江西省九江市第一中学2018届高三上学期第一次月考(文数)


江西省九江市第一中学 2018 届高三上学期第一次月考 数学(文科)
一、 选择题(本大 题共 12 小题, 每小题 5 分,共在 60 分 ) 1 . 已知复数 z ?

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z = ( (1 ? 3i)2
(B) 1 (C)



(A) 2

1 2

(D)

1 4


2. 设集合 A ? x x≥ ? 1 ,B ? x y ? ln ? x ? 2 ? ,则 A ? CR B ? ( (A) ? ?1 ,2? (B) ? 2 , ? ? ? (C) ? ?1 ,2?

?

?

?

?

(D) ? ?1 , ? ? ?

3. 如图,给出了样本容量均为 7 的 A、B 两组样本数据的散点图,已知 A 组样本数据的相 关系数为 r1 , B 组数据的相关系数为 r2 ,则( (A) r 1 ?r 2 (C) r 1 ?r 2 (B) r 1 ?r 2 (D)无法判定 ) (C) ? )

y

y

O

A 组数


x

O

B 组数


x

4. cos 450 sin1050 ? sin1350 sin150 =( (A) ?

3 2

(B)

3 2

1 2

(D)

1 2

5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难, 次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一 个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地,请问第二天走了( (A) 96 里
2

) (C) 48 里 (D) 24 里

(B)192 里

6. 若 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数, 则实数 a 的取值范围是( (A)a<-3 (B)a ≤-3 ) (C)a>-3 (D) a≥-3

7. 阅读如图所示的程序框图,若输出的数据大于 58,则 判断框中应填入的条件可能为( )

1

(A) k ? 3 8. f ( x) ? (

(B) k ? 4

(C) k ? 5

(D) k ? 2 )

2 ? 1) cos x 图象的大致形状是( 1 ? ex

9. 已知 x=ln π,y=log52, z =e (A) x<y<z

?

1 2

,则下列大小关系正确的是( (C) z<y<x

) (D) y<z<x

(B) z<x<y

10. 已知 ?ABC 的面积 S 满足 4 S ? a 2 ? c 2 ? b 2 ,且 BC 边上的高等于 ( ) (A)

1 BC ,则 cos A ? 3

3 10 10

(B)

10 10

(C) ?

10 10

(D) ?

3 10 10

11. 抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点(点 A 在第一象限) ,若

??? ? ??? ? AF ? 3FB ,则直线 l 的斜率为(
(A) 2 (B)



1 2

(C)

3 2

(D) 3

12.定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?

?log 1 ( x ? 1),x ? [0,1) ? 2 ? ?1 ? x ? 3 ,x ? [1, ??)


, 则关于 x 的

函数 F ( x) ? f ( x) ? a,(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为(
a (A) 2 ? 1

(B) 1 ? 2

a

?a (C) 2 ? 1

(D)1 ? 2

?a

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 已知向量 a ? ?1,1? , b ? (3, m) , a ∥( a + b ) ,则 m =

?

?

?

? ?

.

?y ? 2 ? 0 x ? 2y ? 6 ? 14. x, y 满足 ? x ? 3 ? 0 ,则 的取值范围是 x?4 ?x ? y ?1 ? 0 ?

.

2

15. 已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 ,直线 l : 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,在圆 C 内任取一点 P,则 P
2 2

到直线 l 的距离大于 2 的概率为_________. 16. 已知三棱锥 A ? BCD 中, AB ? CD ? 2 13 ,BC ? AD ? 41 , AC ? BD ? 61 , 则三棱锥 A ? BCD 的外接球的表面积为 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 T n , 且 a1 ? ?1 , b1 ? 1 , a2 ? b2 ? 2 . (Ⅰ)若 a3 ? b3 ? 5 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 T3 ? 21,求 S 3 . 18 (本小题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名, 25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数, 然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)” 和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60),[60,70), [70,80) ,[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. .

(Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的概率; (Ⅱ)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2× 2 列联 表,并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 参考数据及公式:

P(K 2 ? k)

0.150 2.072

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

k

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
3

19. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? 2 , (Ⅰ)证明: A1C / / 平面 BC1 D ; (Ⅱ)若 ?ACB ? 120? , D 为 A1 B1 的中点.
A1 A ? A1C ,点 A1 在平面 ABC 的射影在 AC 上,且侧面 A1 ABB1 的面积为 2 3 ,

求三棱锥 B ? A1C1 D 的体积.

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 20. (本小题满分 12 分) 设 F (Ⅰ)若 P 是第 1 、 F2 分别是椭圆 4
一象限内该椭圆上的一点,且 PF1 ? PF2 ? ?

???? ???? ?

5 ,求点 P 的坐标; (Ⅱ)设过定点 M (0, 2) 的 4

直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的 斜率 k 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? 的取值范围;(Ⅱ) 证明: 当 a ?

a . ) 若函数 f ? x ? 有零点, 求实数 a ? a ? 0 ?(Ⅰ x

2 时, f ? x ? ? e? x . e

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-5:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ? 0 , 以极点为原点, 极轴为 x 轴正半轴建立平面直 角坐标系,直线 l 过点 M (3,0) ,倾斜角为

? . 6

(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 AB 两点,求 MA ? MB .

23 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1 | . (Ⅰ) 求不等式 f ( x) ? 6 的解集 ; (Ⅱ)设 m, n, p 为正实数,且 m ? n ? p ? f (2) ,求证: m n ? np ? pm ? 3 .

4

数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)
1 . 已知复数 z ?

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z = ( (1 ? 3i)2
(B) 1 (C)

D )

(A) 2

1 2

(D)

1 4

2.设集合 A ? x x≥ ? 1 ,B ? x y ? ln ? x ? 2 ? ,则 A ? CR B ? (C ) (A) ? ?1 ,2? (B) ? 2 , ? ? ? (C) ? ?1 ,2? (D) ? ?1 , ? ? ?

?

?

?

?

3.如图,给出了样本容量均为 7 的 A、B 两组样本数据的散点图,已知 A 组样本数据的相关 系数为 r1 , B 组数据的相关系数为 r2 ,则( C ) (A) r 1 ?r 2 (C) r 1 ?r 2 (B) r 1 ?r 2 (D)无法判定 ) C. ?

y

y

O

A 组数


x

O

B 组数


x

4. cos 450 sin1050 ? sin1350 sin150 =( A A. ?

3 2

B.

3 2

1 2

D.

1 2

5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难, 次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一 个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地,请问第二天走了(A ) A.96 里
2

B.192 里

C.48 里

D.24 里

6.若 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围 是( B ) (A)a<-3 (B)a ≤-3 (C)a>-3 (D) a≥-3

7.阅读如图所示的程序框图,若输出的数据大于 58,则判断框中应填入的条 件可能为( C )

5

A. k ? 3 8. f ( x) ? (

B. k ? 4

C. k ? 5

D. k ? 2

2 ? 1) cos x 图象的大致形状是( B ) 1 ? ex

9.知过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点(点 A 在第一象限) ,若 9. 已知 x=

ln π,y=log52, z =e 2 ,则下列大小关系正确的是(D ) (A) x<y<z (B) z<x<y (C) z<y<x (D) y<z<x
1 BC ,则 cos A ? 3

?

1

10. 已知 ?ABC 的面积 S 满足 4 S ? a 2 ? c 2 ? b 2 ,且 BC 边上的高等于 ( C ) A.

3 10 10

B.

