2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 第8课时 函数的最大(小)值与导数 新人教A版选修2-2_图文


目标导航 1.了解函数的最大值、最小值的含义; 2.理解函数最值与导数的关系; 3.能利用导数求函数的最值.

1 新知识·预习探究 知识点一 函数的最大(小)值 1.函数的最大值:如果在函数f(x)的定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),那么f(x0)为函数在定义域上的最大值. 2.函数的最小值:如果在函数f(x)的定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),那么f(x0)为函数在定义域上的最小值.

【练习1】 下列说法正确的是( ) A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大 值,极小值便是最小值 B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值 C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极 值,则一定有最值 D.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个 最小值,但若有极值,则可能有多个极值
答案:D

知识点二 求函数最值的步骤 一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如 下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

【练习2】 函数f(x)=x+2cosx在区间 ???-π2,0??? 上的最小值是

() A.-π2 B.2

C.π6+ 3 D.π3+1

解析:f′(x)=1-2sinx.

∵x∈???-π2,0???,∴sinx∈[-1,0],∴-2sinx∈[0,2], ∴f′(x)=1-2sinx>0在???-π2,0???上恒成立, ∴f(x)在???-π2,0???上单调递增, ∴f(x)min=-π2+2cos???-π2???=-2π. 答案:A

2 新视点·名师博客 1.函数的最大值与最小值是一个整体性概念,最大值必须是函数 定义域内所有函数值的最大值,最小值必须是函数定义域内所有函数 值的最小值. 2.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出 的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数 的极值可以有多个,但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有 一个.极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;有极值的 未必有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成为最值,最值只 要不在端点处取得必定是极值. 3.在开区间上连续的函数不一定有最值.例如y=log2x在(0,2)上 是连续的,但在该区间上,y=log2x既没有最大值,也没有最小值.

3 新课堂·互动探究 考点一 求函数的最值 例1 求函数f(x)=4x3+3x2-36x+5在区间[-2,+∞)上的最值.

解析:f′(x)=12x2+6x-36,令f′(x)=0,得x1=-2,x2=32.

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

-2 ???-2,32???

3 2

???23,+∞ ???

f′(x) 0



0



f(x) 57

↘ -1145



由于当x>32时,f′(x)>0,

所以f(x)在???32,+∞???上为增函数. 因此,函数f(x)在[-2,+∞)上只有最小值-1145,无最大值.

点评:求函数的最值时,若定义域是一个无穷区间,则应首先研 究该函数的极值情况,然后结合函数的单调性、极值情况,画出函数 的大致图象,通过观察图象,求出函数的最值.

变式探究 1 函数 f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最小值为________.
解析:f′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x). 令 f′(x)=0,得 x=1(e-x>0), ∴f(1)=1e>0,f(0)=0,f(4)=e44>0, 所以 f(x)的最小值为 0. 答案:0

考点二 求含参数函数的最值 例2已知f(x)=xlnx,求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.

解析:f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=1e.
当x∈???0,1e???时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈???1e,+∞???时,f′(x)>0,f(x)单调递增. ①当0<t<t+2≤1e时,此种情况不成立; ②当0<t<1e<t+2时,
即0<t<1e时,则在x∈???t,1e???上f(x)递减; 在x∈???1e,t+2???上,f(x)递增, f(x)min=f???1e???=-1e.

③当

1 e

≤t<t+2,即t≥

1 e

时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=

f(t)=tlnt.

综上所述,当0<t<1e时,f(x)min=-1e;

当t≥1e时,f(x)min=tlnt.

点评:求解含参数函数的最大值和最小值的步骤:
(1)求函数的导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的全部实根,同时,根据参数的范围,判断 f′(x)=0的根是否在区间[a,b]内; (3)根据参数的取值范围,确定函数的极大值、极小值; (4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较,求出函数的最大 值、最小值.

变式探究2 已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

解析:(1)f′(x)=(x-k+1)ex.

令f′(x)=0,得x=k-1.

f(x)与f′(x)的情况如下:

x (-∞,k-1)

k-1

(k-1,+∞)

f′(x)



0



f(x) 单调递减↘ 极小值-ek-1 单调递增↗

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);

单调递增区间是(k-1,+∞).

(2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减, 在(k-1,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek-1; 当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.

考点三 函数最值的应用 例 3 已知函数 f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R). (1)若函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值,试求 a,b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求 c 的取值 范围.

