多角度联系_细品出真味——一道2014年高考数学题的解法赏析_图文

３ ２ 　

数 学通 讯 — — ２ Ｏ １ ４年 第 １ １ 、 １ ２期（ 上半月） 　

?辅 教 导 学 ? 　

点评　 方 程对 任 意的　 ∈ Ｎ 　都成 立 ， 这说 明　 方 程具 有一 般性 ， 本题 对 ｎ取 特殊 值 ， 然后 证 明所　 求的 ｃ 的值 对所 有 的　 ∈ Ｎ 　 都成 立 ， 体现 由一 般　 到特殊， 再 由特 殊到 一般 的思 想． 　 结论　 通 过 以上 的典 型例 题 的 分析 ， 我们 可　

化 归思想 ． 而 在这 转 化 过程 中通 常需 要 构造 函数 ， 　 构 造 函数 的类 型 主 要 有 两 类 ： 一 是 不 带 参 数 的 的　 函数 ， 需要 分 离 参 数 ； 二 是 带 参 数 的 函数 ， 需 要 分　 类 讨论． 　 （ ２ ） 数 列 中方 程恒 成立 问题 的方法 ． 　

以将 数列 中 的不 等 式 、 方 程 恒 成 立 问题 的 一 般 方　
法 总 结如 下 ： 　 （ １ ） 数 列 中不 等式 恒成 立 问题 的方 法． 　 解 决 这类 问题 的基 本 方法 是 将 不 等 式恒 成 立　 问题转 化 为 函数最值 问题 ， 体 现 函数 思 想 、 转 化 与　

解决 这 类 问题 的基 本 方 法 主要 有 两 种 ： 一 是　 利 用多项 式 恒 等 ， 二 是从特殊人 手， 再 作 一 般 证　 明． 体现 从一 般 到特 殊 ， 再 从特 殊到一 般 的思想 ． 　
（ 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４— ０ ９— １ ８） 　

多 角度联系 ， 细 品 出 真 味　
— — 一

道 ２ ０ １ ４年 高考 数 学 题 的解 法 赏析　

庄 　 丰 　
（ 浙 江 省 玉环 中学 ，３ １ ７ ６ ０ ０ ） 　

题目 　 已知 实数 口 ， ｂ ， ｃ 满 足 口＋ ｂ ＋ｃ＝ ＝ ： ０ ， ｎ 　
＋ｂ 。 ＋ｃ 　一 １ ， 则 ａ的 最 大 值 是　 ． 　

这是 ２ ０ １ ４ 年 高考 数学浙 江卷 文科 第 １ ６ 题， 以　 两个 简 洁优美 的方 程 给 出 条件 ， 求 其 中一 个 变 量　 的最 值 ， 使 得 问题 静 中有 动 、 平 中见 奇 ． 该 题 结 构　 特征 明显 、 入 口较 宽 ， 可 以从 多 个 角 度 思 考 求 解 ， 　
细细 赏玩 ， 感 觉厚 味十 足． 下 面本 人 就 此 题 的解 法　
一 一

由 ｎ 。 ＋ ６ 　 ＋ ｃ ２ — １ ￣ ａ ｂ ＋ ｂ ｃ ＋ ｃ ａ 一 一 号 ． 　
设 ａ ｂ ｃ— ｔ ， 则 口 ， ｂ ， ｃ 是方程　。 一（ ｎ ＋ｂ ＋ｃ ） ｘ 。 　
＋ （ 　 ＋　 ＋ ｃ ａ） ｚ一　 ｃ＝ ＝ ＝０即 ｚ 。 一　 ｚ一 ￡一 。 　

的三个 根． 　
设 － 厂 （ 　）＝　 ３ 一　 １ 　 一 ￡／（ 　 ） ＝３ ｘ ２ 一 　 １， 令　
，

细述 ， 以飨 读 者． 　
角 度 一　 方 程 视 角 ． 　

解 法 １ 　 联 立 方 程 组 ｛ 抖 ａ ＋ 　 ｂ ￣ ｃ 　， 消 去 　
ｆ ， 得到 ２ Ⅱ 　 ＋２ ６ 　 ＋２ ａ ｂ一 １ ， 整 理得 ２ ６ 。 ＋２ ａ ｂ 十２ 口 。 　
一

