高中数学第一章立体几何初步1.6垂直关系1.6.2垂直关系的性质课件北师大版必修2_图文


6.2 垂直关系的性质 目标导航 预习引导 学习目标 1.记住直线和平面垂直,平面和平面垂直的性质定理. 2.能运用性质定理解决一些简单问题. 3.准确把握直线和平面、 平面和平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互联系. 重点:直线和平面垂直,平面和平面垂直的性质定理及其应用. 难点:直线和平面垂直,平面和平面垂直的性质定理在证明题中 的应用. 疑点:线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的内在联系. 重点难点 目标导航 预习引导 1.直线与平面垂直的性质定理 (1)文字叙述:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平 行. (2)符号表示:若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b. (3)图形表示: (4)作用:线⊥面? 线∥线. 目标导航 预习引导 预习交流 1 请你根据已经学过的知识,判断下列各个命题是否正确? (1)两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这 个平面; (2)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么它也垂直于另一 个平面; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若一条直线垂直于一个平面,另一条直线平行于这个平面,那么 这两条直线垂直. 提示:这四个命题都是正确的,因此,它们可以分别作为:(1)线面垂 直、(2)线面垂直、(3)面面平行、(4)线线垂直的证明方法. 目标导航 预习引导 预习交流 2 两个平面垂直,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面一 定垂直吗? 提示:不一定.只有垂直于两平面交线的直线才垂直于另一个平面. 目标导航 预习引导 2.平面与平面垂直的性质定理 (1)文字叙述:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一个平面. (2)符号表示:若 α⊥β,α∩β=b,a?α,a⊥b,则 a⊥β. (3)图形表示: (4)作用:面面垂直? 线面垂直. 目标导航 预习引导 预习交流 3 已知 α⊥β,α∩β=l,若 a⊥l,则 a⊥β,对吗? 提示:不对,当 a?α 时,a 与 β 垂直. 预习交流 4 如果两个相交平面都与第三个平面垂直 ,那么它们的交线垂直于 第三个平面吗? 提示:交线垂直于第三个平面. 问题导学 当堂检测 1.线面垂直性质的应用 活动与探究 例 1 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别在 A1D,AC 上,且 EF⊥A1D,EF⊥AC. 求证:EF∥BD1. 思路分析:要证 EF∥BD1,只需证明 EF 与 BD1 同垂直于某一平面即 可,由条件可知这里当然选择平面 AB1C. 问题导学 当堂检测 证明:如图所示, 连接 AB1,B1C,BD,B1D1. ∵ DD1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴ DD1⊥AC. 又∵ AC⊥BD,且 BD∩DD1=D, ∴ AC⊥平面 BDD1B1. ∵ BD1?平面 BDD1B1,∴ BD1⊥AC. 同理,BD1⊥B1C. ∵ B1C∩AC=C,∴ BD1⊥平面 AB1C. ∵ EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴ EF⊥B1C. 又 EF⊥AC,且 AC∩B1C=C, ∴ EF⊥平面 AB1C.∴ EF∥BD1. 问题导学 当堂检测 迁移与应用 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中 点,MN⊥平面 A1DC. 求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点. 问题导学 当堂检测 证明:(1)∵ 四边形 ADD1A1 为正方形,∴ AD1⊥A1D. 又∵ CD⊥平面 ADD1A1,∴ CD⊥AD1. ∵ A1D∩CD=D,∴ AD1⊥平面 A1DC. 又∵ MN⊥平面 A1DC,∴ MN∥AD1. (2)连接 ON,在△A1DC 中,A1O=OD,A1N=NC, ∴ ON∥ CD∥ AB.∴ ON∥AM. 又∵ MN∥OA,∴ 四边形 AMNO 为平行四边形. ∴ ON=AM.∵ ON= AB,∴ AM= AB. ∴ M 是 AB 的中点. 1 2 1 2 1 2 1 2 问题导学 当堂检测 1.线面垂直的性质定理本质上揭示了空间中平行与垂直关系的内 在联系,提供了一种证明线线平行的方法. 2.证明线线平行的常用方法是:(1)平行线的定义;(2)平行公理;(3)线 面平行的性质定理;(4)面面平行的性质定理;(5)线面垂直的性质定理.在 实际证明时,要根据题意灵活选用. 问题导学 当堂检测 2.面面垂直性质的应用 活动与探究 例2 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂 直,AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF= BE.求证:EA⊥平面 ABCD. 1 2 问题导学 当堂检测 思路分析:解答本题的关键是证明 EA⊥AB,为此应该在平面四边形 ABEF 中,利用 AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF= BE 等条件计算 AB,AE,BE 的 长度,利用勾股定理的逆定理证明. 1 2 问题导学 当堂检测 证明:设 AF=EF=a,则 BE=2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. ∵ AF∥BE,∴ AM⊥AF. 又∵ AF⊥EF,∴ AM∥EF, ∴ 四边形 AMEF 是正方形. ∴ AM=a,EM=MB=a,∴ AE=AB= 2a, ∴ AE2+AB2=EB2,∴ AE⊥AB. 又∵ 平面 ABCD⊥平面 ABEF, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, AE?平面 ABEF,∴ EA⊥平面 ABCD. 问题导学 当堂检测 迁移与应用 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 问题导学 当堂检测 证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为

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