放缩法技巧全总结 2


放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而 综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的 求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩 技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩

?n
例 1.(1)求

2 的值;

k ?1 4k 2 ? 1

? (2)求证:

n k ?1

1 k2

?5. 3

? 解析:(1)因为

2 4n2 ?1

?

(2n

2 ? 1)( 2n

? 1)

?

1 2n ?1

?

1 ,所以 2n ?1

n k ?1

2 4k 2 ?1

?

1?

1 2n ?1

?

2n 2n ?1

? (2)因为 1
n2

?

1 n2 ? 1

?

4n

4
2

?1

?

2?? ?

1 2n ?

1

?

1 ? ,所以 n 1

? 2n ?1?

k ?1 k 2

? 1 ? 2?? 1 ? 1 ? ? ? ?3 5

1? 2n ?1

1 ?? ? 1 ? 2n ?1?

2 3

?

5 3

4

奇巧积累:(1)

1 n2

?

4 4n2

?

4 4n2 ? 1

?

2?? 1 ? 2n ? 1

?

1 ?? 2n ? 1?

(2) 1 ?

2

?1?1

C

n1?1C

2 n

(n ? 1)n(n ?1)

n(n ?1) n(n ? 1)

(3) Tr ?1

?

C

r n

?

1 nr

?

n! ? 1 r!(n ? r)! nr

?1? 1 ? r! r(r ?1)

1 ? 1 (r ? 2) r ?1 r

(4) (1? 1)n ? 1?1? 1 ? 1 ? ? 1 ? 3

n

2?1 3? 2

n(n ?1)

(5) 1 ? 1 ? 1 2n (2n ? 1) 2n ? 1 2n

(6) 1 ? n ? 2 ? n n?2

(7) 2( n ? 1 ? n) ? 1 ? 2( n ? n ?1) n

(8)

?? ?

2 2n ?1

?

1 2n ?

3

?? ?

?

1 2n

?

(2n

1 ? 1) ? 2n?1

?

(2n

1 ? 3) ? 2n

(9)

1

? ?? 1 ? 1 ?? 1 ,

1

? 1 ?? 1 ? 1 ??

k(n ?1? k) ? n ?1? k k ? n ?1 n(n ?1? k) k ?1? n n ?1? k ?

(10) n ? 1 ? 1 (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(11) 1 ? 2( 2n ?1 ? 2n ?1) ?

22

?

2

n

2n ?1 ? 2n ?1 n ? 1 ? n ? 1

2

2

(11)

2n

2n

2n

2n?1

1

1

(2n

? 1)2

?

(2n

? 1)(2n

? 1)

?

(2n

? 1)(2n

? 2)

?

(2n

? 1)(2n ?1

? 1)

?

2n?1 ?1 ?

2n

(n ?1

?

2)

(12)

1 ?
n3

1 ?
n ? n2

1 n(n ?1)(n ? 1)

?

?? ??

1? n(n ?1)

1 n(n

?

1)

?? ??

?

1 n ?1 ? n ?1

? ?? 1 ? 1 ?? ? n ? 1 ? n ?1 ? 1 ? 1

? n ?1 n ?1?

2n

n ?1 n ?1

(13)

2n?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n 3 2n ?1 3

(14)

k ?2

? 1? 1

k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

(15)

1 ? n ? n ?1(n ? 2)

n(n ? 1)

(15)

i2 ?1 ? j2 ?1 ?

i2 ? j2

?

i? j

?1

i? j

(i ? j)( i2 ? 1 ? j2 ? 1) i2 ? 1 ? j2 ? 1

例 2.(1)求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7 ? 1 (n ? 2)

32 52

(2n ?1)2 6 2(2n ?1)

1

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1

4 16 36

4n2 2 4n

(3)求证:

1 2

?

1?3 2?4

?

1? 3 ? 5 2?4?6

???

1? 3? 5 ??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

?

2n ?1 ?1

(4) 求证: 2( n ?1 ?1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2( 2n ?1 ?1)

23

n

? 解析:(1)因为 1 (2n ?1)2

?

1 (2n ?1)(2n ? 1)

?

1 ?? 1 ? 2 ? 2n ?1

1 ?? ,所以
2n ?1?

n i ?1

1 (2i ? 1)2

?1?

1 (1 ? 1 ) ?1? 1 (1 ?

2 3 2n ?1

23

1) 2n ?1

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 (1? 1 ? ?? 1 ) ? 1 (1?1? 1)

4 16 36

4n2 4 22

n2 4

n

(3)先运用分式放缩法证明出

1? 3 ? 5 ??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

?

1

,再结合

1

进行裂项,最后就可以得到答案
? n?2? n

2n ?1

n?2

(4)首先 1 ? 2( n ? 1 ? n) ?

2

,所以容易经过裂项得到 2( n ? 1 ?1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1

n

n?1? n

23

n

再证 1 ? 2( 2n ?1 ? 2n ?1) ?

22

?

2

而由均值不等式知道这是显然成立的,

n

2n ?1 ? 2n ?1 n ? 1 ? n ? 1

2

2

所以1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2( 2n ? 1 ?1)

23

n

例 3.求证:

6n

?1? 1 ? 1 ??? 1 ? 5

(n ? 1)(2n ? 1) 4 9

n2 3

解析:

一方面:

因为 1 n2

?1 n2 ? 1

?

? 4n

4 2?

1

?

2?? ?

1 2n ?1

?

1 2n ?

1

?? ?

,所以

n k ?1

1 k2

? 1 ? 2?? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ?? ? 1 ? 2

?3 5

2n ?1 2n ?1?

3

?

5 3

4

另一方面: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? n

49

n2

2?3 3?4

n(n ? 1) n ? 1 n ? 1

当n

?

3时,

n n ?1

?

6n (n ? 1)(2n ? 1)

,当 n

? 1时,

(n

6n ? 1)(2n

? 1)

?1?

1 4

?

1 9

???

1 n2

,

当 n ? 2时,

6n

1 ? 1?

? 1 ???

1

,

(n ?1)(2n ?1) 4 9

n2

所以综上有

6n

?1? 1 ? 1 ??? 1 ? 5

(n ? 1)(2n ? 1) 4 9

n2 3

例 4.(2008 年全国一卷)设函数 f (x) ? x ? x ln x .数列?an?满足 0 ? a1 ? 1. an?1 ? f (an ) .

设b

? (a1,1)

,整数 k



a1 ? b a1 ln b

.证明:

ak ?1

?

b

.

解析: 由数学归纳法可以证明?an?是递增数列, 故 若存在正整数 m ? k , 使 am ? b , 则 ak?1 ? ak ? b ,

若 am ? b(m ? k) ,则由 0 ? a1 ? am ? b ? 1知

k
? am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , ak ?1 ? ak ? ak ln ak ? a1 ? am ln am , m ?1

2

k
? 因为 am ln am ? k(a1 ln b) ,于是 ak ?1 ? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1) ? b m ?1
例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1.
解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx
? nm?1 ? nm?1 ? (n ? 1)m?1 ? (n ? 1)m?1 ? (n ? 2)m?1 ? ? ? 1m?1 ? 0 ? n [k m?1 ? (k ? 1)m?1] 所以要证 k ?1
nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1只要证:

n

n

n

? ? ? [k m?1 ? (k ? 1)m?1] ? (m ? 1) k m ? (n ? 1)m?1 ? 1 ? (n ? 1)m?1 ? nm?1 ? nm?1 ? (n ? 1)m?1 ? ? ? 2m?1 ?1m?1 ? [(k ? 1)m?1 ? k m?1]

k ?1

k ?1

k ?1

? ? ? 故只要证

n

n

[k m?1 ? (k ? 1)m?1] ? (m ? 1)

km ?

n [(k ? 1)m?1 ? k m?1] ,

k ?1

k ?1

k ?1

即等价于 k m?1 ? (k ? 1)m?1 ? (m ? 1)k m ? (k ? 1)m?1 ? k m ,

即等价于1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 )m?1,1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 )m?1

k

k

k

k

而正是成立的,所以原命题成立.

例 6.已知 an

?

4n

? 2n ,Tn

?

2n a1 ? a2 ? ? ? an

,求证:T1 ? T2

? T3

? ? ? Tn

?

3
.
2

解析: Tn

?

41

? 42

? 43

???

4n

? (21

?

22

???

2n )

?

4(1 ? 4n ) 1? 4

?

2(1 ? 2n ) 1? 2

?

4 (4n 3

? 1) ?

2(1 ? 2n )

所以

Tn

?

4 (4n

2n ? 1) ? 2(1 ? 2n )

?

4 n ?1

2n ? 4 ? 2 ? 2n?1

?

4 n ?1

2n ? 2 ? 2n?1

?

3? 2n 4n?1 ? 3 ? 2n?1 ? 2

?

3?

2n

2 2 ? (2n )2 ? 3 ? 2n

?1

3

33

33

?

3 2

?

(2 ? 2n

2n ? 1)(2n

? 1)

?

3? 1

2

? ?

2n

?1

?

1?

2n ?1

? ? 1?

从而 T1

? T2

? T3

? ? ? Tn

?

3 ??1 ? 2?

1 3

?

1 3

?

1 7

???

1 ?
2n ?1

2n

1
?1

?

1

?? ?

?

3 2



7.已知

x1

? 1,

xn

?

?n(n ? 2k ??n ?1(n ?

?1, k 2k, k

? ?

Z) ,求证:
Z)

4

1 x2 ? x3

? 4

1 x4 ? x5

??? 4

1 x2n x2n?1

?

2( n ? 1 ?1)(n ? N*)

证明: 1 ?

1

? 1 ? 1 ? 1 ? 2,

4 x2n x2n?1 4 (2n ?1)(2n ?1) 4 4n2 ?1 4 4n2 2 ? n 2 n

因为

2 n ? n ? n ?1 ,所以

1

? 2?

