: y

2

+ 18 y 4 b

2

+ 189 ≥ 0 对任意 y ∈ [ b, b ](b > 3) 恒成立,

9 ≤ b 9 > b 所以有: 或者 2 2 ( b ) + 18( b ) 4b + 189 ≥ 0 ( 9 )2 + 18( 9 ) 4b 2 + 189 ≥ 0
解之得: 2 b ∈ (6,12 2 6] 7,( ,(2009 扬州大学附中 3 月月考) 月月考) ,( 已知直线 l :y = kx + 2( k 为常数) 过椭圆 ( a > b > 0 )的上顶点 B 和左焦点 F , 直线 l 被圆 x 2 + y 2 = 4 截得的弦长为 d .
F O x

………15 分

x2 y2 + =1 a2 b2

y B

l

(1)若 d = 2 3 ,求 k 的值; (2)若 d ≥

4 5 ,求椭圆离心率 e 的取值范围. 5

解:(1)取弦的中点为 M,连结 OM 由平面几何知识,OM=1

OM =

2 k +1
2

=1

得: k = 3 , k = ± 3
2

∵直线过 F,B ,∴ k > 0 则 k = (2)设弦的中点为 M,连结 OM 则 OM
2

3

…………………………………………6 分

=

4 1+ k 2

d 2 = 4(4

4 4 5 2 )≥( ) 2 1+ k 5

解得 k ≥
2

1 4

2 ( ) 2 c 1 4 k e2 = 2 = = ≤ 2 2 5 a 4 + ( )2 1 + k k
2

∴0 < e ≤

2 5 5

…………………………………………15 分

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