10 10

C. ?

10 10

D. ?

3 10 10

11. 抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点(点 A 在第一象限) ,若

??? ? ??? ? AF ? 3FB ,则直线 l 的斜率为( D )
(A) 2 (B)

1 2

(C)

3 2

(D) 3

?log 1 ( x ? 1),x ? [0,1) ? 2 12 . 定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? ? ?1 ? x ? 3 ,x ? [1, ??)
的函数 F ( x) ? f ( x) ? a,(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( B )
a A. 2 ? 1

,则关于 x

B. 1 ? 2

a

C. 2

?a

?1

D. 1 ? 2

?a

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上.)
13.知向量 a ? ?1,1? , b ? (3, m) , a ∥( a + b ) ,则 m = 3

?

?

?

? ?

6

?y ? 2 ? 0 x ? 2y ? 6 ? 14. x, y 满足 ? x ? 3 ? 0 ,则 的取值范围是 x?4 ?x ? y ?1 ? 0 ?
2 2

? 17 ? ?1, ? ? 7? ?

.

15. 已知圆 C: x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 ,直线 l : 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,在圆 C 内任取一点 P,则 P 到直线 l 的距离大于 2 的概率为__

3 1 _______. ? 4 2?

16.已知三棱锥 A ? BCD 中, AB ? CD ? 2 13 , BC ? AD ? 41 , AC ? BD ? 61 , 则三棱锥 A ? BCD 的外接球的表面积为

77?



17.(本题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 T n , 且 a1 ? ?1 , b1 ? 1 , a2 ? b2 ? 2 . (Ⅰ)若 a3 ? b3 ? 5 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 T3 ? 21,求 S 3 . 17.解: (Ⅰ)设等差数列 {a n } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q . 由 a1 ? ?1, b1 ? 1 , b3 ? a4 , a2 ? b2 ? 2 , a3 ? b3 ? 5 ,得
? 1 ? d ? q ? 2,?1 ? 2d ? q 2 ? 5 ,解得: d ? 1, q ? 2 ,或 d ? 3, q ? 0(舍去) .

则 {bn } 的通项公式为 bn ? 2n?1 (n ? N * ) . (Ⅱ)由 b1 ? 1, T3 ? 21 可得 1 ? q ? q 2 ? 21 ,解得 q ? 4或q ? ?5 . 当 q ? 4 时, b2 ? 4, a2 ? 2 ? 4 ? ?2 ,
d ? ?2 ? (?1) ? ?1, S3 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ?6 ;

当 q ? ?5 时, b2 ? ?5, a2 ? 2 ? (?5) ? 7 ,
d ? 7 ? (?1) ? 8, S3 ? ?1 ? 7 ? 15 ? 21 .

18 (本小题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日 平均生产量是 否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计 了 他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下” 分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60),[ 60,70),[70,80),[80,90), [90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

7

(1) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以 下组”工人的概率; (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2× 2 列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 参考数据及公式:

P(K 2 ? k)

0.150 2.072

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

k

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(18) (本小题满分 12 分) 解(1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名. ---1 分

所以,样本中日平均生产件数不 足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60× 0.05=3(人), 记为 A1,A2,A3; 25 周岁以下组工人有 40× 0.05=2(人),记为 B1,B2.

从中随机抽取 2 名工人,所有的可能结果共有 10 种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3), (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 分 (2)由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 名工人中, “25 周岁以上组”中的生产能手有 60× 0.25 =15(人),“25 周岁以下组”中的生产能手有 40× 0.375=15(人),据此可得 2× 2 列联表如下: 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计 15 15 30 非生产能手 45 25 70 合计 60 40 100 ---10 分因为 1.786<2.706. 7 故所求的概率 P= . 10 -------6

K2 ?

n(ad ? bc)2 25 = ≈1.786. 14 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
8

所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” ----12 分 19.(题满分 12 分)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 120? , D 为 A1 B1 的中 点. (Ⅰ)证明: A1C / / 平面 BC1 D ; (Ⅱ)若 A1 A ? A1C ,点 A1 在平面 ABC 的射影在 AC 上, 且侧面 A1 ABB1 的面积为 2 3 ,求三棱锥 B ? A1C1 D 的体积.