2

? 2( n ?1 ? n)

4 x2n x2n?1 2 n

n ? n ?1

二、函数放缩

所以 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2( n ? 1 ?1)(n ? N*)

4 x2 ? x3 4 x4 ? x5

4 x2n x2n?1

例 8.求证: ln 2 2

?

ln 3 ? 3

ln 4 4

???

ln 3n 3n

?

3n

? 5n ? 6 (n ? N *) . 6

解析:先构造函数有 ln x ? x ?1 ? ln x ? 1? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3n ? 3n ?1 ? (1 ? 1 ? ? ? 1 )

x

x

234

3n

23

3n

3

1 ? 1 ??? 1

23

3n

?

?? ?

1 2

?

1 3

?? ?

?

?? ?

1 4

?

1 5

?

1 6

?

1 7

?

1 8

?

1 9

?? ?

?

?

?

?? ?

1 2n

?

1 2n ?

1

?

?

?

1 3n

?? ?

?

5 6

? ?? 3 ?6

?

3 ?? ? ?? 9 9 ? ?18

?

9 27

?? ?

?

?

?

????

3n?1 2 ? 3n?1

?

3n?1 3n

????

?

5n 6

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3n ? 3n ?1 ? 5n ? 3n ? 5n ? 6

234

3n

6

6

例 9.求证:(1)?

?

2,

ln 2? 2?

?

ln 3? 3?

?

?

?

ln n? n?

?

2n2 ? n ?1 (n ? 2) 2(n ? 1)

解析:构造函数

f

(x)

?

ln x x

,得到

ln n? n?

ln n 2 ?
n2

,再进行裂项 ln n2 n2

?1?

1 n2

?1?

1 ,求和后可以得到答案 n(n ? 1)

函数构造形式: ln x ? x ?1, ln n? ? n? ?1(? ? 2)

例 10.求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ?1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1

23

n ?1

2

n

解析:提示: ln(n ?1) ? ln n ?1 ? n ??? 2 ? ln n ?1 ? ln n ? ? ? ln 2

n n ?1 1

n

n ?1

函数构造形式: ln x ? x, ln x ? 1? 1

y

x

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数 f (x) ? 1 , x

E

D

? ? 首先: S ABCF

?

n1 n?i x

,从而, 1 ? i n

?

n1 n?i x

? ln

x |nn?i ? ln

n ? ln(n ? i)

F

C

A

B

O

n-i n

x

取 i ? 1有, 1 ? ln n ? ln(n ?1) ,
n

所以有

1 2

?

ln

2

,

1 3

?

ln

3

?

ln

2

,…,

1 n

?

ln

n

?

ln(n

?1)

,

1 n ?1

?

ln(n

? 1)

?

ln

n ,相加后可以得到:

1 ? 1 ??? 1 ? ln(n ?1)

23

n ?1

? ? 另一方面 SABDE

?

n n?i

1 x

,从而有

1 n?i

?i

?

n n?i

1 x

?

ln

x

|nn?i ?

ln n ? ln(n ? i)

取 i ? 1有, 1 ? ln n ? ln(n ?1) , n ?1

所以有 ln(n ?1) ? 1? 1 ??? 1 ,所以综上有 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ?1) ? 1? 1 ? ? ? 1

2

n

23

n ?1

2

n

例 11.求证: (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ??? (1 ? 1 ) ? e 和 (1? 1)(1? 1 ) ??? (1? 1 ) ? e .解析:构造函数后即可证明

2! 3!

n!

9 81

32n

例 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ???[1 ? n(n ? 1)] ? e2n?3 解析: ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

3

,叠加之后就可以得到

n(n ?1) ? 1

4

答案 函数构造形式: ln(x ?1) ? 2 ? 3 (x ? 0) ? 1? ln(1 ? x) ? 3 (x ? 0) (加强命题)

x ?1

x

x ?1

例 13.证明: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ?? ln n ? n(n ?1) (n ? N*,n ? 1)

345

n?1 4

解析:构造函数 f (x) ? ln(x ?1) ? (x ?1) ?1(x ? 1) ,求导,可以得到:

f '(x) ?

1

2?x

?1 ?

,令 f '(x) ? 0 有1 ? x ? 2 ,令 f '(x) ? 0 有 x ? 2,

x ?1 x ?1

所以 f (x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ?1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ?1 有, ln n2 ? n2 ?1

所以 ln n ? n ?1 ,所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ?? ln n ? n(n ?1) (n ? N*,n ? 1)

n?1 2

345

n?1 4

例 14.

已知 a1 ? 1, an?1

?

(1

?

n2

1 ?

n

)an

?

1 2n

.

证明

an

?

e2

解析:

a n ?1

?

(1 ?

1 n(n ?

1)

)a

n

?

1 2n

?

(1 ?

1 n(n ?1)

?

1 2n

)an

,

11 然后两边取自然对数,可以得到 ln an?1 ? ln(1? n(n ?1) ? 2 n ) ? ln an

然后运用 ln(1 ? x) ? x 和裂项可以得到答案)

放缩思路: an?1

? (1?

1 n2 ? n

?

1 2n

)an

?

ln

an?1

?

ln(1 ?

1 n2 ?

n

?

1 2n

) ? ln an

?

?

ln

an

?

1 n2 ?

n

?

1 2n

。于是 ln an?1

? ln an

?

1 n2 ? n

?

1 2n



? ? n?1
i ?1

n?1
(ln ai?1 ? ln ai ) ?
i ?1

1 (i2 ? i

?

1 2i

)

?

ln

a

n

? ln a1

?1? 1 n

1 ? ( 1 )n?1 ?2
1? 1

?

2

?

1 n

?

1 2n

? 2.

2

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e2 .

注:题目所给条件 ln(1? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本

题还可用结论 2n ? n(n ?1)(n ? 2) 来放缩:

a n ?1

?

(1 ?

1 n(n ?

1)

)a

n

?

1 n(n ?1)

?

a n ?1

?1?

(1 ?

1 n(n ?1))(an

?1) ?

? ? ln(an?1

? 1)

?

ln(an

? 1)

?

ln(1 ?

1) n(n ?1)

?

1 n(n ?1)

.

n ?1

n ?1

? [ ln(ai?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ?

i?2

i?2

1 i(i ? 1)

?

ln(an

? 1)

?

ln(a2

? 1)

?1?

1 n

?1,

即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f (x) ? x ln x. 若 a ? 0,b ? 0,证明 : f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

解析:设函数 g(x) ? f (x) ? f (k ? x), (k ? 0)

f ( x)? x l n x?, g (?x ) x l?nx ? (k x )?l nk( x ) ,

?0 ? x ? k. g? ( x?) l n?x ? 1 l?nk( ?x ?) 1 x l n

,

k?x

令g?(x )? 0则, 有 x ? ?1 2x ? k ? ?0 k ? x ? k .

k?x

k?x

2

5

∴函数

g ( x)在[

k 2

,k

)上单调递增,在

(0,

k ] 上单调递减.∴
2

g(x)

的最小值为

g

(

k 2

)

,即总有

g(x)

?

g(k ). 2

而 g( k ) ? f ( k ) ? f (k ? k ) ? k ln k ? k(ln k ? ln 2) ? f (k) ? k ln 2,

2

2

2

2

? g(x) ? f (k) ? k ln 2,

即 f (x) ? f (k ? x) ? f (k) ? k ln 2.

令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b.

? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b)ln 2. ? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f (x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f '(x) ? f (x) 在 x ? 0 上恒成立.

(I)求证:函数 g(x) ? f (x) 在(0,??) 上是增函数; x
(II)当 x1 ? 0, x2 ? 0时,证明 : f (x1) ? f (x2 ) ? f (x1 ? x2 ) ;

(III)已知不等式 ln(1 ? x) ? x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立,

求证:

1 22

ln

22

?

1 32

ln

32

?

1 42

ln

42

???

(n

1 ? 1)2

ln(n

? 1)2

?

2(n

n ? 1)(n

?

2)

(n ? N * ).

解析:(I) g'(x) ? f '(x)x ? f (x) ? 0,所以函数 g(x) ? f (x) 在(0,??) 上是增函数

x2

x

(II)因为 g(x) ? f (x) 在(0,??) 上是增函数,所以 x

f (x1 ) x1

?

f (x1 ? x2 ) ? x1 ? x2

f (x1 ) ?

x1 x1 ? x2

?

f (x1 ? x2 )

f (x2 ) ? x2

f (x1 ? x2 ) ? x1 ? x2

f (x2 ) ?

x2 x1 ? x2

? f (x1 ? x2 )

两式相加后可以得到 f (x1) ? f (x2 ) ? f (x1 ? x2 )

(3)

f (x1 ) ? x1

f (x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? x1 ? x2 ? ? ? xn

f (x1 ) ?

x1 x1 ? x2 ? ? ? xn

? f (x1 ? x2 ? ? ? xn )

f (x2 ) ? x2

f (x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? x1 ? x2 ? ? ? xn

f (x2 ) ?

x2 x1 ? x2 ? ? ? xn

? f (x1 ? x2

? ? ? xn ) ……

f (xn ) ? xn

f (x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? x1 ? x2 ? ? ? xn

f (xn ) ?

xn x1 ? x2 ? ? ? xn

?

f (x1 ? x2

??? xn )

相加后可以得到:

f (x1 ) ? f (x2 ) ? ? ? f (xn ) ? f (x1 ? x2 ? ? ? xn )

所以 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ??? xn ln xn ? (x1 ? x2 ??? xn )ln(x1 ? x2 ??? xn )

6

令 xn

?

1 (1 ? n)2

,有

?

????

1 22

ln

22

?

1 32

ln

32

?

1 42

ln

42

???

