2012高中数学人教A版选修2-2精品课件3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义_图文


? 3.2 复数代数形式的四则运算 ? 3.2.1 复数代数形式的加减运 算及其几何意义

? 掌握复数加法、减法的运算法则及其几何 意义,并能熟练地运用法则解决相关的问 题.

? 本节重点:复数代数形式的加减法. ? 本节难点:复数代数形式加减法的几何意 义.

? 复数的加法满足交换律、结合律的证明 ? 设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.ai、 bi∈R (i=1、2、3) ? (1)∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2) +(b1+b2)i, ? z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2 +b1)i, ? 又a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1, ? ∴z1+z2=z2+z1.

? (2)∵(z1 + z2) + z3 = [(a1 + b1i) + (a2 + b2i)] + (a3+b3i)=[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3i) ? =[(a1+a2)+a3]+[(b1+b2)+b3]i, ? 而 z1 + (z2 + z3) = (a1 + b1i) + [(a2 + b2i) + (a3 +b3i)]=(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i] ? =[a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i, ? 又(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3), ? (b1+b2)+b3=b1+(b2+b3), ? ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

? 1.复数代数形式的加、减法运算法则 ? 设 z1= a+bi, z2= c+di (a、b、 c、d∈R), 则 (a+c)+(b+d)i ? z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; ? z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i . ? 2 .复数代数形式加减法满足交换律、结 合律 ? 即对任意z1、z2、z3∈C,有 ? ①z1+z2=z2+z; 1 z1+(z2+z3). ? ②(z1+z2)+z3=

[例 1]

计算:(1)(-2+3i)+(5-i);

(2)(-1+ 2i)+(1- 2i); (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).

? [分析] 直接运用复数的加减法运算法则 进行计算.

[解析] +2i.

(1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-1)i=3

(2)(-1+ 2i)+(1- 2i)=(-1+1)+( 2- 2)i=0. (3)(a+bi)-(2a -3bi) -3i = (a-2a)+(b +3b - 3)i = -a+(4b-3)i.

? [点评] (1)复数加减运算法则的记忆. ? 方法一:复数的实部与实部相加减,虚部与虚 部相加减. ? 方法二:把 i 看作一个字母,类比多项式加减中 的合并同类项. ? (2)加法法则的合理性: ? ①当b=0,d=0时,与实数加法法则一致. ? ②加法交换律和结合律在复数集中仍成立. ? ③符合向量加法的平行四边形法则. ? (3) 复数的加减法可以推广到若干个复数,进行 连加连减或混合运算.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

计算:(1)(3+5i)+(3-4i); (2)(-3+2i)-(4-5i); (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i). [解析] (1)(3+5i)+(3-4i) =(3+3)+(5-4)i=6+i. (2)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+(2+5)i =-7+7i. (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i) =(5-2-3)+(-6-2-3)i=-11i.

? [例2] 如图,平行四边形OABC,顶点O, A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,试求

→ 所表示的复数,BC → 所表示的复数; (1)AO → 所表示的复数; (2)对角线CA → 所表示的复数及OB → 的长度. (3)对角线OB

? [分析] 要求某个向量对应的复数,只要 找出所求向量的始点和终点,或者用向量 的相等直接给出所求的结论.

[解析]

→ =-OA →, (1)AO

→ 所表示的复数为-3-2i. ∴AO → =AO → ,∴BC → 所表示的复数为-3-2i. ∵BC → =OA → -OC →. (2)CA → 所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ∴CA → =OA → +AB → =OA → +OC →, (3)对角线OB 它所对应的复 数 z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, → |= 12+62= 37. |OB

? [ 点评 ] 1. 根据复数的两种几何意义可知: 复数的加减运算可以转化为点的坐标运算 或向量运算. ? 2 .复数的加减运算用向量进行时,同样 满足平行四边形法则和三角形法则. ? 3 .复数及其加减运算的几何意义为数形 结合思想在复数中的应用提供了可能.

? 已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形,顶点A,B, C分别对应复数-5-2i,-4+5i,2(如图所示),求顶点D 对应的复数及对角线AC,BD的长.

[解析]

设对角线 AC 与 BD 交于点 M,因为 ABCD

为平行四边形, zA+zC zB+zD 所以 zM= = , 2 2 所以 zD=zA+zC-zB=(-5-2i)+2-(-4+5i)=1- 7i. → =zC-zA=2-(-5-2i)=7+2i, 因为AC → |=|7+2i|= 72+22= 53. 所以|AC

→ =zD -zB =(1 -7i) -(- 4 +5i)= 5-12i ,所以 因为 BD → |=|5-12i|= 52+(-12)2=13. |BD 故点 D 对应的复数是 1-7i,对角线 AC 与 BD 的长分 别是 53和 13.

