2013-2014学年高中数学 2.2.2第2课时 椭圆方程及性质的应用知能演练 理(含解析)新人教A版选修2-1


2013-2014 学年高中数学 2.2.2 第 2 课时 椭圆方程及性质的应用知 能演练 理(含解析)新人教 A 版选修 2-1

1.(2013?青岛调研)点 A(a,1)在椭圆 + =1 的内部,则 a 的取值范围是( 4 2 A.- 2<a< 2 C.-2<a<2
2

x2 y2

)

B.a<- 2或 a> 2 D.-1<a<1

a 1 解析:选 A.由题意知 + <1,解得- 2<a< 2. 4 2
2.若直线 y=kx+2 与椭圆 + =1 相切,则斜率 k 的值是( 3 2 A. 6 3 6 3 B.- D.± 6 3 3 3

x2 y2

)

C.±

解析:选 C.把 y=kx+2 代入 + =1 得 3 2 2 2 (2+3k )x +12kx+6=0, 2 6 2 由于 Δ =0,∴k = ,∴k=± . 3 3 3.直线 y=x+1 被椭圆 + =1 所截得的弦的中点坐标是( ) 4 2 ?2 5? ?4 7? A.? , ? B.? , ? ?3 3? ?3 3? 2 1? 17? ? ? 13 C.?- , ? D.?- ,- ? 2? ? 3 3? ? 2 2 解析:选 C.把 y=x+1 代入椭圆方程,整理得 3x +4x-2=0, x1+x2 2 2 1 所以弦的中点坐标(x0,y0)满足 x0= =- ,y0=x0+1=- +1= . 2 3 3 3 4.经过椭圆 +y =1 的右焦点作倾斜角为 45°的直线 l,交椭圆于 A、B 两点,O 为坐 2 → → 标原点,则OA?OB=( ) 1 A.-3 B.- 3 1 1 C.- 或-3 D.± 3 3 解析:选 B.椭圆右焦点为(1,0), 设 l:y=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2), 把 y=x-1 代入 +y =1, 2 2 得 3x -4x=0.

x2 y2

x2 y2

x2

2

x2

2

1

1 ?4 1? → → ∴A(0,-1),B? , ?.∴OA?OB=- . 3 ?3 3? 5.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3 → → OP?FP的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 → → → → 解析:选 C.∵OP?FP=|OP|?|FP|?cos∠OPF, → → ∴当 P 为右端点时OP?FP最大,其值为 a?(a+c)?cos 0°=6. 6.椭圆 +y =1 被直线 x-y+1=0 所截得的弦长|AB|=__________. 3

x2 y 2

x2

2

?x-y+1=0 ? 解析:由?x2 2 ? 3 +y =1 ?
则|AB|= 3 2 答案: 2

1? ? 3 得交点为(0,1),?- ,- ?, 2 2? ?

?3?2+?1+1?2=3 2. ?2? ? 2? 2 ? ? ? ?

y2 2 7.已知椭圆的方程为 + 2=1(m>0).如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴 16 m 2 上的射影恰为椭圆的右焦点 F,则椭圆的离心率为________. m2? 2 ? 解析:焦点在 x 轴上,设交点为 P,则 P? 16-m , ?,

x2

?

4?

又∵点 P 在 y=

2 x 上, 2 16-m ,解得 m=2 2,
2

m 2 ∴ = 4 2

2

c 2 2 2 ∴e= = = . a 4 2
答案: 2 2

8.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原 5 4 点,则△OAB 的面积为__________. 2 2 ?4x +5y -20=0, ? 解析:将椭圆与直线方程联立:? ? ?y=2? x-1? ,

x2 y2

?5 4? 解得交点 A(0,-2),B? , ?.设右焦点为 F, ?3 3? 1 1 ?4 ? 5 则 S△OAB= ?OF?|y1-y2|= ?1?? +2?= . 2 2 ?3 ? 3 5 答案: 3
9.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y =1 有 2 两个不同的交点 P 和 Q.求 k 的取值范围.

x2

2

2

解:由已知条件知直线 l 的方程为 y=kx+ 2,代入椭圆方程得 +(kx+ 2) =1.整 2 1 2? 2 ? 2 理得? +k ?x +2 2kx+1=0.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ =8k - ?2 ? 2 2 ?1 2? 2 4? +k ?=4k -2>0,解得 k<- 或 k> . 2 2 ?2 ? 即 k 的取值范围为(-∞,- 2 ? 2 ? )∪? ,+∞?. 2 ?2 ?

x2

2

4 2 2 10.直线 l:y=kx+1 与椭圆 +y =1 交于 M、N 两点,且|MN|= .求直线 l 的方 2 3 程. 解:设直线 l 与椭圆的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2),

x2

?y=kx+1, ? 由?x2 2 ? 2 +y =1, ?

