第7讲 正弦、余弦定理应用


正弦、余弦定理应用举例
第一部分 1. 实际测量中的有关名词与术语 (1)方位角:从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 (2)方向角:从指向线到目标方向线所称的小于 (3) 仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的水平目标视线的夹角,目标视线在水平 视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角。 (4)视角:观察物理的两端,视线张开的角度称为视角 (5)铅直平面:与海平面垂直的平面 (6)坡角和坡比:坡面与水平面所成的夹角叫坡角,坡面的垂直高度与水平宽度的比叫 坡比( i ? 知识梳理

h ) l

2.解三角形应用题的一般步骤 (1)准确理解题意,尤其要理解应用题中的有关名词和术语;明确已知和所求,理清量 与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图, 并将已知条件在图形中标出, 将实际问题抽象成解三角形模型; (3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,正确运用正弦定理和余弦定理,有 顺序的求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位及近似计算要求,回答实际 问题. 3.常见应用题型 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有: (1) 测量高度问题;(2) 测量距离问题;(3) 测量角度问题; (4) 计算面积问题; (5) 航海问题; 4.规律方法指导 (1)应用正弦定理、余弦定理解应用题主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中, 首先要弄清题意,画出直观示意图,将实际问题转化为解三角形的问题,并将实际问题中的 长度、角度看成三角形相应的边和角,再利用边角关系对已知条件进行变形、转化,从而使 问题得以解决. (2)解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: ① 已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之; ② 已知量与未知量涉及两个或几个三角形, 这时需要选择条件足够的三角形优先研究, 再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
1

(6) 物理问题等.

5.解斜三角形的应用问题常常是综合应用问题.在解这类问题时,还经常涉及方程、几 何、最大(小)值、方位角等方面的知识,因此,应当注意分析问题特点,选用恰当的解题 方法.

第二部分 精讲点拨

考点 1

距离测量问题

(1). 隔河可以看到两个目标,但不能到达,在岸边选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测 得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°. A、B、C、D 在同一个平 面,求两目标 A、B 间的距离.

考点 2 高度的测量 (2)在平地上有 A、B 两点,A 在山的正东,B 在山的东南,且在 A 的南 25°西 300 米 的地方,在 A 侧山顶的仰角是 30°,求山高.

考点 3 角度的测量问题 (3). 我舰在敌岛 A 南偏西 50? 相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10? 的方向 以 10 海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、 沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰?

2

考点 4 面积公式 (4) 在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这 个 三 角 形 区 域 的 三 条 边 长 分 别 为 68m,88m,127m, 这 个 区 域 的 面 积 是 多 少 ? ( 精 确 到 0.1cm 2 )?

考点 5 恒等式的证明 (5)在 ? ABC 中,求证: a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; ① c2 sin 2 C

② a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC)

第三部分

基础达标

一、选择题 1. △ ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ ABC( )? A.直角三角形? B.等腰直角三角形?C.等边三角形 D.等腰三角形 2.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛 和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 间的距离是.( )? A.10 3 海里 B.

10 6 海里? 3

C. 5 2 海里?

D.5 6 海里 )

3. 有一长为 1 公里的斜坡, 它的倾斜角为 20° , 现要将倾斜角改为 10° , 则坡底要伸长( A. 1 公里 B. sin10° 公里 C. cos10° 公里 D. cos20° 公里 4. .已知平行四边形 ABCD 满足条件 ( AB? AD) ? ( AB? AD) ? 0 , 则该四边形是………(
?? ?? ?? ??

)

A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 5. 一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续 航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° , 另一灯塔在船的南偏西 75° ,则这只船的 速度是每小时………………………………………………………………………… . ( ) ?A.5 海里? B.5 3 海里? C.10 海里? D.10 3 海里 6.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他 看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离 d 1 与第二辆车与第三 辆车的距离 d2 之间的关系为 ..( A. d1 ? d 2 B. d1 ? d 2 ) C. d1 ? d 2
3

D. 不能确定大小

二、填空题 7.一树干被台风吹断折成与地面成 30° 角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,则树干原来的 高度为 ?
王新敞
奎屯 新疆

8.为了测量上海东方明珠的高度,某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5 ,前进 38.5m 后, 到达 B 处测得塔尖的仰角为 80.0 .试计算东方明珠塔的高度
?

?

王新敞
奎屯

新疆

(精确到 1m).

9.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45° 距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔船沿北 偏东 105° 方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到达渔 船的最短时间是 ?
王新敞
奎屯 新疆

10.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 三、解答题 11.在奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游击手的直 线成 15° 方向把球击出,根据经验,通常情况下,球速为游击手最大跑速的 4 倍,问按 这样布置,游击手能否接着球? km.

12.如图,用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上.∠ACW=150° ,∠BCW=120° , 求 A 和 B 处所受力的大小.(忽略绳子重量)
A B

C F E W

13.某观察站 C 在 A 城的南偏西 20° 方向,由 A 城出发有一条公路,走向是南偏东 40° ,距 C 处 31 千米的公路上的 B 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此 时 CD 距离为 21 千米,问人还需走多少千米才能到达 A 城?

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