(n

1 ? 1) 2

ln(n

? 1) 2

????

?

????

1 22

?

1 32

?

1 42

???

(n

1 ? 1)2

????

?

ln

????

1 22

?

1 32

???

1 (n ?1)2

????

?

????

1 22

?

1 32

???

(n

1 ? 1)2

???? ? ln????

1? 2?1

1 3? 2

???

(n

1 ? 1)n

????

?

?? ? ?

1 ???? n ? 1??

1 2

?

n

1 ?

2

?? ?

?

?

2(n

n ? 1)(n

?

2)

所以 1 ln 22 ? 1 ln 32 ? 1 ln 42 ? ? ? 1 ln(n ? 1)2 ?

n

(n ? N * ).

22

32

42

(n ? 1)2

2(n ? 1)(n ? 2)

(方法二) ln(n ?1)2 (n ?1)2

?

ln(n ?1)2 (n ?1)(n ? 2)

?

ln 4 (n ?1)(n ? 2)

? ln 4?? 1 ? ? n?1

1 ?? n?2?

所以

1 22

ln

22

?

1 32

ln 32

?

1 42

ln

42

???

(n

1 ? 1)2

ln(n ?1)2

?

ln

4?? ?

1 2

?

n

1 ?

?? 2?

?

n ln 4 2(n ? 2)

又 ln

4

?1?

1 ,所以 n ?1

1 22

ln 22

?

1 32

ln 32

?

1 42

ln 42

???

1 (n ? 1)2

ln(n ? 1)2

?

n 2(n ? 1)(n ? 2)

(n ? N * ).

三、分式放缩

姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)

a a?m

a a?m

记忆口诀”小者小,大者大”,解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之.

例 19. 姐妹不等式: (1?1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ?

35

2n ?1

2n ?1 和 (1? 1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ?

246

2n

1 也可以表
2n ?1

示成为 2 ? 4 ? 6?? 2n ? 1?3?5??? (2n ?1)

2n

?

1



1

?

3 2

? ?

5 4

??? (2n ?1) ? 6 ??? 2n

?

1 2n ?1

解析: 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得 a a?m

2 1

?

4 3

?

6? 2n 5 2n ?1

?

3? 2

5 4

? 7? 2n ?1 6 2n

?

1 2

?

3 4

?

5? 2n ?1 ? (2n 6 2n

? 1)

?

(

2 1

?

4? 3

6? 2n )2 5 2n ?1

?

2n ?1即 (1?1)(1?

1 )(1 ? 3

1 )?(1 ? 5

1) 2n ?1

?

2n ?1.

例 20.证明: (1?1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ? 3 3n ?1.

47

3n ? 2

解析: 运用两次次分式放缩:

2 ? 5 ? 8 ??? 3n ?1 ? 3 . 6 ? 9 ???? 3n 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ?1

(加 1)

2 ? 5 ? 8 ??? 3n ? 1 ? 4 . 7 ? 10 ??? ? 3n ? 1

1 4 7 3n ? 2 3 6 9

3n

(加 2)

相乘,可以得到:

?? 2 ? 5 ? 8 ??? 3n ? 1 ??2 ? 4 . 7 ? 10 ??? ? 3n ? 1 ? 1 ? 4 ? 7 ??? 3n ? 2 ? (3n ? 1)

? 1 4 7 3n ? 2 ? 2 5 8

3n ? 1 2 5 8 3n ? 1

所以有 (1?1)(1? 1)(1? 1)?(1? 1 ) ? 3 3n ?1.

47

3n ? 2

7

四、分类放缩

例 21.求证:1? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n

23

2n ?1 2

解析:

1

?

1 2

?

1 3

?

?

?

1 2n ?

1

?

1

?

1 2

?

(

1 4

?

1 4

)

?

(

1 23

?1 23

?1 23

?

1 23

)

???

1 ( 2n

1 ?
2n

??? 1 )? 1 2n 2n

n

1n

? ? (1 ? ) ?

2

2n 2

例 22. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , y 轴 正 半 轴 上 的 点 列 ?An? 与 曲 线 y ? 2x ( x ≥0 ) 上 的 点 列 ?Bn ? 满 足

OAn

?

OBn

?

1 n

,直线

An Bn



x

轴上的截距为

an

.点

Bn

的横坐标为 bn

,

n

?

N

?.

n ? 2008 (1)证明 an > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 <

.

b1 b2

bn?1 bn

? ? 解析:(1)

依题设有:

An

? ??

0,

1 n

? ??

,

Bn

bn ,

2bn

, ?bn

? 0? ,由 OBn

? 1 得: n

bn 2

?

2bn

?

1 n2

,? bn

?

1 n2

?1 ?1, n ?

N*

,又直线

在 An Bn

x

轴上的截距为 an

满足

?

an

?

0?

? ??

2bn

?

1 n

? ??

?

? ??

0

?

1 n

? ??

?bn

? 0?

an

?

bn 1? n

2bn

2n2bn

? 1? n2bn2

?

0, bn

?

2

?

1 n2bn

? ? ?an

? bn 1? n 2bn

bn 1? n 2bn ? 1? 2n2bn

?

1 n2bn

?

n

2 bn

? bn ? 2 ?

2bn ? 4 ?an ?

1 n2

?1 ?1?

2?2

1 n2

?1

显然,对于 1 ? 1 ? 0 ,有 an ? an?1 ? 4, n ? N *
n n?1

(2)证明:设 cn

?1?

bn?1 bn

, n ? N * ,则

cn ?

1 n2

?1 ?
1 n2

1
?n ?1?2
?1 ?1

?1

?

n2

? ???

1 n2

?

1
?n ?1?2

? ???

1 n2

?1 ?1

1 n2

?1 ?

?n

1
? 1?2

?1

?

2n ?1
?n ?1?2

1 n2

?1 ?1

2

1 n2

?1

?

2n ?1
?n ?1?2

? ?
?
? ??

1 2

?

2

?

1
1 n2

?1

? ? ? ??

?

2n ?1
2?n ?1?2

?2n

? 1? ? n

?

2?

?

2?n

?1?2

?

n

?

0,?cn

?

n

1 ?

2

,n?

N*

设 Sn ? c1 ? c2 ? ? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ?1?k ? N* ? 时,

Sn

?

1 3

?

1 4

?

? 1 ?1 2k ?1 2k

?

? ??

1 3

?

1 4

? ??

?

? ??

1 22 ?1

?

?

2?

1 22

?

22

?

1 23

?

?

2k

?1

?

1 2k

?

k ?1 。 2

?

1 23

? ??

?

? ??

1 2k ?1 ?1

?

?

1 2k

? ??

所以,取 n0 ? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n0 都有:

8

????1

?

b2 b1

????

?

????1

?

b3 b2

????

?

?

?

????1

?

bn?1 bn

????

?

Sn

? Sn0

?

4017 ?1 ? 2008 2

故有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008成立。

b1 b2

bn?1 bn

例 23.已知函数 f (x) ? x2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f (x) 的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列{bn } 满足

bn

?

f (n) n3

(n

?

N

*

)

,记数列{bn

}

的前

n

项和为

Tn

,问是否存在正常数

A,使得对于任意正整数 n

都有 Tn

?

A ?并

证明你的结论。

解析:首先求出

f (x) ? x2 ? 2x ,∵ bn

?

f (n) n2 ? 2n 1

n3 ?

n3

? n

∴ Tn

?

b1

? b2

? b3

??? bn

?1?

1 2

?

1 3

???

1 n

,∵

1 3

?

1 4

?

2?

1 4

?

1 2

,

1 5

?

1 6

?

1 7

?

1 8

?

4?

1 8

?

1 2

,…

1 2k?1 ?1

?

1 2k?1 ?

2

???

1 2k

?

2k

?1

?

1 2k

?

1 2

,故当

n

?

2k

时,

Tn

?

k 2

?1,

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数,

则当 n

?

22m?2

时,必有 Tn

?

2m ? 2

2

?1 ?

m

?

A.

故不存在常数 A 使Tn ? A 对所有 n ? 2 的正整数恒成立.

?x ? 0,

例 24.

设不等式组

? ?

y

?

0,

表示的平面区域为 Dn ,

??y ? ?nx ? 3n

设 Dn 内整数坐标点的个数为 an .设 Sn

?

1 an?1

?

1 an?2

???

1 a2n

,

当 n ? 2时,求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7n ? 11 .

a1 a2 a3

a2n

36

解析:容易得到

an

?

3n

,所以,要证

1 a1

?1 a2

?1 a3

??? 1 a2n

?

7n ? 11 36

只要证

S2n

?1? 1 ? 1 ??? 23

1 2n

? 7n ? 11 ,因为 12

S2n

? 1? 1 ? (1 ? 1) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1) ??? ( 1 ? 1 ???

2 34 5678

2n?1 ? 1 2n?1 ? 2

1 2n

1 ? 1 ? 2 ? T21

?

T 2

2

?

?

?

T 2

n

?1

?

3 ? 7 (n ?1) ? 2 12

7n ? 11,所
12

以原命题得证

五、迭代放缩

? 例 25.

已知 xn?1

?

xn xn

?4 ? 1 , x1

? 1 ,求证:当 n ? 2时,

n
|
i ?1

xi

? 2 | ? 2 ? 21?n

解析:通过迭代的方法得到

xn

?2

?

1 2 n?1

,然后相加就可以得到结论



26.

设 Sn

?

sin1! ? 21

sin 2! ? ? ? 22

s

in n! 2n

,求证:对任意的正整数

k,若

k≥n

恒有:|Sn+k-Sn|<n1

解析:

| Sn?k

? Sn

|?|

sin(n ? 2 n?1

1)!

?

sin(n ? 2n?2

2)!

?

?