厂（ ｚ ） 一。 得　 一± 　 ． 　 Ｏ　
— 　 Ｉ 　

１— ０ ， △一 ４ ａ 　 一８ ｂ 　 （ ２ ａ 　 一１ ） ≥０ ， 解 得 一　 ≤ 　

｝ 　 一 　
／ 、 ＼ 　
图 ｌ 　

口≤　 ， 故 。的最 大值是　 ． 　
解法 ２ 　 由 已知 易得 ， ｂ ＋ ｃ一一 口， ｂ ｃ— ｎ 　一　

＿ 去 ＿ ， ６ ， ｃ 是方程ｚ 。 ＋ａ ｘ ＋ｎ 　 一告 一０ 的两根， △一 　
ｎ２
—

所 以 ｆ （ ｘ ） 的 极 大 值 为 ｆ （ － 譬 ） 一 　 １ ８ 　
由 图 １知 ， 当 极 大 值 点 在 ｚ轴 上 时 ， 即 ￡ 一　

４ （ ａ ２ －　 １）≥ ｏ
，

解 得 一 　≤ ｎ ≤ 譬 ， 故 口 的 　

最 大值 是　 ． 　 解法３ 　 将ａ ＋ｂ ＋ｃ 一 ０两边 平方 后 ， 得ｎ 。 ＋　

时， 口取 得 最 大 值 ． 此时 ， ， （ ｚ ）： （ ｚ＋　 ） ｚ （ ｚ—　
Ｏ 　

?

辅教 导学 ? 　

数 学通 讯 —— ２ Ｏ １ ４年 第 １ ｌ 、 １ ２期 （ 上半月） 　

３ ３ 　

） ， 故 。的最 大 值是　 ． 　

） ， 即 Ｇ（ Ｏ， 　 １）
． 　

解法 ４ 　 由ｂ ＋ｃ 一 ２? （ 一÷口 ） ， 一寺口 是ｂ ， 　
ｃ 的等差中项 ， 设公差为 ｄ ， 得ｂ 一一 － 去 ＿ ｎ —ｄ ， ｃ 一 　
一

设 Ｂ Ｃ 的 中 点 为 Ｄ ，由 　
Ｄ（ 一　 １
口 ， 　

一 ２ 　

， 易 得　

１
～ 　

１

口 。 ） ， 由题 意知 点 Ｄ在　 ＞ ｚ 。 表　
ａ＜ 　

了 ／ ｇ＜ 示 的区域 内 ， 　 １一 　 １ 　 ｎ 。 ＞　 １ “ ｚ解 得 一 ，
，

妄口 ＋ｄ ， 将它代入到方程口 。 ＋ｂ 。 ＋ｃ 　 一１ ， 化简 　

可得要口 。 ＋２ ｄ 。 ＝１ ， 所以 鲁ｎ 。 ≤１ ， 故Ⅱ 的最大值　
是　 ． 　

３， ｌ 由求 解 的 过 程 可 知 ， 当 Ｂ， ｃ 两 点 重 合 时 ａ 一　

３ 　

的最 大值 是　 ． 　
解法 ９ 　 建立 空 间 直 角　

点 评　 解 法 １ 、 解 法 ２通过 消元 、 韦 达定 理 建　

立 一元 二次 方 程 ， 再利用判别式求解 ， 解 法 自然 ； 　 解 法 ３通过 建 立三 次方 程 ， 利 用导 数 工 具求 解 ， 解　
法 大气 ； 解法 ４另辟 蹊 径 ， 构建 等 差 数列 简 化 方 程　

坐 标 系 ０一 ａ ｂ ｃ ， 则ａ ＋ｂ ＋Ｃ 一 　 ０表 示 空 间 的 一 个 平 面 ， 且 ｎ 　
一

（ １ ， １ ， １ ）是 它 的一 个 法 向 　 图２ 　

求解 ， 解法 简 洁利 索． 　
角度 二　 不等 式 视角． 　
解法 ５ 　 方 程整 理 为 ｂ ＋ Ｃ一一 ａ ， ｂ 　 ＋ｃ 　一 ｌ 　
～ ａ。
，

量， ｎ 　 ＋ｂ 　 ＋Ｃ 　 一 １ 表示 以原　

点 ０为球 心半 径为 １ 的球 ， 显　 然， 球被平 面所 截 的 图形 是 一 个 大 圆 ， 问题 转 化 为　 求 这个 大 圆上点 的横坐 标 的最 大值． 　
设　 轴 与大 圆所 在 平 面所 成 的角 为 ０ ， 由于 ａ 　

代 入不 等式 （ ６ 十ｃ ） 　 ≤２ （ ６ 　 ＋Ｃ 　 ） 得口 　 ≤２ （ １ 　

一ｎ ｚ ） ， 即ａ ｚ ≤　 ， 故 ｎ的最 大值 是　 ． 　
解法 ６ 　 由ａ 。 ＋ｂ 。 ＋Ｃ 。 ＝１ ， 设 ａ— ｃ ｏ ｓ 　 ａ ， ｂ— 　

