7.4简单的线性规划(二)_图文


7.4.2线性规划 7.4.2线性规划(二) 线性规划( 举例引入: 举例引入: 1)二元一次方程x+y-1=0的解集: 1)二元一次方程 二元一次方程x+y-1=0的解集 的解集: {(x,y)| x+y-1=0 } x+yy
1

o

1

x

2)二元一次不等式x+y-1>0的解集: 2)二元一次不等式 二元一次不等式x+y的解集: {(x,y)| x+y-1>0 } x+y所表示的区域:直线x+y-1=0右上方 所表示的区域:直线x+y-1=0右上方

y
1

特殊点法: (0,0) 特殊点法: (0,0) 1>0不成立 0,0)不在区域内 不成立, 不在区域内, ∵-1>0不成立,(0,0)不在区域内, ∴右上方 3)二元一次不等式x+y3)二元一次不等式x+y-1<0的解集: 二元一次不等式x+y 的解集: {(x,y)| x+y-1<0 } x+y所表示的区域:直线x+y-1=0左下方 所表示的区域:直线x+y-1=0左下方 特殊点法: 特殊点法:(0,0) 成立, 0,0)在区域内 在区域内, ∵-1<0成立,(0,0)在区域内, ∴左下方
y
1

o

1

x

o

1

x

2.画二元一次不等式 2.画二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域 画二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域 步骤:1.画出不等式所对应方程的直线; 步骤:1.画出不等式所对应方程的直线; 画出不等式所对应方程的直线 (虚实线看不等号) 虚实线看不等号) 看不等号 2.取特殊点,确定所求平面区域, 2.取特殊点,确定所求平面区域, 通常取( 通常取(0,0),(0,1),(1,0) 特别地, 特别地,当C ≠0时,取(0,0) ≠0 当C=0时,取(0,1)或(1,0) (0,1)或 直线定界(虚实) 特殊点定域” 即:“直线定界(虚实),特殊点定域” 3.画不等式组所表示的平面区域 3.画不等式组所表示的平面区域 等价于画各个不等式所表示的平面区域的公共部分 等价于画各个不等式所表示的平面区域的公共部分

5. 在画二元一次不等式的时, 在画二元一次不等式的时, Ax+By+C>0 或Ax+By+C<0 总结规律: 同为正,异为负” 总结规律:“同为正,异为负” (向右或向上为正方向) 或向上 方向) (‘ “>”为正,”<”为负) ,”<

解释:A与不等式的符号相同,则取x轴的正方 解释: 与不等式的符号相同 则取x轴的正方 相同, 区域,即直线一侧的右方区域; 右方区域 向区域,即直线一侧的右方区域; B与不等式的符号相同,则取y轴的正方 与不等式的符号相同 则取y轴的正方 相同, 区域,即直线一侧的上方区域; 上方区域 向区域,即直线一侧的上方区域; 反之,异号, 负方向区域 区域。 反之,异号,取负方向区域。

课堂练习: 课堂练习: (1)二元一次不等式x+2y-6<0表示的平面区域在直 (1)二元一次不等式x+2y-6<0表示的平面区域在直 二元一次不等式x+2y 线x+2y-6=0的 左下方 x+2y-6=0的 (2)若方程Ax+By+C=0表示的直线为?,不等式 若方程Ax+By+C=0表示的直线为 表示的直线为? Ax+By+C>0表示的平面区域为 Ax+By+C>0表示的平面区域为D ,则: 表示的平面区域为D 1、当A>0,B>0时, D为?的 A>0,B>0时 2、当A>0,B<0时, D为?的 A>0,B<0时 3、当A<0,B>0时, D为?的 A<0,B>0时 4、当A<0,B<0时, D为?的 A<0,B<0时 右上方 右下方 左上方 左下方

复习回顾: 复习回顾: 画出不等式组所表示的平面区域

? x ? 4 y ≤ ?3 ? ?3 x + 5 y ≤ 25 ?x ≥ 1 ?

? x ? 4 y ≤ ?3 z=2x+y, 的最大值和最小值。 例已知 ? ,z=2x+y,求z的最大值和最小值。 3 x + 5 y ≤ 25 ? y ?x ≥ 1 ? x=1
解:不等式组表示的平 面区域如图所示: 面区域如图所示: A(5,2),B(1,1), C (1 , 22 )。
6 5 4 3 2 1 -1 O -1 B ? 2 3 4 3x+5y-25=0 5 6 7 C? x-4y+3=0 A ?

∵z=2x+y y=∴y=-2x+z

5

即斜率为-2,纵截距为 即斜率为-2,纵截距为z, 纵截距为z ∵此题求截距z的最值。 此题求截距z的最值。 先作直线y=∴先作直线y=-2x 再平移至所取区域

1

l0

当过B(1,1)时 当过B(1,1)时,Z的值最小,Zmax=2×5+2=12 的值最小, =2× 当过A(5,2)时 当过A(5,2)时,Z的值最大, Zmin=2×1+1=3 的值最大, =2×

l1

l

l2

例已知 ? x ? 4 y ≤ ?3 ? ? 3 x + 5 y ≤ 25 ?x ≥ 1 线性 ?
目标函数

线性 约束条件 y
x=1 6 5 4 3 2

点(x,y) 可行解 可行解集合 可行域
x-4y+3=0 ? A(5,2)

z=2x+y, y=-2x+z) (y=-2x+z) 的最大值和最小值。 求z的最大值和最小值。

截距

求线形目标函数在线形约束条 1 线形目标函数在线形约束条 件下的最大值或最小值的问题, 最大值或最小值的问题, 件下的最大值或最小值的问题O -1 统称为线形规划问题 线形规划问题。 统称为线形规划问题。 -1 即求最优解 即求最优解问题 最优解问题

? 1

B(1,1) 2 3 4

3x+5y-25=0 5 6 7

最优解

课堂练习: 课堂练习: 1)求z=2x+y的最大值,使式中的x,y满足约束条件 z=2x+y的最大值 使式中的x,y满足约束条件 的最大值,
?y ≤ x ? ?x + y ≤ 1 ? y ≥ ?1 ?

