多角度联系_细品出真味——一道2014年高考数学题的解法赏析_图文
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数 学通 讯 — — 2 O 1 4年 第 1 1 、 1 2期( 上半月)
?辅 教 导 学 ?
点评 方 程对 任 意的 ∈ N 都成 立 , 这说 明 方 程具 有一 般性 , 本题 对 n取 特殊 值 , 然后 证 明所 求的 c 的值 对所 有 的 ∈ N 都成 立 , 体现 由一 般 到特殊, 再 由特 殊到 一般 的思 想. 结论 通 过 以上 的典 型例 题 的 分析 , 我们 可
化 归思想 . 而 在这 转 化 过程 中通 常需 要 构造 函数 , 构 造 函数 的类 型 主 要 有 两 类 : 一 是 不 带 参 数 的 的 函数 , 需要 分 离 参 数 ; 二 是 带 参 数 的 函数 , 需 要 分 类 讨论. ( 2 ) 数 列 中方 程恒 成立 问题 的方法 .
以将 数列 中 的不 等 式 、 方 程 恒 成 立 问题 的 一 般 方
法 总 结如 下 : ( 1 ) 数 列 中不 等式 恒成 立 问题 的方 法. 解 决 这类 问题 的基 本 方法 是 将 不 等 式恒 成 立 问题转 化 为 函数最值 问题 , 体 现 函数 思 想 、 转 化 与
解决 这 类 问题 的基 本 方 法 主要 有 两 种 : 一 是 利 用多项 式 恒 等 , 二 是从特殊人 手, 再 作 一 般 证 明. 体现 从一 般 到特 殊 , 再 从特 殊到一 般 的思想 .
( 收 稿 日期 : 2 0 1 4— 0 9— 1 8)
多 角度联系 , 细 品 出 真 味
— — 一
道 2 0 1 4年 高考 数 学 题 的解 法 赏析
庄 丰
( 浙 江 省 玉环 中学 ,3 1 7 6 0 0 )
题目 已知 实数 口 , b , c 满 足 口+ b +c= = : 0 , n
+b 。 +c 一 1 , 则 a的 最 大 值 是 .
这是 2 0 1 4 年 高考 数学浙 江卷 文科 第 1 6 题, 以 两个 简 洁优美 的方 程 给 出 条件 , 求 其 中一 个 变 量 的最 值 , 使 得 问题 静 中有 动 、 平 中见 奇 . 该 题 结 构 特征 明显 、 入 口较 宽 , 可 以从 多 个 角 度 思 考 求 解 ,
细细 赏玩 , 感 觉厚 味十 足. 下 面本 人 就 此 题 的解 法
一 一
由 n 。 + 6 + c 2 — 1  ̄ a b + b c + c a 一 一 号 .
设 a b c— t , 则 口 , b , c 是方程 。 一( n +b +c ) x 。
+ ( + + c a) z一 c= = =0即 z 。 一 z一 £一 。
的三个 根.
设 - 厂 ( )= 3 一 1 一 £/( ) =3 x 2 一 1, 令
,
细述 , 以飨 读 者.
角 度 一 方 程 视 角 .
解 法 1 联 立 方 程 组 { 抖 a + b  ̄ c , 消 去
f , 得到 2 Ⅱ +2 6 +2 a b一 1 , 整 理得 2 6 。 +2 a b 十2 口 。
一
厂( z ) 一。 得 一± . O
— I
1— 0 , △一 4 a 一8 b ( 2 a 一1 ) ≥0 , 解 得 一 ≤
} 一
/ 、 \
图 l
口≤ , 故 。的最 大值是 .
解法 2 由 已知 易得 , b + c一一 口, b c— n 一
_ 去 _ , 6 , c 是方程z 。 +a x +n 一告 一0 的两根, △一
n2
—
所 以 f ( x ) 的 极 大 值 为 f ( - 譬 ) 一 1 8
由 图 1知 , 当 极 大 值 点 在 z轴 上 时 , 即 £ 一
4 ( a 2 - 1)≥ o
,
解 得 一 ≤ n ≤ 譬 , 故 口 的
最 大值 是 . 解法3 将a +b +c 一 0两边 平方 后 , 得n 。 +
时, 口取 得 最 大 值 . 此时 , , ( z ): ( z+ ) z ( z—
O
?
辅教 导学 ?
数 学通 讯 —— 2 O 1 4年 第 1 l 、 1 2期 ( 上半月)
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) , 故 。的最 大 值是 .
) , 即 G( O, 1)
.
解法 4 由b +c 一 2? ( 一÷口 ) , 一寺口 是b ,
c 的等差中项 , 设公差为 d , 得b 一一 - 去 _ n —d , c 一
一
设 B C 的 中 点 为 D ,由
D( 一 1
口 ,
一 2
, 易 得
1
~
1
口 。 ) , 由题 意知 点 D在 > z 。 表
a<
了 / g< 示 的区域 内 , 1一 1 n 。 > 1 “ z解 得 一 ,
,
妄口 +d , 将它代入到方程口 。 +b 。 +c 一1 , 化简
可得要口 。 +2 d 。 =1 , 所以 鲁n 。 ≤1 , 故Ⅱ 的最大值
是 .