消去 y 并化简,得(1+2k )x +4kx=0,

2

2

4k ∴x1+x2=- 2,x1x2=0. 1+2k 4 2 由|MN|= ,得 3 32 2 2 (x1-x2) +(y1-y2) = , 9 32 2 2 ∴(1+k )(x1-x2) = , 9 32 2 2 ∴(1+k )[(x1+x2) -4x1x2]= , 9 4k ?2 32 2 ? 即(1+k )?- , 2? = ? 1+2k ? 9 4 2 化简得:k +k -2=0, 2 ∴k =1,∴k=±1. ∴所求直线 l 的方程是 y=x+1 或 y=-x+1.

1.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴, → → 直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是( 3 2 A. B. 2 2 1 1 C. D. 3 2 解析: )

x2 y2 a b

选 D.如图,由于 BF⊥x 轴,
3

∴BF∥OP. → → ∵AP=2PB, ∴a=2c, c 1 ∴ = . a 2 2.椭圆 E: + =1 内有一点 P(2,1),则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为 16 4 ________. 2 2 解析:法一:设过点 P(2,1)的直线为 y-1=k(x-2),代入椭圆方程可得(4k +1)x + x1+x2 2 2 (8k-16k )x+16k -16k-12=0.设直线与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =2, 2 2 16k -8k 1 即 2 =4,得 k=- ,即所求直线的方程为 x+2y-4=0. 4k +1 2 法二:设弦的两端点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),

x2

y2

?16+ 4 =1 ?x y ?16+ 4 =1 依题意有:? x +x =4 ?y +y =2 ?y -y =k ?x -x
2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2

x2 1

y2 1

① ② ③ ④ ⑤

AB

1 ①-②将③④⑤代入得 kAB=- , 2 1 ∴所求直线的方程为:y-1=- (x-2), 2 即 x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0 3.已知椭圆 + =1 过点 M(2,1),O 为坐标原点,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截 8 2 距为 m(m≠0). (1)当 m=3 时,判断直线 l 与椭圆的位置关系; (2)当 m=3 时,P 为椭圆上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最小值. 1 解:(1)由题可知 kl=kOM= , 2 1 当 m=3 时,直线 l 的方程为 y= x+3. 2

x2 y2

?y=1x+3, ? 2 由? x y ? 8 + 2 =1, ?
2 2

得 x +6x+14=0.

2

∵Δ =36-4?14=-20<0, ∴原方程组无解,即直线 l 和椭圆无交点,此时直线 l 和椭圆相离. 1 (2)设直线 a 与直线 l 平行,且直线 a 与椭圆相切,设直线 a 的方程为 y= x+b, 2

4

?y=1x+b, ? 2 联立? x y ? 8 + 2 =1, ?
2 2 2 2

得 x +2bx+2b -4=0,

2

2

∴Δ =(2b) -4(2b -4)=0,解得 b=±2, 1 ∴直线 a 的方程为 y= x±2. 2 1 所求 P 到直线 l 的最小距离等于直线 l 到直线 y= x+2 的距离 d= 2 2 5 . 5 4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0, 3)、(0,- 3)的距离之和等于 4.设 点 P 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程; → → → (2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点,k 为何值时OA⊥OB?此时|AB|的值是多少? 解:(1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3),(0, 3)为焦点, 长半轴为 a=2 的椭圆,它的短半轴 b= 2 -? 故曲线 C 的方程为 x + =1. 4
2 2

3-2 ? -1?
2

?1?2 +? ? ?2?



3?

2

=1,

y2

?x2+y =1, ? 4 (2)由? ?y=kx+1, ?
消去 y 并整理得(k +4)x +2kx-3=0, 2 2 2 Δ =(2k) -4?(k +4)?(-3)=16(k +3)>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2k 3 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 → → 由OA⊥OB,得 x1x2+y1y2=0. 2 而 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k x1x2+k(x1+x2)+1, 2 2 2 3 3k 2k -4k +1 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - +1= 2 . k +4 k +4 k2+4 k +4 2 -4k +1 1 → → 由 2 =0,得 k=± ,此时OA⊥OB. k +4 2 1 4 12 当 k=± 时,x1+x2=? ,x1x2=- . 2 17 17 → 2 2 2 |AB|= ? x2-x1? +? y2-y1? = ? 1+k ? ? x2-x1? 2 2 而(x2-x1) =(x2+x1) -4x1x2 2 2 4 12 4 ?52 = 2+4? = 2 , 17 17 17 → 4 65 所以|AB|= . 17
2 2

2

2



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