导数高考题精练文科教师版


导数高考题精练
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) 答案 D 解析 B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) ( )

f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) ? e x ?? ? ( x ? 2)e x ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D
15 x ? 9 都相切,则 4
( ) D. ?

2 2.(2009 江西卷文)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax ?

a 等于
A. ?1 或 答案 解析 A 设过 (1, 0) 的直线与 y ? x3 相切于点 ( x0 , x03 ) ,所以切线方程为

25 64

B. ?1 或

21 4

C. ?

7 25 或4 64

7 或7 4

y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 )
3 , 2 15 25 2 x ? 9 相切可得 a ? ? , 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax ? 4 64 3 27 27 15 2 x? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 当 x0 ? ? 时,由 y ? 与 y ? ax ? 2 4 4 4
即 y ? 3x02 x ? 2x03 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ? 3.(2009 湖南卷文)若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [ a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能是 y y y y ( )

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解析

因为函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 在区间 [ a, b ] 上是增函数,即在区间 [ a, b ] ... 注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

上各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A.

1

二、填空题 4.(2009 辽宁卷文)若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

解析

2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? a) f’(x)= ( x ? 1)2
3? a =0 ? a=3 4
2

f’(1)= 答案 3

5.若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 解析 解析
? 由题意该函数的定义域 x ? 0 , f ? 由 x

.

1 。 因为存在垂直于 y 轴 x 1 ? 的切线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? x ? ? 2ax ? 存在零点。 x 1 解法 1 (图像法)再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点。当 a ? 0 不符合题 x a ? 0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个 意,当 x 2 ? ?a ?
交点,故有 a ? 0 应填 ? ??,0? 或是 ?a | a ? 0? 。

解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程 2ax ?

1 ? 0 在 ? 0,??? 内有解,显然可得 x

a??

1 ? ? ??, 0 ? 2x2
. 考查利用导数判断函数的单调性。

6.(2009 江苏卷)函数 f ( x) ? x3 ?15x2 ? 33x ? 6 的单调减区间为 解析

2

f ?( x) ? 3x2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,
由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 7. (2009 宁夏海南卷文) 曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点 (0,1) 处的切线方程为 答案 解析 。

y ? 3x ? 1

y' ? e x ? xe x ? 2 ,斜率 k= e 0 ? 0 ? 2 =3,所以,y-1=3x,即 y ? 3x ? 1

8. ( 2009 浙 江 文 ) 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (

(a, b ? R) .
(I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解析 又? (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 9.(2009 北京文) (本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、 解不等式等基础知识, 考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f
'

? x? ? 3x2 ? 3a ,

∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

? f ' ? 2 ? ? 0 ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? ?a ? 4, ? ?? ?? ∴? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8 ? ?
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,
3

当 a ? 0 时, f

'

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,

此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增, ? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
当 x ? ??, ? a 时, f
' ' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ? 10.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1)当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.
2 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,

f (x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
2 2 所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为

x1 ?

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , ? ? 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x (-∞,x2) x2 (x2,x1) x1 (x1,+∞)

4

f’(x) f (x)

- 减函数

0 极小值

+ 增函数

0 极大值

- 减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b2 ? a 时, f (x) 取得极值. (2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2x 2 2x 2 x2
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 1 ax 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a

当 x?(

1 ax 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a 1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

所以当 x ?

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

1 ax 1 ? 1 ,此时 g '( x) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 2 2x a
a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2

(0,1] 上单调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ?
综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值, 函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转 为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 11.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
5

解析

本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一

问关键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值, 由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解析 (I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f (x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f (x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 f (2a ) ? (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3
f (0) ? 24a
由假设知

?a ? 1 ? ? f ( 2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ?24a ? 0. ?

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)
12.(2009 安徽卷文) (本小题满分 14 分)

已知函数 (Ⅰ)讨论 的单调性; 在区间{1,

,a>0,

(Ⅱ)设 a=3,求

}上值域。期中 e=2.71828…是自然对数的底数。

【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复。
2 第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数 f ( x ) 在 ?1, e ? 上的值域。 ? ?

解析 令t ?

(1)由于 f ( x) ? 1 ?