?

sin(n ? 2n?k

k)

|

?| sin(n ?1)! | ? | sin(n ? 2)! | ??? | s i nn(? k) |? 1 ? 1 ? ?? 1

2 n ?1

2n?2

2n?k

2n?1 2n?2

2n?k

9

? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 ? (1? 1 ) ? 1

2n 2 22

2k 2n

2k 2n

又 2n

? (1 ? 1)n

?

C

0 n

?

C

1 n

?

?

?

C

n n

?

n

六、借助数列递推关系

所以 | Sn?k

? Sn

|?

1 2n

?

1 n

例 27.求证: 1 ? 1? 3 ? 1? 3? 5 ? ?? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) ? 2n ? 2 ?1

2 2?4 2?4?6

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

解析:

设 an

?

1

?

3 2

? ?

5 4

??? (2n ? ? 6 ??? 2n

1)



an

?1

?

2n 2(n

? ?

1 1)

a

n

?

2(n ? 1)an?1

?

2nan

? an ,从而

an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到

a1 ? a2 ? ? ? an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ?

1 ?1 ? (2n ? 2) ? 2n ? 3

所以 1 ? 1? 3 ? 1? 3? 5 ? ?? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) ? 2n ? 2 ?1

2 2?4 2?4?6

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

例 28. 求证: 1 ? 1? 3 ? 1? 3? 5 ? ?? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) ? 2n ?1 ?1

2 2?4 2?4?6

2 ? 4 ? 6 ??? 2n

解析:

设 an

? 1? 3? 5 ??? (2n ?1) 则 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

an ?1

?

2n 2(n

?1 ? 1)

an

? [2(n

? 1) ? 1]an?1

?

(2n ? 1)an

?

an?1 ,从而

1 ?1 2n ? 2

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到

a1 ? a2 ? ? ? an ? (2n ? 1)an?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ?

1 ?3? 2n ?1 2

2n ?1 ?1

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1,求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2( n ?1 ?1)

a1 a2

an

解析:

1 an?2 ? an?1 ? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ? an?1 ? an?2 ? an

1
所以就有
a1

?1 a2

??? 1 an

?

1 a1

? an?1 ? an ? a2 ? a1

?2

an?1an ? a2 ? 2

n ?1 ? 2

七、分类讨论

例 30.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1. 证明:对任意的整数 m ? 4 ,

有 1 ? 1 ??? 1 ? 7

a4 a5

am 8

? ? 解析:容易得到 an

?

2 3

2n?2

? (?1) n?1

.,

由于通项中含有 (?1) n ,很难直接放缩,考虑分项讨论:

当n

? 3 且 n 为奇数时 1 an

?

1 an?1

?

31 2 (2n?2 ?1 ?

1

2 n?1

) ?1

?

3

2n?2 ? 2n?1

2 ? 22n?3 ? 2n?1 ? 2n?2

?1

?

3 2

?

2n?2 ? 2n?1 2 2n?3

?

3 2

?

(

2

1
n?2

?

1 2 n ?1

)

(减项放缩),于是

①当 m ? 4 且 m 为偶数时 1
a4

?1 a5

??? 1 am

?

1 a4

1 ?(
a5

?

1 )???( 1

a6

a m ?1

?

1 )
am

10

?

1 2

?

31 (
2 23

?

1 24

?? ?

1 2m?2

)

?

1 2

?

3 2

?

1 4

? (1?

1 2m?4

)

?

1 2

?

3 8

?

7. 8

② 当 m ? 4 且 m 为 奇 数 时 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ( 添 项 放 缩 ) 由 ① 知

a4 a5

am a4 a5

am am?1

1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 7 . 由①②得证。

a4 a5

am am?1 8

八、线性规划型放缩

例 31.

设函数

f (x) ?

2x ?1 x2 ? 2

.若对一切

x

?

R



?3

?

af

(x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。

解析:由 (

f

(x) ?

1 )( 2

f

(1) ?1)

?

?(x ? 2)2 (x ?1)2 2(x2 ? 2)2

知(

f

(x) ?

1 )( 2

f

(1) ?1)

?

0



? 1 ? f (x )? 1 2

由此再由 f (x) 的单调性可以知道 f (x) 的最小值为 ? 1 ,最大值为1 2

?a ? b ? ?3

因此对一切

x

?

R

,?3

?

af

(x)

?

b

?

3

的充要条件是,????3

?

?

1 2

a

?

b

?

3

???3 ? a ? b ? 3



a

,b

满足约束条件

??a ? ??

? 1

b a

? ?

3 b

?

?3



?2

? ???

1 2

a

?

b

?

3

由线性规划得, a ?b 的最大值为 5. 九、均值不等式放缩

例 32.设 Sn ?

1? 2 ?

2?3 ???

n(n ?1). 求证

n(n ? 1) 2

?

Sn

?

(n ? 1)2 2

.

解析: 此数列的通项为 ak ? k(k ?1), k ? 1,2,?, n.

? ? ?k ?

k(k

? 1)

?

k

?k 2

?1

?

k

?

1 2

,?

n k ?1

k

?

Sn

?

n
(k
k ?1

?

1) , 2



n(n ? 1) 2

?

Sn

?

n(n ? 1) 2

?

n 2

?

(n

? 1)2 2

.

注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式

k(k

? 1)

?

k

?1则得 Sn

?

n
? (k
k ?1

? 1)

?

(n ?1)(n ? 3) 2

?

(n ?1) 2 2

,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里

n 1 ???

1

?n

a1 ?an

?

a1 ? ? ? an n

?

a1

an

a12

???

a

2 n

n

ab ? a ? b ,若放成 2

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。



33.已知函数

f

(x)

?

1

?

1 a?

2bx

,若

f (1)

?

4 ,且 5

f (x) 在[0,1]上的最小值为

1 2



求证: f (1) ? f (2) ? ?? f (n) ? n ? 1 ? 1 . 2n?1 2

解析: f (x) ? 4 x ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 (x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? 1 )

1? 4x

1? 4x

2? 2x

2?2

?

(1 ?

1 2? 22

)

???

(1 ?

1 2? 2n

)

?

n

?

1 4

(1 ?

1 2

???

1 2 n ?1

)

?

n

?

1 2 n?1

?

1. 2

例 34.已知 a, b 为正数,且 1 ? 1 ? 1 ,试证:对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 22n ? 2n?1 .
ab

11

解析:



1 a

?

1 b

? 1得 ab

?

a ? b ,又 (a ? b)(1
a

? 1) ? 2? b

a b

?

b a

? 4 ,故 ab

?

a?b

?

4 ,而

(a ? b)n

?

C

0 n

a

n

?

C n1 a

n?1b

?

?

?

C

r n

a

n?r

b

r

?

?

?

C

n n

b

n





f (n)

? (a ? b)n

?an

? b n ,则

f

(n)

=

C

1 n

a

n?1b

?

?

?

C

r n

a

n?r

b

r

?

?

?

C

n n

?1ab

n

?1

,因



C

i n

?

C

n n

?i

,倒序相加得

2

f

(n)

=

C

1 n

(a

n?1b

?

ab

n

?1

)

?

?

?

C

r n

(a

n?

r

b

r

?

a

r

b

n?

r

)

?

?

?

C n?1 n

(ab

n

?1

? a n?1b) ,

n
而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r br ? a r bn?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a nbn ? 2 ? 4 2 ? 2n?1 ,

则2f

(n)

=

(C

1 n

? ? ? Cnr

?

?

?

C n?1 n

)(

a

r

b

n?r

?

an?rbr )

?

(2n

? 2)(a r b n?r

?

an?rbr )

? (2n

? 2) ?

2n?1 ,所以

f (n)

? (2n

? 2) ?

2n ,

即对每一个 n ? N ? , (a ? b)n ? a n ? bn ? 22n ? 2n?1.

n?1
例 35.求证 Cn1 ? Cn2 ? Cn3 ? ?? Cnn ? n ? 2 2 (n ? 1, n ? N)

解析: 不等式左

C

1 n

? Cn2

?

C

3 n

?

?

?

C

n n

?

2n

?1 ?1? 2 ? 22

? ?? 2n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1

=

n?1
n ? 2 2 ,原结论成立.

n
例 36.已知 f (x) ? e x ? e?x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (n) ? (en?1 ? 1) 2

解析:

f

(x1 ) ?

f

(x2 )

?

(e x1

?

1 e x1

) ? (e x2

? 1 ) ? e x1?x2 e x2

e x1 ?
e x2

e x2 ?
e x1

1 ?
e x1 ? e x2

? e x1? x2

?1

n
经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (n) ? (en?1 ? 1) 2

例 37.已知 f (x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n
x

1

1

k 2n ?1? k

1

解析: (k ? )(2n ?1? k ?

) ? k(2n ?1? k) ?

?

?

? 2(2n ?1? k) ? 2

k

2n ?1? k

2n ?1? k k k(2n ?1? k)

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k(1? k) ? 2n ? (k ?1)(2n ? k) ? 0 ? k(2n ?1? k) ? 2n

所以 (k ? 1 )(2n ? 1 ? k ? 1 ) ? 2n ? 2

k

2n ? 1 ? k

从而[ f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ?1)n .



38.若 k

?

7 ,求证: Sn

?

1 n

?

1 n ?1

?

n

1 ?

2

???

1 nk ?1

?

3 2

.

解析: 2Sn

?

(1 n

?

1) nk ?1

?( 1 ? n ?1

1 nk ?

) 2

?( n

1 ?

2

?

1) nk ? 3

???

(1 ? nk ?1

1) n

因为当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy , 1 ? 1 ? xy

2

,所以 (x ?

1 y)(

?

1 )

?

4 ,所以

1

?

1

?

4

,

xy

xy

x y x? y

当且仅当 x ? y 时取到等号.

所以

2Sn

?

n

?

