【全程复习方略】2013-2014版高中数学 课时提升卷第2课时 抛物线方程及性质的应用 新人教A版选修2-1


抛物线方程及性质 的应用
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.(2013?安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线 y =x 有且仅有一个公共点的直线有( A.1 条 B.2 条
2 2

100 分)

)

C.3 条

D.4 条

2.将两个顶点在抛物线 y =2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为 n,则( A.n=0 C.n=2
2

) B.n=1 D.n≥3

3.设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的 斜率为A.4 ,那么|PF|=( B.8
2

) C.8 D.16

4.(2013 ?长春高二检测 )抛物线 y=x 上一点到直线 2x-y-4=0 的距离最小的点的坐标是 ( ) B.(1,1) D.(2,4)
2

A.( , ) C.( , )

5.(2013?新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点. 若|AF|=3|BF|,则 l 的方程 为( A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= (x-1)或 y=- (x-1) C.y= (x-1)或 y=(x-1) )

D.y= (x-1)或 y=- (x-1) 二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 6.设已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为 .
2

7.(2012?北京高考)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与该抛物线相 交于 A,B 两点.其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则

-1-

△OAF 的面积为

.
2

8.(2013 ?珠海高二检测 ) 过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点 , 若 |AB|= ,|AF|<|BF|,则|AF|= .

三、解答题(9 题,10 题 14 分,11 题 18 分) 9.已知顶点在原点,焦点在 x 轴的负半轴的抛物线截直线 y=x+ 所得的弦长|P1P2|=4 此抛物线的方程. 10.(2013 ?昆明高二检测 ) 已知抛物线顶点在 原点 , 焦点在 x 轴上 , 又知此抛物线上一点 A(4,m)到焦点的距离为 6. (1)求此抛物线的方程 . (2)若此抛物线方程与直线 y=kx-2 相交于不同的两点 A,B,且 AB 中点横坐标 为 2,求 k 的值. 11.(能力挑战题)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物 线 G:x =2py(p>0)相交于 B,C 两点,当 直线 l 的斜率是 时, (1)求抛物线 G 的方程. (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. =4 .
2

,求

-2-

答案解析 1. 【解析】 选 C.点(-1,0)在抛物线 y =x 的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直 线有三条,其中两条为切线,一条为 x 轴. 【举一反三】若把本题中的点 (-1,0)改为(1,1),则此时与 y =x 只有一个公共点的直线有 ( ) B.2 条
2 2 2

A.1 条

C.3 条
2

D.4 条

【解析】选 B.因为点(1,1)在抛物线 y =x 上,所以作与 y =x 只有一个公共点的直线有两条, 其中一条为切线,一条为平行于 x 轴的直线. 2.【解题指南】数形结合. 【解析】选 C.根据抛物线的对称性, 正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称,且过焦点的两条直线的倾斜角分 别为 30°和 150°,如图,所以正三角形的个数 n=2,所以选 C. 3.【解析】选 B.如图所示: ∵直线 AF 的斜率为∴∠AFK=60°, ∴∠PAF=60°. 又|PA|=|PF|, ∴△APF 为等边三角形. 在 Rt△AKF 中,|FK|=4, ∴|AF|=8,∴|PF|=8. 4.【解析】选 B.设抛物线 y=x 的切线 l 与 2x-y-4=0 平行. ∴kl=2,设 l 方程为 y=2x+b. 由
2 2

,

消去 y 得 x -2x-b=0.

2

由Δ =(-2) -4?1?(-b)=4+4b=0 得 b=-1, 而 b=-1 时,切点横坐标为 1, 这时切点为(1,1). 5. 【解题指南】 设出 A,B 点的坐标,利用抛物线的定义表示出|AF|,|BF|,再利用|AF|=3|BF|, 确立 l 的方程.
-3-

【解析】选 C.抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1 ,0),准线方程为 x=-1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AF|=x1+1,|BF|=x2+1,因为|AF|=3|BF|,所以 x1+1=3(x2+1),所以 x1=3x2+2.因为|y1|=3|y2|,所 以 x1=9x2, 所 以 x1=3,x2= . 当 x1=3 时 , A(3,2 B ),B ,此时 kAB=,此时 kAB= =12, 此 时 y1= ± =±2 , 若 y1=2 ,则 A(3,-2 ,则 ),

2

,此时直线方程为 y= (x-1).