2 a ? x2 x

1 得y ? 2t 2 ? at ? 1(t ? 0) x
6

①当 ? ? a 2 ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) ? 0 恒成立.

? f ( x) 在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.
②当 ? ? a 2 ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时 由 2t 2 ? at ? 1 ? 0 得 t ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或t ? 4 4

?0 ? x ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或x ?0或x? 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 又由 2t ? at ? ? 0 得 ?t ? ? ?x? 4 4 2 2
2

综上①当 0 ? a ? 2 2 时, f ( x ) 在 (??,0)及(0, ??) 上都是增函数. ②当 a ? 2 2 时, f ( x ) 在 (

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 上是减函数, 2 2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 在 (??, 0)(0, )及( , ??) 上都是增函数. 2 2
(2)当 a ? 3 时,由(1)知 f ( x ) 在 1, 2 上是减函数.
2 在 ? 2, e ? 上是增函数. ? ?

? ?

2 2 又 f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3ln2 ? 0 f (e ) ? e ?

2 ?5 ? 0 e2

2 ? ? ? 函数 f ( x) 在 ?1, e 2 ? 上的值域为 ? 2 ? 3l n 2, e2 ? 2 ? 5? ? ? e ? ?
13.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分)
3 设函数 f ( x) ? x ?

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解析 (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) ,

因为 x ? (??, ??) , f ' ( x) ? m , 即 3x2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,

7

所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

(2) 因为 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 14.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

5 . 2

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

1 1 处的切线斜率 (Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点(,f( ))
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
答案 (1)1(2) f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 解析 解析 当 m ? 1时, f ( x) ? x ? x , f ( x) ? x ? 2 x, 故f (1) ? 1 3
数。函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

1 1 处的切线斜率为 1. 所以曲线 y ? f ( x)在点(,f( ))
(2)解析

f ' ( x) ? ? x 2 ? 2x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m

1 因为 m ? 0, 所以 ? m ? 1 ? m
当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f (x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0

(1 ? m,??)
+

极小值

极大值

f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
8

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解析 由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 2 所 以 方 程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 3 4 1 1 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0, 则 f ( x) ?? ?

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 , 所以函数 f (x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最 3

小 值 为 0 , 于 是 对 任 意 的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是

f (1) ? m 2 ?

1 3 3 ? 0 ,解得 ? ?m? 3 3 3

综上,m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的关 系解不等式等基础知识,考查综合分析问题和解决问题的能力。 15.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 。 (I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)设函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 3

g ( x) 取得极值时对应的自变量 x 的值.
解析 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……①

又 f ?( x) ? 3x2 ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ……② 联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 …………………………………4 分
9

3 2 (II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ? 2 令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?

1 mx 3

1 m?0 3 1 m ? 0 有实数解, 3

2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ?

由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? 无极值 ②当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有两个实数根

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 3 3

1 1 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况如下表: 3 3

x
g ?( x )

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

g ( x)

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3

…………………………………12 分 16.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? c .因为函数 f ?( x ) 的图象关于直线 x=2 对称, 所以 ?

2b ? 2 ,于是 b ? ?6. 6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x3 ? 6x2 ? cx , f ?( x) ? 3x2 ?12x ? c ? 3( x ? 2)2 ? c ?12 . (ⅰ)当 c

? 12 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 无极值。

(ii)当 c<12 时, f ?( x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数;
10

当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x ) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x ) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 . 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t 2 ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t 2 ? 12t . 于是 g (t ) ? f (t ) ? t3 ? 6t2 ? ct ? ?2t3 ? 6t2 , t ? (2, ??). 当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t 2 ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t ) 在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8). 17.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ex (ax2 ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。 (2)求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (1)证明:当 ? ? [0, 解析

?
2

]时, cos ? ) ? f(sin? ) ? 2 f(

(Ⅰ) f '( x) ? e x (ax2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知, ………2 分 于是

f '(1) ? 0 ,故 a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ?1 .

f '( x) ? ex (? x2 ? x ? 2) ? ?ex (x ? 2)(x ? 1) .
故当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f '( x) <0; 当 x ? (?2,1) 时, f '( x) >0. 从而 f ( x ) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加. ………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x ) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e , 最小值为 f (0) ? 1 . 从而对任意 x1 , x2 ? [0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ? 2 . 而当 ? ? [0, 从而 ………10 分

