江西省白鹭洲中学2013届高三上学期期中考试 数学理


白鹭洲中学 2012-2013 学年上学期高三年级期中考试 数 学 试 题(理科)
命题人:高三数学备课组 2012-11 考生注意:本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中只有一项是符合题目要求的)
1.设全集 U ? R, 且 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? {x | x ? 6 x ? 8 ? 0} ,则 (CU A) ? B =( )
2

A. [?1, 4)

B. (2,3)

C. (2,3]

D. (?1, 4)

2.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为( ) A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2

C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

3.下列命题中的真命题是( ) A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd C.若 a ? b 则 a 2 ? b 2

B.若 | a |? b 则 a 2 ? b 2 D.若 a ?| b | 则 a 2 ? b 2

4. 已知直线 l∥平面 α ,P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线( ) A.只有一条,不在平面 α 内 C. 只有一条,且在平面 α 内 5.已知正数 x 、 y 满足 A.1 B.有无数条,不一定在平面 α 内 D.有无数条,一定在平面 α 内
?x

x y ?0 {2?? y ?5?0 ,则 z ? 4 x 3

1 ? ( ) y 的最小值为( ) 2
D.

B.

1 4
2

C.

1 16

1 32

6. a ? ?1 ”是“函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1 只有一个零点”的( ) “ A.充分必要条件 C.必要不充分条件 7.已知 a1 , ( ) B.24950 C.2100 D. 299 B.充分不必要条件 D.非充分必要条件

a a2 a3 , ,..., n ,... 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则数列{ an}的第 100 项等于 a1 a2 an ?1

A.25050

8.如图,在等腰直角 ?ABO 中,设 OA ? a , OB ? b , OA ? OB ? 1, C 为斜边 AB 上靠近点 A 的四等分点,过 C 作 AB 的垂线 L ,设 P 为垂线上任一点, OP ? p, 则

??? ?

? ? ???

?

??? ?

?

O P

A

C

B

? ? ? p ? (b ? a ) ? ( )
A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D .

3 2

9.巳知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0, 2? )) 有两个不同的零点 x1、x2 ,方程 f ( x) ? m 有两个不同 的实根 x3、x4 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为 ( ) A. ?

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D .?

3 2

1 ? ?x ? , x ? 0 2 10.已知函数 f ( x) ? ? ,则方程 f (2 x ? x) ? a ( a ? 2 )的根的个数不可能为 x ? x 3 ? 3, x ? 0 ?
( ) A.3 B.4 C.5 D.6

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题 (本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.已知

2 ? 3i ,则 ? a ? bi (a, b ? R, i 为虚数单位) ab = i

▲ .

12.计算

?

?

2 0

x 2 sin 2 dx = 2

▲ . ▲ .

13.观察下列数的特点:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,? 中,第 100 项是 14.当 x?(1,2) 时,不等式 ( x?1) ?log a x 恒成立,则 a 的取值范围为
2



15.我们把具有以下性质的函数 f ( x) 称为“好函数”:对于在 f ( x) 定义域内的任意三个数

a, b, c ,若这三个数能作为三角形的三边长,则 f (a ), f (b), f (c) 也能作为三角形的三边
长.现有如下一些函数: ① f ( x) ?

x
x

② f ( x) ? 1 ? x, x ? (0, ) ④ f ( x) ? sin x , x ? (0, ? ) . ▲

1 2

③ f ( x) ? e , x ? (0,1) 其中是“好函数”的序号有

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤)
16.(本小题满分 12 分)已知锐角 ?ABC 中的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,定义向量

? ? B m ? (2sin B, ? 3) , n ? (cos 2 B, 2 cos 2 ? 1) 2

且 m / /n .

?

?

(1)求函数 f ( x) ? sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B 的单调递增区间; (2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值。 17. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f (x) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集 为(1,3). (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f (x) 的解析式; (2)若 f (x) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)某小区内有如图所示的一矩形花坛,现将这一矩形花坛 ABCD 扩建 成一个更大的矩形花坛 AMPN , 要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上, 且对角线 MN 过 C 点, 已知 AB ? 3 米, AD ? 2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

19.(本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 2 S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, (n ? N *) 且

a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列.
(1)求 a1 的值; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? 2n ,求证数列 ?bn ? 是等比数列。 (3) 求满足 an ?

4 n ? 3 的最小正整数 n . 5

20.(本小题满分 13 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别是 AC,AB 上的中点, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,作 A1F⊥CD,垂足为 F,如图 2. (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)若∠A=45°, AC=2,在线段 CD 上是否存在点 F, 使得二面角 A1-BE-F 为 45°。若存在, 则指出点 F 的位置,若不存在,请说明理由。

21.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ?1 . x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 3 5 ,若对于 ?x1 ? ?1, 2? , ?x2 ? ? 0,1? ,使 12

(3)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g ( x) ? x 2 ? 2bx ?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围.