18.(Ⅰ)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 E ,连接 DE . 则 E 为 B1C 的中点,又 D 为 A1 B1 的中点, 所以 DE / / A1C ,且 DE ? 平面 BC1 D , A1C ? 平面 BC1 D , 则 A1C / / 平面 BC1 D . (Ⅱ)解:取 AC 的中点 O ,连接 A1O ,过点 O 作 OF ? AB 于点 F ,连接 A1 F . 因为点 A1 在平面 ABC 的射影 O 在 AC 上,且 A1 A ? A1C , 所以 A1O ? 平面 ABC ,∴ A1O ? AB , A1O ? OF ? O , ∴ AB ? 平面 A1OF ,则 A1 F ? AB . 设 A1O ? h ,在 ?ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 120? , ∴ AB ? 2 3 , OF ? 由 S A ABB ?
1 1

1 , A1 F ? 2

1 ? h2 , 4

1 3 ? h 2 ? 2 3 ? 2 3 ,可得 AO . ?h? 1 4 2

则 VB ? A C D ? ? A1O ? S?A C D ? ?
1 1 1 1

1 3

1 3

3 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2sin120? ? . 2 2 2 4

所以三棱锥 B ? A1C1 D 的体积为

1 . 4

20.(本小题满分 12 分)设 F 1 、 F2 分别是椭圆 一象限内该椭圆上的一点,且 PF1 ? PF2 ? ?

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. (Ⅰ)若 P 是第 4

???? ???? ?

5 ,求点 P 的坐标; (Ⅱ)设过定点 M (0, 2) 的 4

直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的 斜率 k 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分)

9

解: (Ⅰ)易知 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 . ∴F , F2 ( 3,0) .设 P( x, y) ( x ? 0, y ? 0) .则 1 (? 3,0)

???? ???? ? 5 PF1 ? PF2 ? (? 3 ? x, ? y )( 3 ? x, ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? , . . . . . .2 分 4

7 ? 2 x ? y2 ? ?x ? 1 ? x2 ? 1 ? x ? 4 ? ? 2 ? y ?1 , 联 立 ? 2 又 , 解 得 ? 3?? 3 , 2 4 ? x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? ? 4 ? 2 ? ?4
2

P(1,

3 ). . . . . . .5 分 2

(Ⅱ) 显然 x ? 0 不满足题设条件. 可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? x2 ? ? y2 ? 1 联立 ? 4 ? x 2 ? 4(kx ? 2)2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
∴ x1 x2 ?

12 16k , x1 ? x2 ? ? . . . . . .6 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2 2

由 ? ? (16k ) ? 4 ? (1 ? 4k ) ?12 ? 0

16k 2 ? 3(1 ? 4k 2 ) ? 0 , 4k 2 ? 3 ? 0 ,得 k 2 ?

3 .①. . . . . .7 分 4

又 ?AOB 为锐角 ? cos ?AOB ? 0 ? OA ? OB ? 0 , ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . . . . . .8 分 又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

∴ x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
2

? (1 ? k 2 ) ?

12 16k ? 2k ? ( ? )?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

?

12(1 ? k 2 ) 2k ?16k 4(4 ? k 2 ) ? ? 4 ? ?0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

10

∴?

1 ? k 2 ? 4 .②. . . . . .10 分 4 3 3 3 ? k 2 ? 4 ,∴ k 的取值范围是 (?2, ? ) ? ( , 2) . . . . . . .12 分 4 2 2
a ? a ? 0 ? .(Ⅰ) 若函数 f ? x ? 有零点, 求实数 a x

综①②可知

21.(本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? 的取值范围;(Ⅱ) 证明: 当 a ?

2 时, f ? x ? ? e? x . e a 21. 解:(Ⅰ)法 1: 函数 f ? x ? ? ln x ? 的定义域为 ? 0, ??? . x a 1 a x?a 由 f ? x ? ? ln x ? , 得 f ? ? x ? ? ? 2 ? 2 . x x x x
因为 a ? 0 ,则 x ? ? 0, a ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? a, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减, 在 ? a, ??? 上单调递增. 当 x ? a 时, ? ? f ? x ?? ? min ? ln a ? 1. 当 ln a ? 1 ? 0 , 即 0 ? a ?