?
2

] 时, cos? ,sin ? ? [0,1] .
………12 分

f (cos? ) ? f (sin ? ) ? 2

11

18.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=my 与 y ?
m 的取值范围。 解析 (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a),

f ( x) 的图象有三个不同的交点,求

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0, 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ??) 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? 由 f ' ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a;

a,

当 a ? 0 时 , f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x ) 的 单 调 减 区 间 为

(? a , a ) 。
(2)因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值, 所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,? a ? 1. 所以 f ( x) ? x3 ? 3x ?1, f ' ( x) ? 3x2 ? 3, 由 f ' ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。 由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因为直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,又 f (? 3) ? ? 19 ? ? 3 ,

f (3) ? 17 ? 1 ,
结合 f ( x ) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。 19.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 。 (I)求函数 f ( x ) 的解析式;
12

(II)设函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 3

g ( x) 取得极值时对应的自变量 x 的值.
解析 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……①

又 f ?( x) ? 3x2 ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ……② 联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2
3 2 (II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ? 2 令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?

…………………………………4 分

1 mx 3

1 m?0 3 1 m ? 0 有实数解, 3

2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ?

由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? 无极值 ② 当

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 3 3
g ?( x ? )
有0 两 个 实 数 根

m ?1





1 1 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( 3 3

x) 情况如下表: ) ,g (x

x
g ?( x )

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

g ( x)

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3

…………………………………12 分 20.(2009 湖北卷文) (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f(x)=

1 x3 +bx2+cx+bc,其导函数为 f+(x).令 g(x)=∣f+(x) ∣, 3 4 ,试确定 b、c 的值: 3
13

记函数 g(x)在区间[-1、1]上的最大值为 M. (Ⅰ)如果函数 f(x)在 x=1 处有极值-

(Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的 c,都有 M>2: (Ⅲ)若 M≧K 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值。 本小题主要考察函数、 函数的导数和不等式等基础知识, 考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想(满分 14 分) (I)解析

? f '( x) ? ? x2 ? 2bx ? c ,由 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 3

? f '(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ? 可得 ? 1 4 ? f (1) ? ? 3 ? b ? c ? bc ? ? 3 ?
解得 ?

?b ? 1 ?b ? ?1 ,或? ?c ? ?1 ?c ? 3

若 b ? 1, c ? ?1 ,则 f '( x) ? ? x2 ? 2 x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 ,此时 f ( x ) 没有极值; 若 b ? ?1, c ? 3 ,则 f '( x) ? ? x2 ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1)( x ?1) 当 x 变化时, f ( x ) , f '( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x)

(??, ?3)

?3
0 极小值

(?3,1)
+

1 0 极大值

(1, ??)

?
?

?
?

f ( x)

?12

?

?

4 3

? 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值 ?

4 ,故 b ? ?1 , c ? 3 即为所求。 3

(Ⅱ)证法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | 当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1.1] 之外。

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个

? 2M ? g (1) ? g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |?| 4b |? 4, 即 M ? 2
证法 2(反证法) :因为 | b |? 1 ,所以函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外,

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得。
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个
14

假设 M ? 2 ,则

g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2 g (1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2
将上述两式相加得:

4 ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |? 4 | b |? 4 ,导致矛盾,? M ? 2
(Ⅲ)解法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | (1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ; (2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x )的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)? 由 f '(1) ? f '(?1) ? 4b, 有 f '(b) ? f '(?1) ? b(?1)2 ? 0 ①若 ?1 ? b ? 0, 则 f '(1) ? f '(?1) ? f '(b), ? g (?1) ? max ?g (1), g (b)? , 于 是

M ?m

?

?

1 2

2

a

f

②若 0 ? b ? 1 ,则 f '(?1) ? f '(1) ? f '(b), ? g (1) ? max ?g (?1), g (b)? 于是 M ? max ?| f '(?1) |,| f '(b) |? ? 综上,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0, c ?

1 1 1 1 (| f '(?1) | ? | f '(b) |) ? | f '(?1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

1 2

1 1 1 时, g ( x) ? ? x 2 ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? 2 2 2 1 。 2

故 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立的 k 的最大值为 解法 2: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | (1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ;

(2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)?

