2019高中数学 第三章 导数及其应用阶段复习课学案 新人教A版选修1-1


第三课 导数及其应用

精品试卷

[核心速填]

1.在 x=x0 处的导数

(1)定义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率lim

Δ Δ

y x=lim

Δ x→0

Δ x→0

f

x0+Δ x -f Δx

x0

,称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数.

(2)几何意义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数是函数图象在点(x0,f(x0))处的切线斜率. 2.导函数

当 x 变化时,f′(x)便是 x 的一个函数,称为导函数.f′(x)=y′=lim
Δ x→0

f

x+Δ x -f Δx

x

.

3.基本初等函数的导数公式

(1)c′=0.

(2)(xα )′=α xα -1. (3)(ax)′=axln_a(a>0). (4)(ex)′=ex.

(5)(logax)′=xl1n a(a>0,且 a≠1).

(6)(ln x)′=1x.

(7)(sin x)′=cos_x.

(8)(cos x)′=-sin_x.

4.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).

(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

(3)???gf

x x

???′=f

x g x -f x g [g x 2

x (g(x)≠0).

5.函数的单调性、极值与导数

(1)函数的单调性与导数.

在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函

数 y=f(x)在这个区间内单调递减.

(2)函数的极值与导数.

①极大值:在点 x=a 附近,满足 f(a)>f(x),当 x<a 时,f′(x)>0,当 x>a 时,f′(x)<0,则点 a 叫做函

数的极大值点,f(a)叫做函数的极大值;

②极小值:在点 x=a 附近,满足 f(a)<f(x),当 x<a 时,f′(x)<0,当 x>a 时,f′(x)>0,则点 a 叫做函

1

数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.

精品试卷

6.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值.

(2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个为

最小值.

[体系构建]

[题型探究]
导数的几何意义 已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线 m:y=kx+9,且 f′(-1)=0. (1)求 a 的值; (2)是否存在实数 k,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是 y=g(x)的切线?如果存在,求出 k 的值;如 果不存在,说明理由. [思路探究] (1) 求f x → f - =0 → 求得a
(2) 设直线m与y=g x 相切 → 求出相应切线的 斜率与切线方程 →
检验切线是否与y=f x 相切 → 得结论 [解] (1)因为 f′(x)=3ax2+6x-6a,且 f′(-1)=0, 所以 3a-6-6a=0,得 a=-2. (2)因为直线 m 过定点(0,9),先求过点(0,9),且与曲线 y=g(x)相切的直线方程. 设切点为(x0,3x20+6x0+12), 又因为 g′(x0)=6x0+6. 所以切线方程为 y-(3x20+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0). 将点(0,9)代入, 得 9-3x20-6x0-12=-6x20-6x0,
2

所以 3x20-3=0,得 x0=±1. 当 x0=1 时,g′(1)=12,切点坐标为(1,21), 所以切线方程为 y=12x+9;

精品试卷

当 x0=-1 时,g′(-1)=0,切点坐标为(-1,9), 所以切线方程为 y=9.

下面求曲线 y=f(x)的斜率为 12 和 0 的切线方程: 因为 f(x)=-2x3+3x2+12x-11, 所以 f′(x)=-6x2+6x+12. 由 f′(x)=12,得-6x2+6x+12=12,

解得 x=0 或 x=1.

当 x=0 时,f(0)=-11,此时切线方程为 y=12x-11;

当 x=1 时,f(1)=2,此时切线方程为 y=12x-10.

所以 y=12x+9 不是公切线. 由 f′(x)=0,得-6x2+6x+12=0,

解得 x=-1 或 x=2.

当 x=-1 时,f(-1)=-18,此时切线方程为 y=-18;

当 x=2 时,f(2)=9,此时切线方程为 y=9,

所以 y=9 是公切线.

综上所述,当 k=0 时,y=9 是两曲线的公切线.

[规律方法] 此题直线 m 恒过点(0,9)是解题的突破口,即若 m 是 f(x),g(x)的公切线,则切线必过点(0,

9).一般说来,求过定点的两曲线公切线的一般思路是:先求出过定点的一曲线的切线方程,再令斜率值与另一

曲线的导数相等,求出可能的切点,得出对应切线方程.若两条直线方程相同,则为公切线;若不同,则不存在

公切线.当然,也可能会存在切线斜率不存在的情况.

[跟踪训练] 1.已知函数 f(x)=x3+x-16.

(1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;

(2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标;

(3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-14x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程.

【导学号:97792173】

[解] (1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,

∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13.

∴切线的方程为 y-(-6)=13(x-2),

即 y=13x-32.

3

(2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x20+1, ∴直线 l 的方程为 y=(3x20+1)(x-x0)+x30+x0-16. 又∵直线 l 过点(0,0),

∴0=(3x20+1)(-x0)+x30+x0-16, 整理得,x30=-8, ∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26. k=3×(-2)2+1=13,

∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).

(3)∵切线与直线 y=-x4+3 垂直,

∴切线的斜率 k=4.

设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3x20+1=4, ∴x0=±1,

∴???x0=1, ??y0=-14

或???x0=-1, ??y0=-18.

即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).

切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18.

即 y=4x-18 或 y=4x-14.

利用导数研究函数的单调性 已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=-43处取得极值. (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性.
[思路探究] (1)利用 f′???-43???=0 求解. (2)先求 g(x),再求 g′(x)=0 的根,最后确定 g(x)的单调性. [解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax2+2x. 因为 f(x)在 x=-43处取得极值, 所以 f′???-43???=3a·196+2·???-43???=136a-83=0, 解得 a=12.经检验满足题意.

