江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷_图文


江苏省南京市 2012 届高三 3 月第二次模拟考试数学试卷 数学试卷
一.填空题 1. 已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0, x ? R}, B ? {x | x ? a} , 若 A ? B ? B , 则实数 a 的取值范
2

围是_______________

a ? 3i ? b?i 2.已知 i ,其中 a, b ? R , i 为虚数单位,则 a ? b =_____________
3.某单位从 4 名应聘者 A,B,C,D 中招聘 2 人,如果这 4 名应聘者被录用的机会均等,则 A,B 两人中至少有 1 人被录用的概率是________________ 4.某日用品按行业质量标准分为五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5,现从一批该日用品 中 随 机 抽 取 200 件 , 对 其 等 级 系 数 进 行 统 计 分 析 , 得 到 频 率 f 的 分 布 表 如 下 :

则在所抽取的 200 件日用品中,等级系数 X=1 的件数为_______________

5.已知变量 x,y 满足约束条件 范围是_________

? x ? y ? 2, ? ? x ? y ? 1, ? y ? 2. ?

则目标函数 z ? ?2 x ? y 的取值

x2 ? y2 ? 1 2 a 6. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 , 则该
双曲线的离心率 e=_______ 7.已知圆 C 经过直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与坐标轴的两个交点,又经过抛 物线 y ? 8x 的焦点,则圆 C 的方程为________________
2

S3 1 ? S { a } S 3 ,则 n n 6 8. 设 是等差数列 的前 n 项和,若

S6 ? S 7 _____________

y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?
9.已知函数

?

) 2 的部分图像如图所示,则 ? 的值为___

10.在如果所示的流程图中,若输入 n 的值为 11.则输出 A 的值为______ 11.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁 下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的 公共顶点 P 为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥容器, 当 x=6cm 时,该容器的容积为__________________ cm .
3

12.下列四个命题: (1) “ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定;
2

(2)“若 x ? x ? 6 ? 0, 则x ? 2 ”的否命题;
2

(3)在 ?ABC 中, “ A ? 30 ”是“
o

sin A ?

1 2 ”的充分不必要条件;

(4)“函数 f ( x) ? tan(x ? ? ) 为奇函数”的充要条件是“ ? ? k? (k ? Z ) ”. 其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上) 13.在面积为 2 的 ?ABC 中, E,F 分别是 AB, AC 的中点, 点 P 在直线 EF 上, 则 PC ? PB ? BC 的最小值是______________ 14.已知关于 x 的方程 x ? 2a log2 ( x ? 2) ? a ? 3 ? 0 有唯一解, 则实数 a 的值为________
2 2 2

2

二、解答题 15. (本题满分 14 分) 设向量 a=(2,sinθ),b=(1,cosθ),θ 为锐角

13 (1)若 a· b= 6 ,求 sinθ+cosθ 的值;

? (2)若 a//b,求 sin(2θ+ 3 )的值.

16. (本题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 BCE,BE ? EC. (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE;

BF (2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求 BE 的值。

17. (本题满分 14 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ,

椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 , 以原点为圆心, 椭
圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2),设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称 的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T。求证:点 T 在椭 圆 C 上。

18. (本小题满分 16 分) 某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对 角线在 l 上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有 材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成,边 BA,AD 用 一根 9 米长的材料弯折而成,要求 ?A 和 ?C 互补,且 AB=BC, (1) 设 AB=x 米,cosA= f ( x ) ,求 f ( x ) 的解析式,并指出 x 的取值范围. (2) 求四边形 ABCD 面积的最大值。 .

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?| e ? bx |, 其中 e 为自然对数的底.
x

(1)当 b ? 1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)有且只有一个零点,求实数 b 的取值范围; (3)当 b>0 时,判断函数 y=f(x)在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极大值 及 相应实数 b 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分)

已知数列{an}满足:

a1 ?

a2

?

?

a3

?

2

? ... ?

an

?

n ?1

? n 2 ? 2n(其中常数? ? 0, n ? N ? )

(1)求数列{an}的通项公式; (2)当 ? =4 时,是否存在互不相同的正整数 r,s,t,使得 r,s,t 满足的条件;若不存在,说明理由; (3)设 S n 为数列{an}的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有 求实数 ? 的取值范围。
?

ar , a s , at 成等比数列?若存在,给出
(1 ? ? )S n ? ?an ? 2?n 恒成立,

数学附加题

?1 2 ? M ?? ? ? 4 3? 1.设矩阵
(1)求矩阵 M 的逆矩阵 M (2)求矩阵 M 的特征值.
?1



? x ? 2 cos? ? x ? 1 ? 2t (?为参数) l:? ? y ? sin ? y ? 1 ? t (t 2.在平面直角坐标系 xoy 中,判断曲线 C: ? 与直线 ?
为参数)是否有公共点,并证明你的结论

3.甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛,每人回答一个问题,答对得 10 分,答错得 0

2 2 2 1 , , 分,假设甲班三名同学答对的概率都是 3 ,乙班三名同学答对的概率分别是 3 3 2 ,且这
六名同学答题正确与否相互之间没有影响. (1)用 X 表示甲班总得分,求随机变量 X 的概率分布和数学期望; (2)记“两班得分之和是 30 分”为事件 A, “甲班得分大于乙班得分”为事件 B,求事件 A,B 同时发生的概率.

x x x (1 ? )(1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ) 2 2 2 的展开式中, x 的系数为 an , x 2 的系数为 bn ,其中 n ? N * 4.记
(1)求

an
bn ? 1 p q (1 ? n )(1 ? n ) 3 2 2 ,对 n ? N * , n ? 2 恒成立?证明

(2)是否存在常数 p,q(p<q),使 你的结论.


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