(x-1).若 y1=-2

,此时直线方程为 y=-

6.【解题指南】求出抛物线方程,利用点差法. 【解析】由题意知抛物线的方程为 y =4x, 设 A(x1,y1),B(x2,y2 ),则有 x1≠x2,
2

两式相减得, ∴ =

=1,

=4(x1-x2),

∴直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x. 答案:y=x 7.【解题指南】写出直线 l 的方程,再与抛物线方程联立,解出 A 点坐标,再求面积. 【解析】抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0), 直线 l:y=
2

(x-1). 由

解得

A(3,2 答案:

),B( ,-

).所以 S△OAF= ?1?2

=

.

【变式备选】已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠ AFB= .

2

【解题指南】联立方程求出 A,B 两点后转化为解三角形问题. 【解析】联立 消 y 得 x -5x+4=0,解得 x=1 或 x=4.
2

不妨设 A 在 x 轴上方,于是 A,B 的坐标分别为(4,4),(1,-2),又 F(1,0), 可求|AB|=3 ,|AF|=5,|BF|=2,利用余弦定理得 cos∠AFB= =- .

-4-

答案:8. 【解析】抛物线 y =2x 的焦点坐标为 ( ,0), 准线方程为 x=- , 设 A,B 的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则 x1x2= = .
2

设|AF|=m,|BF|=n,则 x1=m- ,x2=n- ,

所以有

解得 m= 或 n= ,

所以|AF|= . 答案:

9.【解析】设抛物线方程为 y =-2px(p>0),把直线方程与抛物线方程联立得

2

消元得 x +(3+2p)x+ =0①,判别式Δ =(3+2p) -9=4p +12p>0,解得 p>0 或 p<-3(舍), 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则①中由根与系数的关系得 x1+x2=-(3+2p),x1?x2= ,代入弦长公式得 ? 解得 p=1 或 p=-4(舍), 把 p=1 代入抛物线方程 y =-2px(p>0)中,得 y =-2x. 综上,所求抛物线方程为 y =-2x. 10.【解题指南】(1)利用定义建立方程求得 p 值.(2)利用“设而不求”的思想求解. 【解析】(1)由题意设抛物线方程为 y =2px(p>0),其准线方程为 x=- . ∵A(4,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离. ∴4+ =6,∴p=4, ∴此抛物线的方程为 y =8x. (2)由 消去 y 得 k x -(4k+8)x+4=0.
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

=4

,

∵直线 y=kx-2 与抛物线相交于不同两点 A,B,则有 解得 k>-1 且 k≠0,
-5-

∵AB 中点横坐标为 2,则有 解得 k=2 或 k=-1(舍去). ∴所求 k 的值为 2.

=

=2,

【拓展提升】 “中点弦 ”处理方法 当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用平方差法. (1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程. (2)“平方 差”.将两方程作差,利用平方差公式. (3)得斜率.把 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x0,y0))代入可得 (4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他. 11.【解析】(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是 时,l 的方程为 y= (x+4), 即 x=2y-4, 由 得 2y -(8+p)y+8=0,
2

,即直线的斜率.



又∵

=4

,∴y2=4y1,

由这三个表达式及 p>0 得 y1=1,y2=4,p=2,则抛物线的方程为 x =4 y. (2)由题意可设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0). 由 得 x -4kx-16k=0,
2 2 2

∴x0=2k,y0=k(x0+4)=2k +4k, ∴线段 BC 的中垂线方程为 y-2k -4k=- (x-2k), ∴线段 BC 的中 垂线在 y 轴上的截距为: b=2k +4k+2=2(k+1) , 由Δ =16k +64k>0 得 k>0 或 k<-4. ∴b∈(2,+∞).
2 2 2 2

-6-


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