3, l 由求 解 的 过 程 可 知 , 当 B, c 两 点 重 合 时 a 一
3
的最 大值 是 .
解法 9 建立 空 间 直 角
点 评 解 法 1 、 解 法 2通过 消元 、 韦 达定 理 建
立 一元 二次 方 程 , 再利用判别式求解 , 解 法 自然 ; 解 法 3通过 建 立三 次方 程 , 利 用导 数 工 具求 解 , 解
法 大气 ; 解法 4另辟 蹊 径 , 构建 等 差 数列 简 化 方 程
坐 标 系 0一 a b c , 则a +b +C 一 0表 示 空 间 的 一 个 平 面 , 且 n
一
( 1 , 1 , 1 )是 它 的一 个 法 向 图2
求解 , 解法 简 洁利 索.
角度 二 不等 式 视角.
解法 5 方 程整 理 为 b + C一一 a , b +c 一 l
~ a。
,
量, n +b +C 一 1 表示 以原
点 0为球 心半 径为 1 的球 , 显 然, 球被平 面所 截 的 图形 是 一 个 大 圆 , 问题 转 化 为 求 这个 大 圆上点 的横坐 标 的最 大值.
设 轴 与大 圆所 在 平 面所 成 的角 为 0 , 由于 a
代 入不 等式 ( 6 十c ) ≤2 ( 6 +C ) 得口 ≤2 ( 1
一n z ) , 即a z ≤ , 故 n的最 大值 是 .
解法 6 由a 。 +b 。 +C 。 =1 , 设 a— c o s a , b—
轴 的方向为 i n一 ( 1 , 0 , 0 ) , 则s i n 一1 _ _
一 ,
s i n口 c o s , C— s i n a s i n , 代入 a +b +C 一0 可得 ,
s i n a ? s i n +s i n a ? C O S = = = — — C O S a , 且 口 √ 2 1 s i n I ?
由 于 是 口轴 与平 面 上 直 线所 成 角 的最 小
晒
. )
值, 因此 , n的最大 值为 1? c o s 0一 . 点评 根据 式 子 的结 构 特 征 “ 为 数 配形 ” , 解
s i n ( 卢 + )一一C O S a , 所 以√ 2 f s i n a f ≥l C O S a f , 两
边平 方化 简 可得 C O S z ≤ , 故 n的最 大值 是 .
点评 解 法 5先 通 过分 离 变量 , 再 根 据式 子 法7 联系 到直线 与 圆的位 置关 系求 解 , 本 质 与解法 5相 同 ; 解法 8联 想 到 重心 坐 标 公 式 , 构 造 抛物 线 上 的点进行 求解 , 解 法 巧妙 ; 解 法 9利用 空 问平 面 与球 的知识 求解 , 对 空 间想 象 能 力要 求 较高 , 让我 们深 刻认识 到 问题 的本质 .
结构 特 点 , 由柯 西不 等式 顺 利求 解 , 也可 以利用 不 等式 ( 6 +c ) 。≥ 4 b c求解 , 这都 需 要 熟悉 不 等 式 的
相关 知识 ; 解法 6 抓住 式子 中的“ 1 ” , 联 系到 三角 函
数, 通过 三 角换 元建 立三 角 不 等式 求 解 , 对 三 角 变
换 的技 巧要 求 较高 .
角 度 三 几何 视角 . 解法 7 方 程整 理为 b + c一一 a , 6 +C 。= 1
通过 玩 赏这 道 问题 后 发现 , 看 似 平淡 的问题 ,
其 实背后 暗藏 玄 机 , 只 有 多 角 度 的 联 系其 代 数 意 义 和几何 意义 , 并掌 握 相应 的方 法 与技 巧 , 才 能达
到 运用 自如 的境界 . 本 题作 为 高 考 题 , 能 够考 查 学
生 的数 学素 养 与 能力 , 确 实 是 一道 好 题 . 另外 , 作 为填空题 还 可 以“ 小 题 小做 ” , 读 者不 妨一试 .
( 收 稿 日期 : 2 0 1 4 一O 6 ~1 8 )
一口 , 点( 6 , f ) 在 直线 6 +c 一一日 上, 又在圆b 十C
=
1 一a 。上 , 问 题 转 化 为 直 线 与 圆有 交 点 , 可 得
.
L ≤ 、 / , 工 _ = = = _ , 即a 2 ≤ 2, 故。的最大值是
.
/ 2
解法 8 设 A( a , a ) , B( b , b ) , C ( c , C 。 ) , 则 A,
B, C三点 都在 函 数 y— 。 的图象 上 , 当口 , b , C 互不 相 等 时, AA BC 的 重 心 为 G( 上 生 ,