【讲练测·三位一体】2014年春高中数学人教A版选修2-3教学课件:第三章 统计案例3、3-1-2_图文


第三章 统计案例

(选修2-3)

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第三章 统计案例

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1.通过本节的学习进一步了解回归分析的基本思想、
方法和初步应用. 2.培养学生对数据的直观感觉,认识统计方法的直观 特点,体会统计方法应用的广泛性.
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本节重点:回归分析方法.
本节难点:在实际问题中,应用回归分析方法作出推 断.
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3.残差图:作图时,纵坐标为 残差 ,横坐标可以选
为样本编号,或有关数据,这样作出的图形称为残差 图.如果残差点比较均匀地落在 水平的带状区域 中, 说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄, 说明模型拟合精度 越高 ,回归方程的预报精度也 越高 .
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我们可以用残差图和相关指数R2=

来刻画回归的效果.

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4.建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象,明确哪个变量是 解释变量 , 哪 个变量是 预报变量 ; (2)画出确定好的解释变量和预报变量的 散点图 , 观 察它们之间的关系(如是否存在线性关系等);
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(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线
性关系,则选用线性回归方程 );

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(4) 按一定规则估计回归方程中的参数 (如最小二乘法 ) ;
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残 差过大,或残差呈现不随机的规律性等等);若存在异常, 则检查 数据 是否有误,或 是否合适等.
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模型

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5.比较拟合效果的基本步骤 对于给定的样本点(x1,y1)、(x2,y2)、?、(xn,yn),两 个含有未知参数的模型y =f(x,a)和y(2)=g(x,b),其中 a 和 b 都是未知参数.可以按如下的步骤来比较它们的拟合 效果: ^)与 (1)分别建立对应于两个模型的回归方程y(1)=f(x,a
~ ~ ~

(1)



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^ ^ y =g(x,b),其中a和b分别是参数 a 和 b 的估计值; (2)

^

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[例1] 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房 屋的面积x的数据: 房屋面积(m2) 115 销售价格(万元) 24.8 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22
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(1)画出数据对应的散点图; (2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线; (3) 据 (2) 的结果估计当房屋面积为 150m2 时的销售价 格.

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[解析] (1)数据对应的散点图如下图所示:

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5 15 (2) x =5 ?xi=109,lxx= ? (xi- x )2=1570, i=1 i=1

y =23.2,lxy= ? (xi- x )(yi- y )=308.
i=1 ^ ^ ^, 设所求回归直线方程为y=bx+a ^ lxx 308 则 b= = ≈0.1962,a= y -b x =1.8166. lxy 1570

5

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故所求回归直线方程为^ y=0.1962x+1.8166.

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(3)据(2),当x=150m2时,销售价格的估计值为
=0.1962×150+1.8166=31.2466(万元). [ 点评 ] 已知 x 与 y 呈线性相关关系,就无需进行相关
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性检验,否则要进行相关性检验.如果两个变量不具备相 关关系,或者相关关系不显著,即使求出回归方程也是毫

无意义的,用其估计和预测也是不可信的.进行线性相关
的判断,可通过散点图直观判断,散点图不明显的可进行 相关性检验.

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[例2] 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修 费用y(万元),有如下表的统计资料: 使用年限x 2 3 4 5 6
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维修费用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若由资料知,y对x呈线性相关关系.

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(2)求残差平方和;
(3)求相关指数R2; (4)估计使用年限为10年时,维修费用是多少? [ 分析 ] 分别计算. ∵ y 对 x 呈线性相关关系,用线性相关的公式
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[解析] (1)由已知条件制成下表:
i xi yi x iy i x 1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9 3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42. 0 36 合计 20 25 112.3 90
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^

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112.3-5×4×5 12.3 于是有b= = =1.23, 2 10 90-5×4
^ ^ a= y -b x =5-1.23×4=0.08.

∴^ y=1.23x+0.08. (2)由公式^ y1=1.23×2+0.08=2.54,得: ^ y2=1.23×3+0.08=3.77, ^ y3=1.23×4+0.08=5, ^ y4=1.23×5+0.08=6.23, ^ y5=1.23×6+0.08=7.46,

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∴^ e1=2.2-2.54=-0.34, ^ e2=3.8-3.77=0.03, ^ e3=5.5-5=0.5, ^ e4=6.5-6.23=0.27, ^ e5=7.0-7.46=-0.46. ∴残差平方和为 ( - 0.34)2 + 0.032 + 0.52 + 0.272 + ( - 0.46)2=0.651.
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(3)R =1-

2

0.651
i=1

?