4 nk

?1

?

n

4 ?1? nk

?

2

?

n

?

2

4 ? nk

?3

???

n

?

4 nk

?1

?

4n(k ?1) n ? nk ?1

12

所以 Sn

?

2(k 1? k

?1) ?1

? 2(k ?1) ? 2 ? 4 ? 3 所以 Sn

k ?1

k ?1 2

?

1 n

?

1? n ?1

1 n?2

???

1 nk ?1

?

3 2

n



39.已知

f

(x)

?

a(x

?

x1)( x

?

x2 ) ,求证:

f

(0) ?

f

(1)

?

a2 16

.

解析:

f

(0) ?

f

(1)

?

a2[x1(1 ?

x1)][ x2 (1?

x2 )]

?

a2 16

.

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时,

求证: [f’(x)]n-2n-1·f’(xn)≥2n(2n-2).

解析: 由已知得, f ?(x) ? 2x ? 2 (x ? 0) x

(1)当 n=1 时,左式= (2x ? 2) ? (2x ? 2) ? 0 右式=0.∴不等式成立.

x

x

(2) n ? 2 ,

左式=[ f ?(x)]n

? 2n?1 ?

f

?( x n

)

?

(2x

?

2)n x

?

2 n?1

? (2xn

?

2 xn

)

?

2n (Cn1 x n?2

? Cn2 x n?4

? ? ? Cnn?2

1 x n?4

? Cnn?1

1 xn?2 ).

令 S ? Cn1xn? 2? Cn x2 n? ?4
由倒序相加法得:

? Cnn?

21 xn?4

? Cnn?

11 xn?2

2S

? Cn1 (x n?2

?

x

1
n?2

)

?

Cn2

(

x

n?4

?

x

1
n?4

)

?

?

?

Cnn?1

(

x

1
n?2

?

xn?2 )

?

2(Cn1

?

C

2 n

???

C

n n

?1

)

?

2(2 n

?

2) ,

所以 S ? (2n ? 2).

所以[ f ?(x)]n ? 2n?1 ? f ?(x n ) ? 2n (2n ? 2)成立. 综上,当 k 是奇数, n? N? 时,命题成立

例 41.已知函数 f (x) ? a x ? x(a ? 1) (1)求函数 f (x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;

(2)令

S (n)

?

C

1 n

f

' (1)

?

C

2 n

f

' (2)

???

C n?1 n

f

' (n

? 1)

求证: S(n)

?

(2n

? 2) ?

f

'(n) 2

(1)由 f

' (x)

?

ax

ln a ? 1,

f

' (x)

?

0,即:a x

ln a

? 1,? a x

?

1 , 又a ln a

? 1? x

?

? log a

ln a

同理:f ' (x) ? 0, 有x ? ? log a ln a,

所以f ' (x)在(??,? log a ln a)上递减,在(? log a ln a,??)上递增;

所以f (x) min

?

1 ? ln ln a f (? log a ln a) ? ln a

若f

( x) min

?

0,即1 ? ln ln ln a

a

?

0, 则 ln

ln

a

?

?1,? ln

a

?

1 e

1
? a的取值范围是1 ? a ? e e

13

(2)S

(n)

?

C

1 n

(a

ln

a

?

1)

?

C

2 n

(a

2

ln

a

?

1)

?

?

?

C n?1 n

(a

n?1

ln

a

?

1)

?

(C

1 n

a

?

C

2 n

a

2

???

Cnn?1a n?1 ) ln

a

?

(C

1 n

?

C

2 n

???

C

n?1 n

)

?

1 2

[C

1 n

(a

?

a n?1 )

?

C

2 n

(a

2

?

an?2 )

?

?

?

C

n n

?1

(a

n?1

?

a)]ln

a

? (2n

?

2)

n
? a 2 (2n ? 2) ln a ? (2n ? 2)

?

(2n

?

n
2)(a 2

ln

a

? 1)

?

(2n

?

2)

f

' (n),

2

所以不等式成立。

★ 例 42. (2008 年江西高考试题)已知函数 f ? x? ? 1 ? 1 ? ax , x ??0, ? ?? .对任意正数 a ,
1? x 1? a ax ? 8
证明:1? f ? x? ? 2.

解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由
f (x) ?

1

?

1

?

1

,

1? x 1? a 1? 8

ax

若令 b ?

8
,则

abx ? 8 ① ,而

f ?x? ?

1

?

1

?

1



ax

1? x 1? a 1?b

(一)、先证 f ?x? ?1;因为

1 ?1, 1? x 1? x

1 ?1,
1? a 1? a

1 ?1, 1?b 1?b

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 44 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 .

所以 f ? x? ?

1? 1? x

1? 1? a

1 1? b

?1?1?1 1? x 1? a 1?b

?

3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1? x)(1? a)(1? b)

? 9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? 1? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? 1 .

(1? x)(1? a)(1? b)

(1? x)(1? a)(1? b)

(二)、再证 f ?x? ? 2 ;由①、②式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2

(ⅰ)、当 a ? b ? 7,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5,因为 1 ? 1, 1? b

1

?

1

?

2

,此时
?1

f

?x?

?

1? x 1? a 1?5

1? 1? x

1? 1? a

1 ?2. 1? b

(ⅱ)、当 a ? b ? 7③,由①得 , x ? 8 , 1 ? ab ,
ab 1? x ab ? 8

因为 1 ? 1 ? b ? b2

?[ 1 ? b 2] 所以

1? b

1? b 4 ( 1? b2 )

2 ?( 1b )

1 1? b

?1?

b 2(1? b)



同理得

1 ? 1? a ⑤ ,于是
1? a 2 ( 1? a )

f

?

x?

?

2

?

1 2

?a ??? 1? a

?

b 1? b

?

2

ab ? ab ? 8 ??? ⑥

14

今证明 a ? b ? 2 ab ⑦, 因为 a ? b ? 2

ab



1? a 1? b ab ? 8

1? a 1? b (1? a)(1? b)

只要证

a b ? a b ,即 ab ? 8 ? (1? a)(1? b) ,也即 a ? b ? 7,据③,此为显然.

( 1? a ) (?1 b ) a b? 8

因此⑦得证.故由⑥得 f (x) ? 2 .

综上所述,对任何正数 a, x ,皆有1? f ?x? ? 2.

例 43.求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2

n ?1 n ? 2

3n ?1

解析:一方面: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ?? ? 1 ? 2 ? 1

n?1 n? 2

3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

(法二)

n

1 ?

1

?

n

1 ?

2

?

?

?

1 3n ?

1

?

1 2

?

??????

n

1 ?

1

?

1 3n ?

?? 1?

?

?? ?

n

1 ?

2

?

1 3n

?? ?

?

?

?

?? ?

1 3n ?1

?

n

1 ?

1

??????

?

1 2

?

????

(3n

4n ? 2 ? 1)(n ? 1)

?

4n ? 2 3n(n ? 2)

?

??

(n

4n ? 2 ? 1)(3n ? 1)

????

?

?2n

?

1?

?

????

(2n

?

1 1)2

? n2

?

1 (2n ? 1)2 ? (n ?1)2

???

1 (2n ? 1)2

? ? n2 ???

?

(2n ? 1)2 (2n ? 1)2

?1

另一方面: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 2

n?1 n? 2

3n ?1 n ?1 n ?1

十、二项放缩

2n

?

(1 ? 1) n

?

C

0 n

?

C

1 n

???

C

n n

,

2

n

?

C

0 n

?

C

1 n

?

n

?1,

2n

?

C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

?

n2

?n 2

?

2

2n ? n(n ? 1)(n ? 2)

例 44.

已知 a1

? 1, an?1

? (1?

n2

1 ?

n

)an

?

1 2n

. 证明 an

?

e2

解析:

a n ?1

?

(1 ?

1 n(n ?1))an

?

1 n(n ?1)

?

a n ?1

?1?

(1 ?

1 n(n ?1))(an

? 1)

?

? ? 1

1

ln( a n ?1

? 1)

?

ln(an

? 1)

?

ln(1 ?

n(n

) ?1)

?

n(n

?1)

.

n ?1

n ?1

? [ ln(ai?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ?

i?2

i?2

1 i(i ? 1)

?

ln(an

? 1)

?

ln(a2

? 1)

?1?

1 n

?1,

即 ln(an ?1) ? 1? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .

45. 已知 i, m, n 是正整数,且1? i ? m ? n. (1)证明 ni Ami ? mi Ani ;(2)证明 (1? m)n ? (1? n)m.

简析

对第(2)问:用1/

n

代替

n

得数列 {bn}: bn

?

(1 ?

1
n) n

是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列 {(1 ?

1
n) n }

递减,且1 ? i

?

m

?

n,



(1 ?

m)

1 m

?

(1 ?

n)

1 n

,



(1

?

m)

n

?

(1 ? n)m 。

当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房

问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。

例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? b n ? 21?n.

解析:

因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a, 1 , b 成等差数列,设 a ? 2

1 ?d,b ? 1 ?d

2

2

,从而 a n

?bn

? ?? 1 ? d ??n ?2 ?

? ?? 1 ? d ??n ?2 ?

? 21?n

15

47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2)n ?

8

.

3 (n ? 1)(n ? 2)

解析: 观察 (2)n 的结构,注意到 ( 3)n ? (1 ? 1)n ,展开得

3

2

2

(1 ?

1)n 2

? 1 ? Cn1

?1 2

? Cn2

1 ? 22

? Cn3

1 ? 23

???1?

n 2

?

n(n ?1) 8

?

(n ?1)(n ? 2) ? 6 ,即 (1 ? 8

1)n 2

?

(n ?1)(n ? 2) 8

,得证.