1 时, 又 f ?1? ? ln1? a ? a ? 0 , 则函数 f ? x ? 有零点. e
1? . e? ?

所以实数 a 的取值范围为 ? 0, 法 2:函数 f ? x ? ? ln x ? 由 f ? x ? ? ln x ?

? ?

a 的定义域为 ? 0, ??? . x

a ? 0 , 得 a ? ? x ln x x

令 g ? x ? ? ? x ln x ,则 g? ? x ? ? ? ? ln x ?1? . 当 x ? ? 0, ? 时, g? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ? , ?? ? 时, g? ? x ? ? 0 . 所以函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增, 在 ? , ?? ? 上单调递减.
1 1 1 1 ?1? 故 x ? 时, 函数 g ? x ? 取得最大值 g ? ? ? ? ln ? . e e e e ?e?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

因而函数 f ? x ? ? ln x ?

1 a 有零点, 则 0 ? a ? . e x
? e?

1? 所以实数 a 的取值范围为 ? ? 0, ? .

(Ⅱ) 要证明当 a ?

2 时, f ? x ? ? e? x , e
11

即证明当 x ? 0, a ?

2 a 时, ln x ? ? e ? x , 即 x ln x ? a ? xe? x . e x

令 h ? x ? ? x ln x ? a , 则 h? ? x ? ? ln x ?1 . 当0 ? x ?

1 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 时, f ? ? x ? ? 0 . e e

所以函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减, 在 ? , ?? ? 上单调递增.

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1 时, ? ?h ? x ?? ? min ? ? e ? a . e 2 1 1 于是,当 a ? 时, h ? x ? ? ? ? a ? . e e e
当x ?



令 ? ? x ? ? xe? x , 则 ?? ? x ? ? e? x ? xe? x ? e? x ?1 ? x ? . 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 在 ?1, ?? ? 上单调递减.

1 . e 1 于是, 当 x ? 0 时, ? ? x ? ? . e
当 x ? 1 时, ? ?? ? x ? ? ? max ?



显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当 a ? 时, f ? x ? ? e? x 22. (坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ? 0 , 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直 角坐标系,直线 l 过点 M (3,0) ,倾斜角为
2 e

? . 6

(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 AB 两点,求 MA ? MB . 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上。

22【解答】 (本题满分 10 分) 解: (1)对于 C:由 ρ=4cosθ,得 ρ2=4ρcosθ,





12

∴x2+y2=4x,

∴对于 l:有

.…(5 分)

(2)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2 将直线 l 的参数方程带入圆的直角坐标方程 x2+y2﹣4x=0, 得 化简得 , ,

…(10 分)

23 (本小题满分 10 分)
选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1 | . (1) 求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2) 设 m, n, p 为正实数,且 m ? n ? p ? f (2) ,求证: m n ? np ? pm ? 3 . (23) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 等价于不等式组

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 或 ? x ? 2 或? ? ? ??3x ? 3 ? 6 ?? x ? 5 ? 6 ?3x ? 3 ? 6
所以不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 的解集为 (?1,3) …………………………………5 分

(Ⅱ)证明:因为 m ? n ? p ? 3 ,所以 (m ? n ? p)2 ? m2 ? n2 ? p2 ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9
2 2 因为 m, n, p 为正实数,所以由基本不等式得 m ? n ? 2mn(当且仅当 m ? n 时取等

号) 同理: n2 ? p 2 ? 2np ; p2 ? m2 ? 2mp ,所以 m2 ? n2 ? p2 ? mn ? np ? mp 所以 (m ? n ? p)2 ? m2 ? n2 ? p2 ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9 ? 3mn ? 3np ? 3mp 所以 mn ? np ? pm ? 3 …………………………………………………………10 分

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