轴 的方向为 ｉ ｎ一 （ １ ， ０ ， ０ ） ， 则ｓ ｉ ｎ 　 一１ ＿ ＿ 　
一 　 ，

ｓ ｉ ｎ口 ｃ ｏ ｓ 　， Ｃ— ｓ ｉ ｎ 　 ａ ｓ ｉ ｎ 　， 代入 ａ ＋ｂ ＋Ｃ 一０ 可得 ， 　
ｓ ｉ ｎ 　 ａ ? ｓ ｉ ｎ 　＋ｓ ｉ ｎ 　 ａ ? Ｃ Ｏ Ｓ 　＝ ＝ ＝ — — Ｃ Ｏ Ｓ 　 ａ ， 且 口 √ ２ 　 １ 　 ｓ ｉ ｎ 　Ｉ ? 　

由 于　 是 口轴 与平 面 上 直 线所 成 角 的最 小　
晒　

． ） 　

值， 因此 ， ｎ的最大 值为 １? ｃ ｏ ｓ 　 ０一 　 ． 　 点评　 根据 式 子 的结 构 特 征 “ 为 数 配形 ” ， 解　

ｓ ｉ ｎ （ 卢 ＋　）一一Ｃ Ｏ Ｓ 　 ａ ， 所 以√ ２ 　 ｆ 　 ｓ ｉ ｎ 　 ａ 　 ｆ ≥ｌ 　 Ｃ Ｏ Ｓ 　 ａ 　 ｆ ， 两　
边平 方化 简 可得 Ｃ Ｏ Ｓ ｚ 　≤　 ， 故 ｎ的最 大值 是　 ． 　
点评　 解 法 ５先 通 过分 离 变量 ， 再 根 据式 子　 法７ 联系 到直线 与 圆的位 置关 系求 解 ， 本 质 与解法　 ５相 同 ； 解法 ８联 想 到 重心 坐 标 公 式 ， 构 造 抛物 线　 上 的点进行 求解 ， 解 法 巧妙 ； 解 法 ９利用 空 问平 面　 与球 的知识 求解 ， 对 空 间想 象 能 力要 求 较高 ， 让我　 们深 刻认识 到 问题 的本质 ． 　

结构 特 点 ， 由柯 西不 等式 顺 利求 解 ， 也可 以利用 不　 等式 （ ６ ＋ｃ ） 。≥ ４ ｂ ｃ求解 ， 这都 需 要 熟悉 不 等 式 的　
相关 知识 ； 解法 ６ 抓住 式子 中的“ １ ” ， 联 系到 三角 函　

数， 通过 三 角换 元建 立三 角 不 等式 求 解 ， 对 三 角 变　
换 的技 巧要 求 较高 ． 　
角 度 三　 几何 视角 ． 　 解法 ７ 　 方 程整 理为 ｂ ＋ ｃ一一 ａ ， ６ 　 ＋Ｃ 。＝ １ 　

通过 玩 赏这 道 问题 后 发现 ， 看 似 平淡 的问题 ， 　
其 实背后 暗藏 玄 机 ， 只 有 多 角 度 的 联 系其 代 数 意　 义 和几何 意义 ， 并掌 握 相应 的方 法 与技 巧 ， 才 能达　

到 运用 自如 的境界 ． 本 题作 为 高 考 题 ， 能 够考 查 学　
生 的数 学素 养 与 能力 ， 确 实 是 一道 好 题 ． 另外 ， 作　 为填空题 还 可 以“ 小 题 小做 ” ， 读 者不 妨一试 ． 　
（ 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ 一Ｏ ６ ～１ ８ ） 　

一口 　 ， 点（ ６ ， ｆ ） 在 直线 ６ ＋ｃ 一一日 上， 又在圆ｂ 　 十Ｃ 　
＝

１ 一ａ 。上 ， 问 题 转 化 为 直 线 与 圆有 交 点 ， 可 得　
．　

Ｌ　 ≤ 、 ／ ， 工 ＿ ＝ ＝ ＝ ＿ 　， 即ａ ２ ≤　 ２， 故。的最大值是　
．

／ ２ 　

解法 ８ 　 设 Ａ（ ａ ， ａ 　 ） ， Ｂ（ ｂ ， ｂ 　 ） ， Ｃ （ ｃ ， Ｃ 。 ） ， 则 Ａ， 　

Ｂ， Ｃ三点 都在 函 数 ｙ—　。 的图象 上 ， 当口 ， ｂ ， Ｃ 互不　 相 等 时， ＡＡ ＢＣ 　的 重 心 为 Ｇ（ 　 上　生 ，