例 48.求证: ln 3 ? ln 2 ? ln(1 ? 1 ) ? ln 2 .

n

2n n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f (x), x ? N*, y ? N* ,满足:

①对任意 a,b ? N*, a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a); ②对任意 n?N* 都有 f [ f (n)] ? 3n .

(I)试证明: f (x) 为 N* 上的单调增函数;

(II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ;

(III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:. n ≤ 1 ? 1 ? ? 1 ? 1

4n ? 2 a1 a2

an 4

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.

(1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a),所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 ,

也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,不妨设 a ? b ,所以,可以得到 f (a) ? f (b) ,也就是说 f (x) 为 N* 上的单调增

函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路 了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1,a ? f (1) ,则可以得到 ( f (x) ?1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N *,所以可以得到 f (1) ? 2 ① 接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 ②
f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54 , f (54) ? f [ f (27)] ? 81 在此比较有技巧的方法就是: 81? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55 ③ 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后 就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55? 9 ? 2 ? 66

(3)在解决 {an } 的通项公式时也会遇到困难.

f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an , 所 以 数 列 an ? f (3n ), n ? N* 的 方 程 为 an ? 2 ? 3n , 从 而

1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) ,

a1 a2

an 4 3n

一方面

1 4

(1 ?

1 3n

)

?

1 4

,另一方面 3n

?

(1 ?

2)n

?

Cn0

? 20

?

Cn1

? 21

?

2n

?1

所以

1 4

(1 ?

1 3n

)

?

1 4

(1 ?

1) 2n ?1

?

1 4

?

2n 2n ?1

?

n 4n ?

2

,所以,综上有

n 4n ?

2



1 a1

?

1 a2

?

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件:

? 1 ?1.
an 4

① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x? ? 3 ,且 f ?1? ? 4 ;② 若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ?1, 则有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f (x2 ) ? 3.

16

(Ⅰ)求 f?0?的值;(Ⅱ)求证:f?x?≤4;

(Ⅲ)当

x

?

(

1 3n

,

1 3n?1

](n

?1,2,3,???) 时,试证明:

f

(x)

? 3x ? 3.

解析: (Ⅰ)解:令 x1 ? x2 ? 0 ,由①对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x? ? 3 , ∴ f (0) ? 3
又由②得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; ∴ f ( 0 )? 3 .

(Ⅱ)解:任取 x1, x2 ?[0,1], 且设 x1 ? x2 , 则 f ( x2 )? f [ 1x? ( 2x? 1x) ]? f (1x?) f (2 x? 1 x?) 3 ,

因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f (x2 ? x1) ? 3 ,即 f (x2 ? x1) ? 3 ? 0,

∴当 x ?[0,1]时, f (x) ? f (1) ? 4 .

(Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明:

f

1 (3n?1 )

?

1 3n?1

?

3(n ?

N*)

∴ f (x1) ? f (x2 ) .

(1)



n=1

时,

f

(

1 30

)

?

f

(1)

?

4

?1? 3 ?

1 30

?3

,不等式成立;

(2)

假设当

n=k

时,

f

1 (3k?1 )

?

1 3k ?1

? 3(k ? N*)

由 f ( 1 ) ? f [ 1 ? ( 1 ? 1 )] ? f ( 1 ) ? f ( 1 ? 1 ) ? 3

3k ?1

3k 3k 3k

3k

3k 3k

?

f

1 ( 3k

)?

f

1 ( 3k

)?

f

1 ( 3k

)?6

得3f

(

1 3k

)?

f

(

1 3k ?1

)

?

6

?

1 3k ?1

? 9.

即当 n=k+1 时,不等式成立

由(1)、(2)可知,不等式

f

1 ( 3n?1

)

?

1 3n?1

?

3 对一切正整数都成立.

1 于是,当 x ?(
3n

,

1 3n?1

](n

?

1,

2,

3,

?

?

?)

时,

3x

?

3

?

3

?

1 3n

?3?

1 3n?1

?3?

f( 1 ), 3n?1

而 x ?[0,1], f ?x? 单调递增



f

1 ( 3n

)

?

f

1 (3n?1 )

所以, f ( x)?

1 f 3( n?1

)?

3x?

3.

例 50. 已知: a1 ? a2 ? ? an ? 1, ai ? 0

(i ? 1,2?n)

求证: a12 ? a22 ?
a1 ? a2 a2 ? a3

解析:构造对偶式:令 A ? a12 ? a22 ? ?? an2?1 ? an2

a1 ? a2 a2 ? a3

an?1 ? an an ? a1

B ? a22 ? a32 ? ? ? an2 ? a12

a1 ? a2 a2 ? a3

an?1 ? an an ? a1

?

a2 n?1

?

an2

?1

an?1 ? an an ? a1 2

则 A ? B ? a12 ? a22 ? a22 ? a32 ? ? ? an2?1 ? an2 ? an2 ? a12 = (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B

a1 ? a2 a2 ? a3

an?1 ? an an ? a1

? 又

ai2

?

a

2 j

ai ? a j

?

1 2 (ai

? aj)

( i, j ? 1,2?n)

? ? ? A ? 1 (A ? B) ? 1 ( a12 ? a22 ) ? a22 ? a32

2

2 a1 ? a2 a2 ? a3

? ? ? an2?1 ? an2 an?1 ? an

? an2 ? a12 an ? a1

?1 4

(a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 )

?1 2

十一、积分放缩

利用定积分的保号性比大小,保号性是指,定义在?a,b?

上的可积函数

f

?

x?

?

???

0

,则

b
?a

f

?

x?

dx

?

?

??

0

.

例 51.求证:? e ? e? .

? 解析:

? e ? e?

? ln? ?

?

ln e e

,∵ ln? ?

? ln e e

?

?

ln

x

?
?

?? x ??e

?

? ?
e

d

? ??

ln x x

? ??

?

? e

1

? ln x2

x

dx



17

? ? x? e,?

时, 1? ln x x2

?

0



?
?e

1

? ln x2

x

dx

?

0

,∴

ln ? ?

?

ln e ,? e e

? e? .

利用定积分估计和式的上下界:定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩

形的面积和.

? ? 例 52. 求证:1? 1 ? 1 ? ? 1 ? 2 n ?1 ?1 ,?n ?1,n? N ? .

23

n

解析: 考虑函数 f ? x? ? 1 在区间?i,i ?1? ?i ?1, 2,3, , n? 上的定积分. x

? 如图,显然 1 ? 1 ?1 ? i?1 1 dx -①

ii

ix

? ? ? ? ? ? n
对 i 求和,
i ?1

1?n i i?1

i ?1 i

1 dx ?
x

n ?1 1

1 dx x

?

??2

n?1

x

? ?1

?2

n ?1 ?1 .

例 53. 已知 n ? N, n ? 4 .求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 7 .

n?1 n? 2 n?3

2n 10

解析:考虑函数

f

?

x?

?

1 1?

x

在区间

?i ??

?1, n

i? n ??

?i

?1, 2,3,

, n? 上的定积分.

? ∵

1 n?i

?

1 n

?

1

1 ?

i

?

i
n i?1
n

1 1?

x

dx

-②

n

?? ? ? ? ? n

∴n 1

? ? i?1

n?i

?

n i ?1

1 n

?

1

1 ?

i

i?1

i n

1

i?1 n

1

?

x

dx

?

1 0

1

1 ?

x

dx

?

??ln

1? x

??10

? ln 2 ? 7 .
10

n

例 54.设 a ? 0,如图,已知直线l : y ? ax及曲线 C : y ? x2 ,C 上的点 Q1 的横坐标为 a1 ( 0 ? a1 ? a ).从 C 上的点Qn ?n ?1?

作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 Pn?1 ,再从点 Pn?1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Qn?1 .Qn ?n ?1,2, ,n? 的横坐标

构成数列 ?an? .

? ? (Ⅰ)试求 an?1 与 an 的关系,并求 an 的通项公式;

(Ⅱ)当 a

? 1, a1

?

1 2

时,证明 n ? (ak
k ?1

? ak ?1 )ak ?2

?

1 32



(Ⅲ)当

a

?1时,证明

n
? (ak
k ?1

?

ak ?1 )ak ?2

?

1 3

.

解析: an

?

a(

a1

)

n?1
2

a

(过程略).

证明(II):由 a

?1知

an?1

?

an2

,∵

a1

?

1 2

,∴ a2

?

1 4

, a3

?

1 16

.

∵当 k

?1时, ak?2

?

a3

?

1 16





n
? (ak
k ?1

?

ak ?1 )ak ?2

?

1 16

n
? (ak
k ?1

? ak?1)

?

1 16

(a1

? an?1)

?

1 32

.

证明(Ⅲ):由 a ?1知 ak?1 ? ak2 .

∴ (ak ? ak?1)ak?2 ? (ak ? ak?1)ak2?1 恰表示阴影部分面积,

18

? 显然

(ak ? ak?1)ak2?1 ?

ak x2dx ④
ak ?1

? ? ? ? ? n

n

n

∴ (ak ? ak ?1)ak ?2 ? (ak ? ak ?1)ak2?1 ?

k ?1

k ?1

k ?1

ak x2dx ?
ak ?1

a1 0

x2dx

?

1 3

a13

?

1 3

.

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:

? ? ? ① 1 ?? i?1 1 dx ? 2 i ?1 ? i ; i ix

1

n?i

??

i
n i?1
n

1

1 ?

x

dx

? l n???

1?

i n

? ??

?

l???n

?1i

?1 n

? ??



sin?i

? ③ sin?i ? sin?i?1 ?

1? sin2 ?i?1

sin?i?1

? ? ? ? ? 1?1 x dx ? ? 2

i

i?1 ;④ (ak ? ak?1)ak2?1 ?

ak x2dx ? 1

ak ?1

3

ak3

?

a3 k ?1

.

