复变函数课件1-5复变函数_图文


第五节 复变函数
一、复变函数的定义 二、映射的概念 三、典型例题 四、小结与思考

一、复变函数的定义
1.复变函数的定义:
设 G 是一个复数 z ? x ? iy 的集合 . 如果有一 个确定的法则存在 , 按这个法则 , 对于集合 G 中的 w ? u ? iv 与 w 是复变数 z 的函数 ( 简称 每一个复数 z , 就有一个或几个复数 之对应 , 那末称复变数 复变函数 ), 记作 w ? f ( z ).

2

2.单(多)值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个 我们称函数 f ( z ) 是单值的 . 两个以上 w 的值 , 那末

如果 z 的一个值对应着两个或 w 的值 , 那末我们称函数

f ( z ) 是多值的 .

3.定义集合和函数值集合:
集合 G 称为 f ( z ) 的定义集合 ( 定义域 ) ;

对应于 G 中所有 z 的一切 w 值所成的集合 G * , 称为函数值集合 .
3

4. 复变函数与自变量之间的关系:
复变函数 w 与 自变量 z 之间的关系 w ? f ( z ) 相当于两个关系式 :

u ? u( x , y ),
它们确定了自变量为

v ? v ( x , y ),
x 和 y 的两个二元实变函数 .

例如, 函数 w ? z 2 , 令 z ? x ? iy , w ? u ? iv ,
则 u ? iv ? ( x ? iy ) ? x ? y ? 2 xyi ,
2 2 2

于是函数 w ? z 对应于两个二元实变函
2

数:

u? x ? y ,
2 2

v ? 2 xy .
4

二、映射的概念
1. 引入:
对于复变函数 , 由于它反映了两对变量 的几何图形表示出来 的点集之间的对应关系 , 必须看成是两个复平面 . u, v 上 和 x , y 之间的对应关系 , 因而无法用同一平面内

5

2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量 而用另一个平面 z 的值 , w的

w 平面上的点表示函数

值 , 那末函数 w ? f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 w 平面上的一个点集 ( 或变换 ). G ( 定义集合 ) 变到 G * (函数值集合 )的映射

6

这个映射通常简称为由 所构成的映射 .

函数 w ? f ( z )

如果 G 中的点 z 被映射 w ? f ( z ) 映射成 G * 中的点 w , 那末 w 称为 z 的象 ( 映象 ), 而 z 称为 w 的原象 .

7

3. 两个特殊的映射:
(1 ) 函数 w ? z 构成的映射 .

将 z 平面上的点 z ? a ? ib 映射成 w 平面上 的点 w ? a ? ib .
y
A

B

? z1 ? 2 ? 3 i
x

v

? w 2 ? 1 ? 2i
C?

C

o

? z2 ? 1 ? 2i

o
B?

u

A?

? w1 ? 2 ? 3i

z1 ? w 1 , z 2 ? w 2 ,

? ABC ? ? A ? B ?C ? .
8

如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w ? z 是关于实轴的一个对称映射.
o

? z1 ? w2

且是全同图形.
y
A

? z2 ? w1

B

? z1 ? 2 ? 3 i
x

v

? w 2 ? 1 ? 2i
C?

C

o

? z2 ? 1 ? 2i

o
B?

u

A?

? w1 ? 2 ? 3i

z1 ? w 1 , z 2 ? w 2 ,

? ABC ? ? A ? B ?C ? .
9

( 2 ) 函数 w ? z 构成的映射 .
2

显然将 z 平面上的点 z1 ? i , z 2 ? 1 ? 2 i , z 3 ? ? 1 映射成 w 平面上的点 w 1 ? ? 1, w 2 ? ? 3 ? 4 i , w 3 ? 1 .
y

? w2

v

? z

z1 ?
o
3

? z2
x

? w

o

1

w3

?

u

10

( 2 ) 函数 w ? z 构成的映射 .
2

根据复数的乘法公式可知,
映射 w ? z 将 z 的辐角增大一倍 .
2

y

v

o

?

x

2?
o

u

将 z 平面上与实轴交角为 平面上与实轴交角为

? 的角形域映射成

w

2? 的角形域 .
11

( 2 ) 函数 w ? z 构成的映射 .
2

函数 w ? z 对应于两个二元实变函
2

数:

u? x ? y ,
2 2

v ? 2 xy .