解析:(1)f′(x)=3x2-2ax+b, ∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值, ∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根,

∴?????--11+×33==323ba,,

∴?????ab==3-,9.

(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f′(x)=3x2-6x-9.

当x变化时,f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:

x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)

f′(x)



0



0



f(x)



极大值 c+5



极小值 c-27



而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,

∴当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54.

要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可.

当c≥0时,c+54<2c,∴c>54;

当c<0时,c+54<-2c,∴c<-18.

∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞),此即为参数c的取值范围.

点评:不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题 型,这种题型的解法有多种,其中最常用的方法就是分离参数,然后 转化为求函数的最值问题,在求函数的最值时,可以借助导数求解.

变式探究3 已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求实数a的 取值范围.

解析:(1)∵函数f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞), ∴f′(x)=lnx+1. 令f′(x)<0,得lnx+1<0,解得0<x<1e,
∴f(x)的单调递减区间是???0,1e???. 令f′(x)>0,得lnx+1>0,解得x>1e,
∴f(x)的单调递增区间是???1e,+∞???.

(2)∵g′(x)=3x2+2ax-1,由题意得2xlnx≤3x2+2ax+1恒成 立.
∵x>0,∴a≥lnx-32x-21x在x∈(0,+∞)上恒成立. 设h(x)=lnx-32x-21x(x>0), 则h′(x)=1x-32+21x2=-?x-12??x32x+1?. 令h′(x)=0,得x1=1,x2=-13(舍).

当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:

x (0,1) 1 (1,+∞)

h′(x) +

0



h(x) ↗ 极大值 ↘

∴当x=1时,h(x)取得最大值,且h(x)max=h(1)=-2,

∴若a≥h(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,

则a≥h(x)max=-2,即a≥-2,

故a的取值范围是[-2,+∞).

4 新思维·随堂自测

1.函数 f(x)=ex-x 在区间[-1,1]上的最大值是( )

A.1+1e

B.1

C.e+1

D.e-1

解析:f′(x)=ex-1. 令 f′(x)=0,得 x=0. 当 x∈[-1,0]时,f′(x)≤0; 当 x∈[0,1]时,f′(x)≥0. ∴f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增. 又∵f(-1)=1e+1,f(1)=e-1, ∴f(-1)-f(1)=2+1e-e<0, ∴f(-1)<f(1). ∴f(x)max=f(1)=e-1. 答案:D

2.若函数y=x3+32x2+m在[-2,1]上的最大值为92,则m等于(

)

A.0 B.1

C.2

5 D.2

解析:y′=???x3+32x2+m???′=3x2+3x=3x(x+1). 由y′=0,得x=0或x=-1.
∴f(0)=m,f(-1)=m+12. 又∵f(1)=m+52,f(-2)=-8+6+m=m-2, ∴f(1)=m+52最大.∴m+52=92.∴m=2. 答案:C

3.函数f(x)=3x+sinx在x∈[0,π]上的最小值为__________.
解析:f′(x)=3xln3+cosx. ∵x∈[0,π]时,3xln3>1,-1≤cosx≤1, ∴f′(x)>0. ∴f(x)递增,∴f(x)min=f(0)=1. 答案:1

4.函数f(x)=x3-

1 2

x2-2x+5,若对于任意x∈[-1,2],都有f(x)

<m,则实数m的取值范围是__________.

解析:f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,
得x=-23或x=1. 可求得f(x)max=f(2)=7. ∴对于任意x∈[-1,2],f(x)<m恒成立时,m>7. 答案:m>7

5.已知函数f(x)=

1-x x

+lnx,求f(x)在

???21,2???

上的最大值和最小

值.


相关文档

2017-2018学期高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件新人教A版必修1
2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 第18课时 函数的最大(小)值与导数 新人教A版选修1-1
2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 第3课时 函数的最大(小)值与导数 新人教A版选修1-1
2017-2018学期高中化学第一章从实验学化学第二节化学计量在实验中的应用(第1课时)物质的量的单位——摩尔
2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射 新人教A版必修1
2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 新人教A版必修1
2017_2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2第2课时分段函数及映射课件新人教A版必修
2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用章末小结与测评 新人教A版选修2-2
2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值
2017-2018学年高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1 第三课时 直角三角形的射影定理 北师大版选修4-1
电脑版
?/a>