5

(yi- y )2
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0.651 =1- (-2.8)2+(-1.2)2+0.52+1.52+22 0.651 =1-15.78≈0.9587. (4)回归直线方程为^ y=1.23x+0.08, 当 x=10 年时,^ y=1.23×10+0.08=12.38(万元). 即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元.

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[点评] (1)残差平方和越小,预报精确度越高.(2)相
关指数R2取值越大,说明模型的拟合效果越好.
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[例3] 在试验中得到变量y与x的数据如下表: x 0.0667 0.0388 0.0333 0.0273 0.0225

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y

39.4

42.9

41.0

43.1

49.2

由经验知,y与

之间具有线性相关关系,试求y与x之

间的回归曲线方程,当x0=0.038时,预测y0的值. [分析] 通过换元转化为线性回归问题.

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[解析] 令u= ,由题目所给数据可得下表所示的数
据; 序号 1 2 3 4 5 合计 ui 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 151.8 yi 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 215.6 u 225 665.64 900 1339.56 1971.36 5101.56 uiyi 591 1106.82 1230 1577.46 2184.48 6689.76
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^=34.32. 计算得b=0.29,a ∴^ y=34.32+0.29u. 0.29 ^ 所求回归曲线方程为y=34.32+ x . 0.29 ^ 当 x0=0.038 时, y0=34.32+0.038≈41.95.
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^

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一、选择题
1.下面两个变量间的关系不是函数关系的是 ( A.正方形的棱长与体积 B.角的度数与它的正弦值 )
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C.单产为常数时,土地面积与粮食总产量
D.日照时间与水稻亩产量 [答案] D

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2.变量x、y的散点图如图所示,那么x、y之间的样本
相关系数r的最接近的值为 ( )
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A.1
C.0 [答案] C [ 解析 ]

B.-0.5
D.0.5 从散点图中,我们可以看出 x 与 y 没有线性相
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关关系,因而r的值接近于0.

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3.在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别为(1,2),
(2,0),(4,-4),(-1,6),则y与x的相关系数为 ( A.1 C.0 B.-2 D.-1 )
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[答案] D

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二、填空题
4.(2010·哈尔滨高二检测 )已知回归方程 [答案] 1∶4.4 =4.4x+
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838.19,则可估计x与y的速度之比约为__________.

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5.以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据:
年平均 12.5 气温 1 (℃) 年降雨 542 量(mm) 12.8 4 507 12.8 4 813 13.6 9 574 13.3 3 701 12.7 4 432 13.0 5 464

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根据这组数据可以推断,该地区的降雨量与年平均气 温________相关关系.(填“具有”或“不具有”)

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[答案] 不具有
[ 解析 ] 画出散点图,观察可知,降雨量与年平均气
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温没有相关关系.

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三、解答题
6.关于x与y有如下数据: x 2 4 5 6 8
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y

30

40

60

50

70

有如下的两个线性模型: ①^ y=6.5x+17.5; ②^ y=7x+17. 试比较哪一个拟合效果更好.

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[解析]

由①可得 yi-^ yi 与 yi- y 的关系如下表: yi-^ yi -0.5 -3.5 10 -6.5 0.5 yi- y -20 -10 10 0 20
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所以 ? (yi-^ yi)2=(-0.5)2+(-3.5)2+102+(-6.5)2+
i =1

5

0.52=155,

i=1

? (yi- y )2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1000.

5

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5

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i=1

yi)2 ? (yi-^
5

所以

R2 1=1-

i=1

?

(yi- y )2

155 =1-1000=0.845.
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由②可得 yi-^ yi 与 yi- y 的关系如下表: yi-^ yi -1 -5 yi- y - 20 - 10 8 -9 -3

10

0

20

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(选修2-3)

所以 ? (yi-^ y i)2 =(- 1)2+(-5)2+82 +(-9)2+(-3)2
i=1

5

=180,

i=1

? (yi- y )2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1000.

5

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(选修2-3)

i=1

yi)2 ? (yi-^
5 2

5

所以

R2 2=1-

i=1

? (yi- y )

180 =1-1000=0.82.

2 2 2 由于 R2 1=0.845,R2=0.82,0.845>0.82,所以 R1>R2.

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故①的拟合效果好于②的拟合效果.
[点评] R2的取值越大,模型的拟合效果越好.

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