十二、部分放缩(尾式放缩)

例 55.求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 4

3?1 3?2?1

3 ? 2n?1 ? 1 7

解析:

1? 3?1

1 ??? 3? 2 ?1

1 3 ? 2n?1

?1

?

1 4

?

1 7

???

1 3 ? 2n?1

?1

?

11 28

?

1 3? 22

???

1 3 ? 2n?1

1 ? 11 ? 1 ? 4 ? 47 ? 48 ? 4
28 3 1 ? 1 84 84 7 2

例 56.

设 an

?1?

1 2a

1 ? 3a

???

1 na

,a

?

2. 求证:

an

?

2.

解析:

an

?1?

1 2a

? 1 ??? 1

3a

na

?1? 1 ? 1 ??? 1 .

22 32

n2

又 k 2 ? k ? k ? k(k ?1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ?1,进行部分放缩),? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,
k 2 k(k ?1) k ?1 k

于是
an

?1?

1 22

1 ?
32

???

1 n2

? 1? (1? 1) ? (1 ? 1) ? ?? ( 1 ?

2 23

n ?1

1) n

?

2?

1 n

?

2.



57.设数列 ?an ?满足 an?1

?

a

2 n

?

nan

? 1?n ?

N?

? ,当 a1

?

3时

证明对所有 n ? 1, 有 (i)an ? n ? 2 ; (ii) 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1

1 ? a1 1 ? a2

1? an 2

解析: (i) 用数学归纳法:当 n ?1时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ?1时

ak?1 ? ak (ak ? k) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。 (ii) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得

ak?1 ? 1 ? 2(ak

? 1) ?

ak

? 1 ? ? ? 2k?1 (a1

? 1) ? 2k?1

? 4 ? 2 k?1

?

1 ?
ak ?1

1 2 k ?1

.

n
?
i ?1

? 1

n
?

1? ai

i ?1

1

?

1

1? ?

(1)n 2

? 1.

2i?1 4 1 ? 1

2

2

注:上述证明 (i) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: ak?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii)

就直接使用了部分放缩的结论 ak?1 ? 2ak ? 1

十三、三角不等式的放缩

例 58.求证:| sin x |?| x | (x ? R) .

解析:(i)当 x ? 0 时,| sin x |?| x |

19

(ii)当 0 ? x ? ? 时,构造单位圆,如图所示:
2
因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积 所以可以得到 s i nx ? x ?| s i nx |?| x |
当 x ? ? 时| s i nx |?| x |
2
所以当 x ? 0时 s i nx ? x 有| s i nx |?| x | (iii)当 x ? 0时, ? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |?| x | 所以综上有| s i nx |?| x | (x ? R)

y P
A

O

TB

x

十四、使用加强命题法证明不等式

(i)同侧加强 对 所 证 不 等 式 的 同 一 方 向 ( 可 以 是 左 侧 , 也 可 以 是 右 侧 ) 进 行 加 强 . 如 要 证 明 f (x) ? A , 只 要 证 明 f (x) ? A ? B(B ? 0) ,其中 B 通过寻找分析,归纳完成.

?n
例 59.求证:对一切 n(n ? N*) ,都有

1 ? 3.

k ?1 k k

解析: 1 ?
kk

1? k3

1? k(k 2 ?1)

(k

1 ? 1)k (k

? 1)

?

?? ??

1? (k ?1)k

k

1 (k

?

1)

?? ??

?

1 k ?1?

k ?1

?

?? ??

1? (k ?1)k

1 k(k

? 1)

?? ??

?

1 k ?1?

? 1 ?? k ?1 k ?

1? k ?1

1 ?? ? k ?1?

k ?1? 2

k ?1

? 1 ?? 1 ? 1 ?? ? 2k ? 1 ? 1 k ? k ?1 k ?1? 2 k ?1 k ?1

从而

n
?

1

?1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ???

k ?1 k k

132 435

当然本题还可以使用其他方法,如:

1? k ?1

1 ?1? 2 ? 1 ?

k ?1

2k

1 ?3 k ?1

1? 1 ? k k k k ?1

k?

1 k?

k

?1

?

?? ??

1? k(k ?1)

1 k2

?? ??

?

1

? 1?

k ? k ?1 k

k ? k ?1 ? ??

1

?

1 ? 1 ?? ? 2 ? ?? k ?1 k ? ?

1 ? 1 ?? k ?1 k ?

所以

n
?

1

n
? 1? ?

1

? 1? 2(1? 1 ) ? 3 .

k ?1 k k

k?2 k k

k

(ii)异侧加强(数学归纳法)

(iii)双向加强

有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而

顺利解决原不等式.其基本原理为:

欲证明 A ? f (x) ? B ,只要证明: A ? C ? f (x) ? B ? C(C ? 0, A ? B) .



60.已知数列{an}满足: a1

? 1, an?1

?

an

?

1 an

,求证:

2n ?1 ? an ?

3n ? 2(n ? 2).

a ? a ? 2 解析:

an2

?

??? an?1 ?

?

1 an?1

???2 ?

?

ak

2 ?1

?

2 ,从而

2 n

2 n?1

,所以有

an2 ? (an2 ? an?12 ) ? (an?12 ? an?22 ) ??? (a22 ? a12 ) ? a12 ? 2(n ?1) ?1 ? 2n ?1,所以 an ? 2n ?1

a ? a ? 3 又 an2

?

? ?? an?1 ?

?

1 an?1

2
? ?? ?

?

ak ?12

? 3,所以

2 n

2 n?1

,所以有

20

an2 ? (an2 ? an?12 ) ? (an?12 ? an?22 ) ??? (a22 ? a12 ) ? a12 ? 3(n ?1) ?1 ? 3n ? 2 所以 an ? 3n ? 2

所以综上有 2n ?1 ? an ? 3n ? 2(n ? 2).

? 引申:已知数列{an}满足: a1

? 1, an?1

?

an

?

1 an

,求证:

n 1? a k ?1 k

2n ?1 .

解析:由上可知 an ? 2n ?1 ,又 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2n ? 3 ,所以 1 ? 1 ?

2

2

an 2n ?1 2n ?1 ?

? 从而 n 1 ? 1? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ?? ? 2n ?1 ? 2n ? 3 ? 2n ?1(n ? 2)
a k ?1 k

? 2n ? 3

2n ?1 ?

2n ? 3

? 1
又当 n ?1时, a1

n
? 1,所以综上有

1

a k ?1 k

?

2n ?1 .

同题引申: (2008 年浙江高考试题)已知数列?an ?, an

?

0 , a1

?

0

,

a2 n?1

? an?1

?1 ? an2 (n ? N ? ) .

记 Sn

?

a1

? a2

? ? ? an ,Tn

1 ?
1 ? a1

?

1

???

1

.求证:当 n ? N ? 时.

(1 ? a1 )(1 ? a2 )

(1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an )

(1) an ? an?1; (2) Sn ? n ? 2 ; ★(3) Tn ? 3 .

解析:(1)

a2 n?1

? an2

?1? an?1 ,猜想 an

? 1 ,下面用数学归纳法证明:

(i)当 n ?1时, a1 ? 1,结论成立;

(ii)假设当 n ? k(k

?1) 时, ak

? 1 ,则 n ? k

?1(k

? 1)

时,

ak

2 ?1

?

ak?1

?1?

ak 2

从而

a2 k ?1

?

ak ?1

?

2

?

an?1

? 1,所以

0

?

ak ?1

?1

所以综上有 0 ?

an

? 1,故

a2 n?1

? an2

?

0?

an?1

?

an

(2)因为

a2 n?1

?

an 2

?1? an?1 则 a2 2

? a12

? 1 ? a2 , a32

? a22

?1? a3 ,…,

a2 n?1

? an2

?1? an?1 ,

相加后可以得到: an?12 ? a12 ? n ? (a2 ? a3 ??? an?1) ? Sn?1 ? n ? an?12 ,所以

Sn ? n ?1? an2 ? n ? 2 ,所以 Sn ? n ? 2

(3)因为

a2 n?1

? an?1

?1? an2

? 2an ,从而 an?1

?1?

2an an?1

,有 1 1 ? an?1

?

an?1 2an

,所以有

1 (1? a3 )?(1? an )(1? an?1 )

?

an?1 ? an ? a3 2an 2an?1 2a2

?

an?1 2n?1 a2

,从而

1 (1? a1)(1? a2 )(1? a3 )?(1? an )(1? an?1)

?

an?1 2n?1 a2

?1 1? a2

?

an?1 2 n ?1

,所以

1 (1? a1)(1? a2 )(1? a3 )?(1? an )

?

an 2n21 a2

?1 1? a2

?

an 2n?2

,所以

Tn

?1? 1 1? a2

?

a3 2

?

a4 22

???

an 2n?2

?1? 1 1? a2

?1? 2

1 22

???

1 2n?2

?

2 ?1?1? 3 5 ?1

所以综上有Tn ? 3 .
21



61.已知数列{an

}

的首项

a1

?

3 5

,

an?1

?

3an , n ?1,2,
2an ?1



(1)证明:对任意的

x

?

0

,

an



1 1?

x

?

1 (1? x)2

? ??

2 3n

?

x

? ??

,

n

?

1,2,

;

(2)证明: a1 ? a2 ?

?

an

?

n2 n ?1

.

n ? 1,2, 解析:(1)依题,容易得到 an

?

3n 2 ? 3n

?

1

?

2 3n

,要证

x

?

0,

an



1 1?

x

?

1 (1? x)2

?2 ?? 3n

?

x

? ??

,

,

即证1

?

2 3n

?1 1? x

?

(1

1 ? x)

2

?2

? ?

3n

? x ?1?1?? ? 2 ? 1? x

?

3n

2 (1 ?

x)

2

?

(1

1 ? x)

2

即证 2
1? x

?