2)求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x,y z=3x+5y的最大值和最小值 使式中的x,y 的最大值和最小值, 满足约束条件
?5 x + 3 y ≤ 15 ? ? y ≤ x +1 ?x ? 5 y ≤ 3 ?

3)求z=2x-y的最大值和最小值,使式中的x,y z=2x- 的最大值和最小值,使式中的x,y
? x ? 4 y ≤ ?3 满足约束条件 ? ?3x + 5 y ≤ 25 ?x ≥ 1 ?

总结:观察目标函数Z=ax±by中的±y; 中的± 总结:观察目标函数Z ax±by中的 +y时,Z的最大值,即代入截距 的最大 值时的(x,y) 最大值时的(x,y) -y时,Z的最大值,即代入截距 的最大 值时的(x,y) 最小值时的(x,y) 作业: 作业: P89 练习A 练习A 练习B 练习B P94 练习 1 2 (2),(4)

有问题? 有问题?

已知1 已知1≤a+b ≤5,-1 ≤a-b ≤3,则3a-2b 3a14]。 的取值范围是 [-6,14]。
解:∵ 0 ≤a ≤4 -2 ≤2a-2b ≤6 2a∴ -2 ≤3a-2b ≤10 3a-

若实数x,y满足 若实数x,y满足

?4 ≤ x + y ≤ 6 ① ? ?2 ≤ x ? y ≤ 4 ②

求2x+y的取值范围 2x+y的取值范围 的取值范围。 解:由①+②可得: 可得:

6 ≤ 2 x ≤ 10 即 3 ≤ x ≤ 5 ③
由②-①同向相加得 0 ≤ y ≤ 2 ④ 6 ≤ 2 x + y ≤ 12 ③+④得
以上解法正确吗?为什么? 以上解法正确吗?为什么?

画出

? 4 ≤ x + y ≤ 6 表示的平面区域 ? ?2 ≤ x ? y ≤ 4
y 6 5 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 A 3 4B 5 C 6 7 x D

从图中我们可以看出 解得 3 ≤ x ≤ 5 没错

0≤ y≤2
但不等式

x? y =2 x? y =4

?4 ≤ x + y ≤ 6 ? ?2 ≤ x ? y ≤ 4
?3 ≤ x ≤ 5 ? ?0 ≤ y ≤ 2

与不等式

所表示的平面区域却不同? 所表示的平面区域却不同? (扩大了许多!) 扩大了许多!)

x+ y =4

x+ y =6

通过分析,我们知道上述解法中,确定的 通过分析,我们知道上述解法中,
3 ≤ x ≤ 5及0 ≤ y ≤ 2

是对的

但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定2x+y 的最大( 值及y的最大( 值来确定2x+y 的最大( 值却是不合理的。 的最大(小)值却是不合理的。
已知:x、y满足 ? 4 ≤ x + y ≤ 6 ? ?2 ≤ x ? y ≤ 4 求 2 x + y 范围。

已知:x、y满足 ? 4 ≤ x + y ≤ 6 ? ?2 ≤ x ? y ≤ 4 求 2 x + y 范围。 y
6

解:设z=2x+y 方程变形为y=-2x+z, 方程变形为y=-2x+z, 先作y=-2x y=过A(3,1)时,有zmin A(3,1)时 过B(5,1)时,有zmax B(5,1)时 所 以
-2

5 4 3 2 1 -1 0 ? 1 2 A 3 4B 5 C 6 D

x? y =2 x? y =4

7

x

z min = 2 × 3 + 1 = 7 z max = 2 × 5 + 1 = 11

-1 -2 -3 -4

x+ y =4

x+ y =6

?1 ≤ a + b ≤ 5 已知a, b满足 ? ??1 ≤ a ? b ≤ 3 且 Z=3a-2b 求:Z的取值 范围。 3 1 解:b= a ? z 2 2

已知1 已知1≤a+b ≤5,-1 ≤a-b ≤3,则3a-2b 3a的取值范围是___。 的取值范围是___。 a+b=5 b
a+b=1
B(4,1) A(0,1)

a o a-b=-1 a-b=3

Zmin=-2 Zmin=10 -2≤3a-2b ≤10 3a-

已知1 已知1≤a+b ≤5,-1 ≤a-b ≤3,则3a-2b 3a的取值范围是___。 的取值范围是___。 a+b=5 b
?1 ≤ a + b ≤ 5 可行域: ? ??1 ≤ a ? b ≤ 3 ?0 ≤ a ≤ 4 可行域: ? ??1 ≤ b ≤ 3

3a+2b a+b=1

a o

?0 ≤ a ≤ 4 可行域: ? ??1 ≤ a ? b ≤ 3

a-b=-1 a-b=3


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