2018年高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理课件7北师大版选修2_2_图文


4.2微积分基本定理 一、教学目标 知识与技能目标:通过实例,直观了解微积分基本 定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定 积分 过程与方法: 通过实例体会用微积分基本定理求定 积分的方法 情感态度与价值观:通过微积分基本定理的学习, 体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培 养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点: 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的 关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并 能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习:定积分的概念及用定义计算 (二)、探究新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算 过程比较复杂, 所以不是求定积分的一般方法。 我 们必须寻求计算定积分的新方法, 也是比较一般的 方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的 联系 设一物体沿直线作变速运动, 在时刻 t 时物体所在 位置为 S(t),速度为 v(t)( v(t ) ? o ), 则物体在时间间隔 [T , T ] 内经过的路程可用速度函数 1 2 表示为 ?T v(t )dt 。 1 T2 另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t) 在 [T1 , T2 ] 上 的 增 量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来 表 达 , 即 ? T2 T1 v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 ) 而 S ?(t ) ? v(t ) 。 对于一般函数 f ( x) ,设 F ?( x) ? f ( x) ,是否也有 ? b a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 若上式成立,我们就找到了用 f ( x) 的原函数(即 满足 F ?( x) ? f ( x) ) 的数值差 F (b) ? F (a) 来计算 f ( x) 在 [a, b] 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原函数,则 ? b a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 证明:因为 ?( x) = ?a f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数,故 F ( x) - ? ( x) =C( a ? x ? b ) x 其中 C 为某一常数。 令 x ? a 得 F (a) - ?(a) =C,且 ? (a ) = ?a f (t )dt =0 a 即有 C= F (a) ,故 F ( x) = ?( x) + F (a) ? ? ( x) = F ( x) - F (a) = ? f (t )dt 令 x ? b ,有 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用 F ( x) |ba 表示 F ( b) ? F ( a),即 x a b a ? b a f ( x) d x? F( x )b ? ) F( a) a |? F( b 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公 式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求 定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学 与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和 定积分之间的内在联系, 同时也提供计算定积分的 一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它 在教材中处于极其重要的地位, 起到了承上启下的 作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了 深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例 1.计算下列定积分: (1) ?1 2 1 dx ; x (2) ?1 1 x, 3 (2 x ? 1 ) dx 。 x2 ' (ln x ) ? 解:(1)因为 所以 ? 2 1 1 2 dx ? ln x |1 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2 。 x 2 ' ' 2 1 ) ?? , (2)因为 ( x ) ? 2 x, ( 1 x x 所以 ? 3 1 (2 x ? 3 3 1 1 ) dx ? 2 xdx ? ?1 ?1 x 2 dx x2 1 3 1 22 2 3 ? x | ? | ? (9 ? 1) ? ( ? 1) ? 1 1 。 x 3 3 练习:计算 ?0 x 1 2 dx 1 3 2 解:由于 3 x 是 x 的一个原函数,所以根据牛顿— 莱布尼兹公式有 ? 1 0 x 2 dx = 1 x3 |10 = 1 ? 13 ? 1 ? 03 = 1 3 3 3 ? 2? 0 3 2? 0 例 2.计算下列定积分: ? sin xdx, ?? sin xdx, ? sin xdx 。 由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形 的面积表示所发现的结论。 ' 解:因为 (? cos x) ? sin x ,所以 ? ? ? 0 2? sin xdx ? (? cos x) |? 0 ? (? cos ? ) ? (? cos 0) ? 2 , 2? sin xdx ? (? cos x) |? ? (? cos 2? ) ? (? cos ? ) ? ?2 , ?? 2? 0 2? sin xdx ? (? cos x) |0 ? (? cos 2? ) ? (? cos 0) ? 0 . 可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值, 还可能是 0: (l ) 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时 (图 1.6 一 3 ) ,定积分的值取正值,且等于曲边梯形 的面积; 图1 . 6 一 3 (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1 . 6 一 4 ) ,定积分的值取负值,且等于曲边 梯形的面积的相反数; ( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,

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