2 ? 3n 3n (1? x)

2

?

2 3n

?1 ? 0 ,设 t

?1 1? x

所以即证明 ? (t )

?

?

2 ? 3n 3n

?t2

? 2t

?

2 3n

?1 ? 0(0 ? t

? 1)

从而?(1) ? 0 ,即 ?

2 ? 3n 3n

?2?

2 3n

? 1 ? 0 ,这是显然成立的.

所以综上有对任意的 x

? 0 , an

≥1 1? x

?

1 (1? x)2

?2 ?? 3n

?

x

? ??

, n ?1,2,

(法二)

1 1? x

?

1 (1? x)2

? ??

2 3n

?

x

? ??

?

1 1? x

?

1 (1? x)2

? ??

2 3n

?1?1?

x

? ??

?1? 1? x

1? ( 1? x 2)??

1? ( 1? x an

? ?) ?

?

2 1?

x

?

an

1 (1 ?

x)2

?

?

1 an

? ??

1

1 ?

x

?

an

?2 ? ?

?

an



an

,?

原不等式成立.

(2)由(1)知,对任意的 x ? 0 ,有

a1 ? a2 ?

?

an

≥1 1?

x

?

1 (1? x)2

? ??

2 3

?

x

? ??

?1 1?

x

?

1 (1? x)2

? ??

2 32

?

x

? ??

?

?1 1? x

?

1 (1? x)2

?2 ?? 3n

?

x

? ??

?

n 1? x

?

1 (1? x)2

? ??

2 3

?

2 32

?

?

2 3n

?

nx

? ??



?取

x

?

1 n

? ??

2 3

?

2 32

?

?

2 3n

? ??

?

2 3

???1 ?

1 3n

? ??

n

???1 ?

1 3

? ??

?

1 n

???1

?

1 3n

? ??

,则

a1

? a2

?

? 原不等式成立.
十四、经典题目方法探究

?

an

≥ 1?

1 n

n ???1 ?

1 3n

? ??

?

n

n2 ?1?

1 3n

? n2 . n ?1

探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f (x) ? ln(1? x) ? x .若 f (x) 在区间[0,n](n ? N*)上的最小值为bn ,

令 an

? ln(1? n) ? bn .求证:

a1 a2

?

a1 ? a3 a2 ? a4

???

a1 ? a3 ? a5 ??? a2n?1 a2 ? a4 ? a6 ??? a2n

?

证明:首先:可以得到 an

?

nn

.先证明 1? 3? 5??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

?

1 2n ?1

2an ?1 ?1.

(方法一)

?1?

3

?

5

?

??

(2n

?

1)

2
?

?? 2? 4? 6??? 2n ??

?

1? 3 22

?

3?5 42

???

(2n

?1)(2n (2n)2

? 1)

?

1 2n ?1

?

1 2n ?1

所以 1? 3? 5??? (2n ?1) ? 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

1 2n ?1

(方法二)因为 1 ? 1?1 ? 2 , 3 ? 3 ?1 ? 4 ,?, 2n ?1 ? 2n ?1?1 ? 2n ,相乘得:

2 2?1 3 4 4?1 5

2n 2n ?1 2n ?1

?1? 3? 5 ??? (2n ?1) ?2 ?? 2 ? 4 ? 6 ??? 2n ??

?

1 2n ?1

,从而.

1? 3? 5??? (2n ?1) ? 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

1 2n ?1

22

(方法三)设 A= 1? 3? 5??? (2n ?1) ,B= 2 ? 4 ? 6 ??? 2n ,因为 A<B,所以 A2<AB,

2? 4? 6??? 2n

3 ? 5 ? 7 ??? (2n ? 1)

所以 ?1? 3? 5 ??? (2n ?1)?2 ?? 2 ? 4 ? 6 ??? 2n ??

?

1, 2n ?1

从而 1? 3? 5??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

?

1. 2n ?1

下面介绍几种方法证明 a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ??? a2n?1 ?

a2 a2 ? a4

a2 ? a4 ? a6 ??? a2n

2an ? 1 ? 1

(方法一)因为 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ?1 ,所以 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以有

2

2n ? 1

? 1 ? 1? 3 ? ? ? 1? 3 ? 5 ??? (2n ?1) ? n 2k ?1 ? 2n ?1 ?1

2 2?4

2 ? 4 ? 6 ??? 2n k ?1

(方法二) n ? 2 ?

n?

2 n?2?

,因为 1 ?

n

n?2

2 ,所以
n?2? n

1? n?2

n?2?

n

? 令 n ? 2n ? 1,可以得到

1? 2n ? 1

2n ? 1 ?

2n

?1

,所以有

1 2

?

1?3 2?4

? ? ? 1? 3 ? 5 ??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n

?

n k ?1

2k ?1 ?

2n ?1 ?1

(方法三)设 an

?

1? 3? 5 ??? (2n ?1) 2 ? 4 ? 6 ??? 2n , an?1

?

2n 2n

? ?

1 2

an

所以

2(n

? 1)an?1

?

an ?1

?

(2n

? 1)an

?

an?1 ,

从而 an?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,从而 an ? (2n ?1)an ? (2n ?1)an?1

a1

? a2

? a3

??? an

?

(2n ?1)an

? (2n ?1)an?1

? (2n ?1)an?1

? (2n ? 3)an?2

??? 5a2

? 3a1

?

(2n ?1)an

?

3 2

又 an ?

1 2n ? 1

,所以 a1

?

a2

?

a3

???

an

?

2n ?1 ? 3 ? 2

2n ?1 ?1

(方法四)运用数学归纳法证明:

n
?

1

? 2n ?1 ?1

k ?1 2k ? 1

(i)当 n ?1时,左边=,

1 右边= 3

3 ?1?

2? 3 ?1

1 显然不等式成立;
3 ?1 2

?k
(ii)假设 n ? k(k ? 1) 时,

1 ? 2k ? 1 ? 1,则 n ? k ?1时,

i?1 2i ? 1

?k ?1

1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 2k ? 1 ?1 ? 1 ,所以要证明

35

2k ?1 2k ? 3

2k ? 3

i ?1

1? 2i ? 1

2k ? 3 ?1 ,

只要证明 2k ? 1 ?

1? 2k ? 3

2k ? 3 ?

1? 2k ? 3

2k ? 3 ? 2k ?1 ?

1

,这是成立的.

2k ? 3 ? 2k ?1

2

这就是说当 n ? k ?1时,不等式也成立,所以,综上有

a1 a2

?

a1 ? a3 a2 ? a4

???

a1 ? a3 ? a5 ??? a2n?1 a2 ? a4 ? a6 ??? a2n

?

2an ?1 ?1

探究 2.设函数 f (x) ? sin x .如果对任何 x≥0 ,都有 f (x) ≤ ax ,求 a 的取值范围
2 ? cos x

23

解析:因为

f

(x)

?

sin x 2 ? cos x

,所以

f

' ( x)

?

cosx(2 ? cosx) ? (cosx ? 2)2

sin 2

x

?

1 ? 2cosx (cosx ? 2)2

,设

g(x)

?

f

(x)

?

ax ,则

g'(x) ? f '(x) ? a ? 1 ? 2 cos x ? a ? cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 ? a ? 2 ?

3

? a , g(0) ? 0

(cos x ? 2)2

(cos x ? 2)2

cos x ? 2 (cos x ? 2)2

因为 |

c

o

sx

|? 1 ,所以 2
cos x ? 2

?

3 (cos x ? 2)2

?

????

1,

1? 3 ??

(i)当 a ? 1 时, 3

g' (x) ? 0 恒成立,即 g(x) ? g(0) ? 0 ,所以当 a ? 1 时,
3

f (x) ≤ ax 恒成立.

(ii)当 a ? 0时, f (? ) ? 1 ? 0 ? a ? (? ) ,因此当a ? 0时,不符合题意.

22

2

(iii)当 0 ? a ? 1 时,令 h(x) ? sin x ? 3ax ,则 h?(x) ? cos x ? 3a 故当 x??0,arccos3a? 时, h?(x) ? 0 . 3

因此 h(x) 在?0,a r c c oas?3上单调增加.故当 x ? (0,arccos 3a) 时, h(x) ? h(0) ? 0 ,

即 s i nx ? 3a x.于是,当 x ? (0,arccos 3a) 时, f (x) ? sin x ? sin x ? ax
2 ? cos x 3

所以综上有

a

的取值范围是

? ??

1 3

,??

?? ?

变式:若 0 ?

xi

?

a

rc

c o3as

,其中 i

?1,2,3,?, n 且 0 ? a

?

1 3

,

x1

?

x2

?

x3

???

xn

? arccos 3a

,求证:

tan x1 ? tan x2 ? tan x3 ? ? ? tan xn ? 3a arccos3a .

2

2

2

22

证明:容易得到 tan

xi 2

?

sin xi ? cos xi ?1

sin xi 2

由上面那个题目知道 sin xi

? 3axi 就可以知道 tan

x1 2

? tan

x2 2

? tan

x3 2

? ? ? tan

xn 2

?

3a arccos3a 2

★同型衍变:已知函数 f (x) ? 1? x e?ax .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a 的取值范围. 1? x

解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 f ?(x) ? ax2 ? 2 ? a e?ax . (1 ? x)2

(ⅰ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要

求 . (ⅱ) 当 a>2 时 , f (x) 在 区 间 (- a ? 2 , a ? 2 ) 为 减 函 数 , 故 在 区 间 (0, a ? 2 ) 内 任 取 一 点 , 比 如 取

a

a

a

x0

?

1 2

a ? 2 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求.
a

(ⅲ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈(0, 1) 恒有

f (x) ? 1? x e?ax ≥ 1 ? x ? 1, 这时 a 满足要求.

1? x

1? x

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.

24


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