白鹭洲中学 2012—2013 学年上学期高三年级期中考试 数学试卷参考答案和评分标准
一、选择题: (每题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1 C

2 D

3 D

4 C

5 C

6 B

7 B
13、14

8 A

9 D

10 A

二、填空题: (每题 5 分,共 25 分) ? 11、-6 12、 ? 1 2 14、 1?a?2 15、 ①②③

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
? ? B 解:( 1) m // n ? 2 sin B( 2 cos 2 ? 1) ? ? 3 cos 2 B ? 16. 2 ? sin 2 B ? ? 3 cos 2 B即tan 2 B ? ? 3 .......... ...... 2分
又? B 为锐角 故 2 B ? (0, ? )

2? ? ? 2B ? ?B ? 3 3 2 k? ?

…………………4 分

?? ? f ? x ? ? sin 2 x cos B ? cos 2x sin B ? sin? 2x ? ? 3? ?

?

2

? 2x ?

?

3

? 2 k? ?

?
2

∴函数的单调递增区间是 [k? ?

?
12

, k? ?

5? ]. 12

…………………6 分

8分

12 分

17, 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2 x ? 0 的解集为 (1,3) 所以 f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3) ,且 a ? 0 ,因而

f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) ? 2 x ? ax 2 ? (2 ? 4a) x ? 3a. ①???.2 分
由方程 f ( x) ? 6a ? 0得ax ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0. ②
2

因为方程②有两个相等的根,所以 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 ,
2

即 5a 2 ? 4a ? 1 ? 0 解得 a ? 1 或 a ? ?

1 5 ………………..4 分 1 2 6 3 x ? x ? .6 分 5 5 5

由于 a ? 0, 舍去a ? 1.将a ? ? 代入①得 f (x) 的解析式 f ( x) ? ? (Ⅱ)由 f ( x) ? ax ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a( x ?
2

1 5

1 ? 2a 2 a 2 ? 4a ? 1 ) ? a a

及 a ? 0, 可得f ( x)的最大值为 ?

a 2 ? 4a ? 1 . ???8 分 a

? a 2 ? 4a ? 1 ? a 2 ? 4a ? 1 ? 0 ? 0, ?? ?? 由? 解得 a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0. 10 分 a ?a ? 0 ?a ? 0, ?
故当 f (x) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3 ) ? (?2 ? 3,0). .12 分 18. 解: (1)设 DN 的长为 x ( x ? 0 )米,则 AN ? x ? 2 米



DN AN

?

DC AM

,∴ AM ?

3? x ? 2? x
2

∴ S AMPN ? AN ? AM ?

3? x ? 2? x

2

3分

由 S AMPN ? 32 得 解得: 0 ? x ?

3? x ? 2? x

? 32 , 又 x ? 0 ,得 3x 2 ? 20 x ? 12 ? 0 ,

2 2 即 DN 长的取值范围是 (0, ) ? (6,+?) ….6 分 或 x?6 3 3 (2)矩形花坛 AMPN 的面积为
2

y?

3? x ? 2? x

?

12 3 x 2 ? 12 x ? 12 12 ? 3 x ? ? 12 ? 2 3 x ? ? 12 ? 24 ..9 分 x x x

12 即x ? 2时, 矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24 . x 故, DN 的长度是 2 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米...12 分
当且仅当 3x ?

?2a1 ? a2 ? 3 ? 19.解:(1)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3

…………3 分

5分

bn ?1 ? 3 ,所以数列 ?bn ? 是一个以 3 为首项,公比为 3 的等比数列. …………8 分 bn
(3)由(2)知 bn ? 3n ,即 an ? 2n ? 3n 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n .
n n

…………10 分

an 4 ?2? ?2? 1 ? 1 ? ? ? ? ,即 ? ? ? ,所以 n ? 4 ,所以 n 的最小正整数为 4. ………12 分 n 3 5 ?3? ?3? 5

8分

13 分 21.解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ' ( x) ? ( 1 ) 当 a ?1 时 ,

1 1? a ?a? 2 x x

…………2 分

f ( x) ? ln x ? x ? 1 , ? f (1) ? ?2, f ' ( x) ?

1 ? 1,? f ' (1) ? 0 x
…………5 分

∴ f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2

的最小值为 f (1) ? ?

2 3

…………9 分

若 对 于 ?x1 ? [1, 2], ?x2 ? [0,1] 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 立 ? g ( x) 在 [0,1] 上 的 最 小 值 不 大 于

f ( x) 在[1,2]上的最小值 ?

2 (*) 3

…………10 分

1 ? b ?1 2

14 分

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