从高考试题看线性规划的学习与复习


从高考试题看线性规划的学习与复习 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成 熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。 在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效益 是人们不可缺少的要求,而提高经济效益一般通过两种途径:一是 技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料。 二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力、物力资源,线性规 划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力、物力等资源,使经 济效益达到最大。一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的 解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、 约束条件、目标函数是线性规划的三要素。 高中阶段线性规划内容是新课标实施后新增加的内容,近年来成 为高考中的热点问题,其试题已从简单的求线性目标函数的最值、 平面区域的面积,转变为求非线性目标函数的最值、参数的范围, 现在更是出现了与向量、概率、不等式、函数相结合的新题型。下 面通过高考试题分析解读体会如何学习、复习该部分知识。 一 考题回顾 高考试题对线性规划内容的考查主要体现在以下三个方面: 第一,注重对基本题型的考查。 (1)已知线性约束条件,求目标 函数的最值问题。如 2012 年,山东理第 5 题。 (2)线性规划应用 题。如 2012 年,四川理第 9 题。 第二,体现对线性规划与其他知识相结合问题的考查。 (1)含有 参数的线性规划问题。如 2012 年,福建理第 9 题。 (2)与向量、 不等式、概率等知识相结合的线性规划问题。如 2011 年,湖北理 第 8 题;2009 年,山东理第 12 题;2012 年,北京理第 2 题。 第三,凸显对线性规划体现的“数学规划”思想方法的考查。典 型试题: (2012 年,江苏 14)已知正数 a,b,c 满 足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则 的取值范围是 。 二 分析解读 1.关于线性规划基本题型 已知线性约束条件求目标函数的最值问题,线性规划应用题,属 于线性规划的最基本问题,是线性规划的简单应用,要求学生能够 熟练掌握可行域的画法,并能根据目标函数的变化情况,在可行域 内找到相应的最优解及最值。对于应用性问题还要求学生能够根据 题意,通过设置恰当的未知数将实际问题转化为线性规划的问题求 解。旨在考查学生对线性规划基本知识、基本问题的掌握,属于容 易题。 2.关于对线性规划与其他知识相结合的题型 它体现了线性规划的灵活应用,突出了对学生能力的考查,有一 定的综合性,其本质还是线性规划问题,解决方法仍然同基本问题 的方法类似。含参数的线性规划可在作可行域时先将约束条件中的 不含参数的不等式所表示的平面区域作出,然后再考虑含参数的不 等式,可以利用尝试的方法去研究。与向量、不等式、概率等知识 相结合的问题,从题目中容易看出其中包含的线性规划的“轮廓” 还是比较清晰的,结合相关知识的内容转化成线性规划的基本题型 不困难。 3.关于用“数学规划”思想求解问题的题型 这类问题从形式上可能看不出线性规划的“影子” ,其约束条件隐 蔽,需要进行适当的数学变形,变形后约束条件可能不是线性的, 其目标函数也未必是线性的,我们可以称之为“异化”的线性规划 问题。此类问题有一个共同特征:具备某些不等(或相等)关系的 限制条件, 求某个变量的范围或最值。 从下面的解答过程可见一斑。 解析:条件 5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc 可化为: 设 , ,则题目转化为:已知 x,y 满足: ,求 的取值范围。 作出(x,y)所在平面区域(如右图) 。求出 y≥ex 的切线的斜率 e,设过切点 p(x0,y0)的切线为 y=ex+m(m≥ 0) ,则 ,要 使它最小,须 m=0。 ∴ 的最小值在 p(x0,y0)处,为 e。此时,点 p(x0, y0)在 y=ex 上 a,b 之间。 当(x,y)对应点 c 时, 。 ∴ 的最大值在 c 处,为 7。 ∴ 的取值范围为[e,7],即 的取值范围是[e,7]。 三 学习启示 高考对线性规划的要求越来越灵活,以考查线性目标函数的最值 为重点,兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距 离、面积等) 。多以选择题、填空题出现,含参数的线性规划问题 也是高考的热点。在知识交汇处命制试题更是高考试题的一个重要 特点,鉴于此,在学习与复习中要紧紧抓住以下环节: 1.牢固掌握可行域的画法 若要正确画出可行域,首先是正确画出每个二元一次不等式所表 示的平面区域,这有两种常用的方法:一是先画出相应二元一次方 程所表示的直线,再选取一个特殊点(如果直线不过原点则常选取 原点)代入二元一次方程,计算其值的正负再结合二元一次不等式 的要求,若符合,则该点所在的区域就是所求的一元二次不等式所 表示的平面区域,否则该点所不在的区域为所求的区域,我们可以 用一个成语形象地总结:窥一斑而知全豹。二是将一元二次不等式 化为 y>kx+b(或 y>kx+b)的形式,若是 y>kx+b 形式,则所表示的 平面区域一定在直线 y=kx+b 的上方,反之在下方。其次是用阴影 表示出几个一元二次不等式所表示的平面区域的公共部分。若边界 不等式所对应的方程是特殊形式,则容易画出其所表示的区域,若 二元一次不等式中含有等号则用实线表示,否则用虚线。 2.灵活求目标函数最值 正确画出可行域后,将目标函数 z=ax+by(b≠0)化 为 形式,通过斜率为 的直线平移求出 的 最值,这个过程中需注意:一是所求可行域的边界与直线 倾斜程度之间的关系;二是 z 的系数 的正负对 z 取最值的影响,当 >0 时, 取得最大(小)值时,对 应的 z 也会取得最大(小)值,当 <0 时,则恰好相反。 3.熟悉简单数学建模问题 应用数学解决各类实际问题时,建立数学模型是十分关键的一步, 同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过

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