? [例3] 已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x) - (5x + 3y)i(x , y∈R) .设 z = z1 - z2 ,且 z = 13 - 2i,求z1,z2. ? [分析 ] 要想求得z1,z2,只需求得x,y,要求x, y,需得到关于 x , y 的方程组,由复数相等的条 件即可得到关于x,y的方程组,然后解之. ? [解析] z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x) - (5x + 3y)i] = [(3x + y) - (4y - 2x)] + [(y - 4x) + (5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i ? 又z=13-2i,

? ?5x-3y=13 ∴? ? ?x+4y=-2

? ?x=2 ,解得? ? ?y=-1

.

∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i. z2=(-1×4-2×2)-(5×2-3×1)i=-8-7i.

? [点评] 灵活运用复数加减法的运算法则 和复数相等的充要条件.

设 z=a+bi(a, b∈R), 且 4(a+bi)+2(a-bi)=3 3+i, 又 ω=sinθ-icosθ,求 z 的值和|z-ω|的取值范围.

[解析]

∵4(a+bi)+2(a-bi)=3 3+i,

∴6a+2bi=3 3+i, ? 3 ? ?a= 2 ?6a=3 3 ∴? ,∴? ? ?2b=1 ?b=1 ? 2 3 1 .∴z= + i, 2 2

? ∴z-ω=? ? ? ? =? ? ?

3 1? ? -(sinθ-icosθ) + i ? 2 2?

? ?1 ? 3 ? ? + 2+cosθ?i - sin θ ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?2 ?1 -sinθ? + 2+cosθ?2 2 ? ? ? ? 2-2? ? ? ? 3 1 ? sinθ- cosθ? 2 2 ?

∴|z-ω|=

= 2- 3sinθ+cosθ= =
? π? 2-2sin?θ-6? ? ?

? π? ∵-1≤sin?θ-6?≤1, ? ? ? π? ∴0≤2-2sin?θ-6?≤4 ? ?

∴0≤|z-ω|≤2, 3 1 故所求得 z= + i, 2 2 |z-ω|的取值范围是[0,2].

? ? ? ? ? ? ? ?

一、选择题 1.(6-2i)-(3i+1)等于 ( ) A.3-3i B.5-5i C. 7 + i D.5+5i [答案] B [解析] (6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2- 3)i=5-5i.故应选B.

? 2.设f(z)=z(z∈C),z1=3+4i,z2=-2- i,则f(z1-z2)等于 ( ) ? A.1-3i ? B.-2+11i ? C.-2+i ? D.5+5i ? [答案] D ? [解析] z1-z2=3+4i+2+i=5+5i, ? 故f(z1-z2)=z1-z2=5+5i,故选D.

→对 3.在复平面内,点 A 对应的复数为 2+3i,向量OB → 对应的复数为 应的复数为-1+2i,则向量BA ( )

? A.1+5i ? C.-3-i ? [答案] B
[解析]

B.3+i D.1+I

→ 对应的复 由复数加减法的几何意义可知向量BA

数为 2+3i-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故应选 B.

? 二、填空题 ? 4 .已知z = 1 + i,设 ω= z - 2|z|- 4 ,则ω = ________.
[答案]
[解析]

-3-2 2+i
∵z=1+i,∴|z|= 12+12= 2,

∴ω=(1+i)-2 2-4=-(3+2 2)+i =-3-2 2+i.

5.如图,在复平面内,平行四边形 OABC 各顶点对 a 应的复数分别为 z0=0,zA=2+2i,zB=-2a+3i,zC=- b+ai,则实数 a 减去 b 的差为________.

? [答案] -4
[解析] → =CB →, 由四边形 OABC 是平行四边形知OA a 故 zA-z0=zB-zC,即 2+2i=(-2a+3i)-(-b+ai)=(- 2a+b)+(3-a)i, -2a+b=2, ? ? ? ?a=2, 所以? 解得? a ? 3-a= , ?b=6, ? 2 ? 所以 a-b=-4.

三、解答题 m2+m 6.设 m∈R,复数 z1= +(m-15)i,z2=-2+ m+2 m(m-3)i,若 z1+z2 是虚数,求 m 的取值范围.

[解析] 3)i ,所以

m2+m 因为 z1= +(m-15)i,z2=-2+m(m- m+2
?m2+m ? ? -2? z1 + z2 = ? ? + [(m - 15) + m(m - 3)]i = m + 2 ? ?

m2-m-4 +(m2-2m-15)i. m+2 因为 z1+z2 是虚数,所以 m2-2m-15≠0 且 m≠-2. 所以 m≠5 且 m≠-3 且 m≠-2. 所以 m 的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2, 5)∪(5,+∞).


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