4M ? g (?1) ? g (1) ? 2g (h) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c | ?2 | b2 ? c |

15

?| ?1 ? 2b ? c ? (?1 ? 2b ? c) ? 2(b2 ? c) |?| 2b2 ? 2 |? 2 ,即 M ?
下同解法 1 21.(2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 9a2 x ? a3 . (1) 设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2) 若 a ?

1 2

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 、 、 计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (21)解析 (Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x ) 求导数,得

f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9.
令 f ' ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3. 列表讨论 f ( x), f ' ( x) 的变化情况:

x
f ' ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值 6

(-1,3) —

3 0 极小值 -26

(3, ??)
+

f ( x)

?

?

?

所以, f ( x ) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26. (Ⅱ) f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 9a 2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称. 若

1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 4

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a2 .
由 | f ' ( x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 ? 12a, 于是有

f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 ? ?12a, 且f ' (4a) ? 15a2 ? 12a.
' 由 f (1) ? ?12a得 ?

1 4 ? a ? 1,由f ' (4a ) ? 12a得0 ? a ? . 3 5
16

所以 a ? ( ,1] ? [? ,1] ? [0, ], 即a ? ( , ]. 若 a>1,则 | f ' (a) |? 12a2 ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f ' ( x) |? 12a 不恒成立. 所以使 | f ' ( x) |? 12a( x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ]. 22.(2009 福建卷文) (本小题满分 12 分)

1 4

1 3

4 5

1 4 4 5

1 4 4 5

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; ( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点;
解法一: (I)依题意,得 f '( x) ? x2 ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1 (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x ( 3

故 f '( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ?1) 令 f '*( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??,1 ? 2a)

(?2a, ?1)
— 单调递减

(?1 ? ?)

+ 单调递增

+ 单调递增

由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ②由 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1 ,此时, f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函 数 f ( x ) 的单调区间为 R

1 ③当 a ? 1 时, ? 2a ? ?1 , 同理可得函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,
17

单调减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时 , 函 数 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) , 单 调 减 区 间 为

(1 ? 2a, ?1) ;
当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时 , 函 数 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) , 单 调 减 区 间 为

(?1,1 ? 2a)
(Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

由 f '( x) ? x3 ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 由(Ⅱ)得 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) 所以函数 f ( x ) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ).N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 2 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
令 F ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 3 易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0 ,而 F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线, 故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)同解法一。 ( Ⅲ ) 当 a ? ?1 时 , 得 f ( x ) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x , 由 f ' ( x ? 2 ? 2x? 3? , 得 ) x 0 3x

x1 ? ?1, x2 ? 3
由 (Ⅱ) f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) , 得 单调减区间为 (?1,3) , 所以函数 f ( x )
18

在 x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值, 故 M (?1, ), N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 由? 得 x 3 ? 3x 2 ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
解得 x1 ? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

? x1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? ? y1 ? 3 , ? y2 ? ? 3 , ? y3 ? ?9 ? ?
所以线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

11 ) 3

23.(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 5 分) 已知 f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) , g ( x) ? ( x ? a) f ( x) . (Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间. 解: (Ⅰ)? f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,故 f (? x) ? f ( x) 即有

(? x)2 ? b(? x) ? c ? x2 ? bx ? c 解得 b ? 0
又曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) ,得 22 ? c ? 5, 有 c ? 1

? g ( x) ? ( x ? a) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a 从而 g ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 ,? 曲线 y ? g ( x)
2 有斜率为 0 的切线,故有 g ' ( x) ? 0 有实数解.即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 有实数解.此时有

? ? 4a 2 ? 12≥ 0解得

a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ?? ? ?

?

?

所以实数 a 的取值范围: a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

(Ⅱ)因 x ? ?1 时 函数 y ? g ( x) 取得极值, 故有 g ' (? 1) ? 0即 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,解 得

a?2

19

又 g ' ( x) ? 3x2 ? 4x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1)

令 g ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? ?

1 3

当 x ? (??, ?1) 时, g ' ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (??, ?1) 上为增函数 当 x ? ( ?1, ? ) 时, g ' ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ?1, ? ) 上为减函数 当 x ? (? , ??) 时, g ' ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (? , ??) 上为增函数

1 3

1 3

1 3

1 3

20


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