它把 z 平面上的两族分别以直 标轴为渐近线的等轴双 x ? y ? c1 ,
2 2

线 y ? ? x 和坐

曲线

2 xy ? c 2 ,

分别映射成 w 平面上的两族平行直线 u ? c1 , v ? c2 .

(如下页图)

12

( 2 ) 函数 w ? z 构成的映射 .
2

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中 同一个长方形.
y y

o

x

o

x

13

( 2 ) 函数 w ? z 构成的映射 .
2

直线 x ? ? 的象的参数方程为
u?? ? y ,
2 2

:
2

v ? 2?y .
2

( y 为参数 )
2

消去参数 y 得 :

v ? 4 ? ( ? ? u ),

以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y ? ? 的象为 :
v ? 4 ? ( ? ? u ),
2 2 2

以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
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4. 反函数的定义:
设 w ? f ( z ) 的定义集合为 函数值集合为 w 平面上的集合 z 平面上的集合 G, G * , 那末 G * 中的

每一个点 w 必将对应着 G 中的一个 ( 或几个 )点 . 于是在 G * 上就确定了一个单值 为映射 w ? f ( z ) 的逆映射 . ( 或多值 )函数 z ? ? ( w ) , 它称为函数 w ? f ( z ) 的反函数 , 也称

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根据反函数的定义,
? w ? G *,

w ? f [? ( w )],

当反函数为单值函数时, z ? ? [ f ( z )], z ? G .
如果函数 ( 映射 ) w ? f ( z ) 与它的反函数 ( 逆映射 ) z ? ? ( w )都是单值的 , 那末称函数 ( 映 射 ) w ? f ( z ) 是一一对应的 . 也可称集合 G 与集 合 G * 是一一对应的 .

今后不再区别函数与映射.
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三、典型例题
例1 在映射 w ? z 2 下求下列平面点集在
上的象 : w 平面

(1 ) 线段 0 ? r ? 2 , ? ?

π 4
y

;

还是线段.
v

解 设 z ? re i? ,
w ? ?e ,
则 ? ?r ,
2

i?

?? ? ?
o x o u

w?z

2

? ? 2? ,

故线段 0 ? r ? 2 , ? ?

π 4

映射为 0 ? ? ? 4 , ? ?

π 2

,
17

例1 在映射 w ? z 下求下列平面点集在
2

w 平面

上的象 :
( 2 ) 双曲线 x ? y ? 4;
2 2

解 令 z ? x ? iy , w ? u ? iv ,
则 u ? iv ? x ? y ? 2 xyi ,
2 2

u? x ? y ,
2 2

y

v

x ? y ?4
2 2

?? ? ?
?2

w?z

2

? u ? 4,

o

2

x

o

4

u

平行于 v 轴的直线 .
18

例1 在映射 w ? z 下求下列平面点集在
2

w 平面

上的象 :

( 3 ) 扇形域 0 ? ? ?

π 4

, 0 ? r ? 2.

解 设 z ? re i? , w ? ? e i? , 则 ? ? r 2 , ? ? 2? ,
故扇形域 0?? ? π 4 ,
?? ? ?
w?z
2

0 ? r ? 2映射为

0?? ?

π 2

, 0 ? ? ? 4 , 仍是扇形域.

19

例2 对于映射 w ? z ? , 求圆周 z ? 2 的象 . 解
z 令 z ? x ? iy , w ? u ? iv , 1 z
x x ? y
2 2

1

映射 w ? z ?
于是

? u ? iv ? x ? iy ? , v? y?

x ? iy x ? y
2 2

,

u? x?

y x ? y
2 2

,

圆周 z ? 2 的参数方程为 :

? x ? 2 cos ? ? ? y ? 2 sin ? ,

0 ? ? ? 2π

20

? u? ? 所以象的参数方程为 ? ?v ? ?

5 2 3 2
2

cos ? 0 ? ? ? 2π sin ? ,
2 2

表示 w 平面上的椭圆 :

u

?5? ? ? ? 2?

2

?

v

? 3? ? ? ? 2?

? 1.

21

四、小结与思考
复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 注意:复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了.

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思考题
“函数”、“映射”、“变换”等名词有无 区别?

23

思考题答案
在复变函数中, 对“函数”、“映射”、 “变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只 是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换 一般是就点的对应而言的.

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