精品试卷 4

(2)由(1)知 g(x)=???12x3+x2???ex,所以 g′(x) =???32x2+2x???ex+???12x3+x2???ex =???12x3+52x2+2x???ex =12x(x+1)(x+4)ex.

精品试卷

令 g′(x)=0,解得 x=0,x=-1 或 x=-4. 当 x<-4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当-4<x<-1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当-1<x<0 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数. 综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.

[规律方法] 函数的单调性与导数的关注点

(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间.

(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.

(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.

(4)求参数的范围时常用到分离参数法.

[跟踪训练] 2.已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围. [解] (1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, f′(x)=(-x2+2)ex. 当 f′(x)>0 时,(-x2+2)ex>0, 注意到 ex>0,

所以-x2+2>0,解得- 2<x< 2.

所以,函数 f(x)的单调递增区间为(- 2, 2).同理可得,函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,- 2)和

( 2,+∞). (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,所以 f′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立. 又 f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0, 注意到 ex>0, 因此-x2+(a-2)x+a≥0 在(-1,1)上恒成立,

5

也就是 a≥xx2++21x=x+1-x+1 1在(-1,1)上恒成立.

设 y=x+1-x+1 1,

则 y′=1+

1 x+

2>0,

即 y=x+1-x+1 1在(-1,1)上单调递增,

则 y<1+1-1+1 1=32,

故 a≥32.

即 a 的取值范围为???32,+∞???.

精品试卷

导数与函数的极值(最值)及恒成立问题 已知函数 f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3. (1)设 a=1,求函数 f(x)的极值; (2)若 a>13,且当 x∈[1,4a]时,f(x)≥a3-12a 恒成立,试确定 a 的取值范围.
【导学号:97792174】 [思路探究] (1)先求 f′(x)=0 的根,再判断极值点,求极值. (2)先求 f(x)在 x∈[1,4a]时的最小值 f(x)min,再解不等式 f(x)min≥a3-12a 求 a 的范围. [解] (1)当 a=1 时,f(x)=x3-3x2-9x+1 且 f′(x)=3x2-6x-9,由 f′(x)=0 得 x=-1 或 x=3. 当 x<-1 时,f′(x)>0,当-1<x<3 时,f′(x)<0, 因此 x=-1 是函数的极大值点, 极大值为 f(-1)=6; 当-1<x<3 时,f′(x)<0,当 x>3 时,f′(x)>0, 因此 x=3 是函数的极小值点,极小值为 f(3)=-26. (2)∵f′(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a>13, ∴当 1≤x<3a 时,f′(x)<0; 当 3a<x≤4a 时,f′(x)>0. ∴x∈[1,4a]时,f(x)的最小值为 f(3a)=-26a3. 由 f(x)≥a3-12a 在[1,4a]上恒成立得-26a3≥a3-12a, 解得-23≤a≤23.

6

又 a>13,∴13<a≤23.

精品试卷

即 a 的取值范围为???13,23???.

[规律方法] 一般地,已知不等式在某区间上恒成立,求参数的取值范围问题,都可以转化为求函数的最

值问题,而导数是解读函数最值问题的有力工具.

[跟踪训练]

3.设函数 f(x)=x3-92x2+6x-a.

(1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值;

(2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

[解] (1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),

因为 x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m,

即 3x2-9x+(6-m)≥0 恒成立,

所以 Δ =81-12(6-m)≤0,



m≤-34,即

m

3 的最大值为-4.

(2)因为当 x<1 时,f′(x)>0;

当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0;

所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)=52-a;

当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a; 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,

方程 f(x)=0 仅有一个实根,解得 a<2 或 a>52.

导数与不等式问题 已知函数 f(x)=ln exx+k(k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=xf′(x),其中 f′(x)为 f(x)的导函数.证明:对任意 x>0,g(x)<1+e-2. [思路探究] (1)利用 f′(1)=0 求 k. (2)判断 f′(x)的正负. (3)借助(2)的结论,构造函数.

7

1x-ln x-k [解] (1)f′(x)= ex ,

精品试卷

由已知,f′(1)=1-e k=0,∴k=1.

1 x-ln

x-1

(2)由(1)知,f′(x)= ex .

设 k(x)=1x-ln x-1,则 k′(x)=-x12-1x<0,即 k(x)在(0,+∞)上是减函数,

由 k(1)=0 知,当 0<x<1 时,k(x)>0,从而 f′(x)>0,

当 x>1 时,k(x)<0,从而 f′(x)<0.

综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). (3)证明:由(2)可知,当 x≥1 时,g(x)=xf′(x)≤0<1+e-2,故只需证明 g(x)<1+e-2 在 0<x<1 时成

立. 当 0<x<1 时,ex>1,且 g(x)>0,

∴g(x)=1-xlenx x-x<1-xln x-x.

设 F(x)=1-xln x-x,x∈(0,1),

则 F′(x)=-(ln x+2), 当 x∈(0,e-2)时,F′(x)>0, 当 x∈(e-2,1)时,F′(x)<0, 所以当 x=e-2 时,F(x)取得最大值 F(e-2)=1+e-2. 所以 g(x)<F(x)≤1+e-2. 综上,对任意 x>0,g(x)<1+e-2.

[规律方法] 利用导数解决不等式问题(如:证明不等式,比较大小等),其实质就是利用求导数的方法研

究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是构造一个函数,

然后判断这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解.

[跟踪训练]

4.已知函数 f(x)=12x2-aln x(a∈R),

(1)若 f(x)在 x=2 时取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间;

(3)求证:当 x>1 时,12x2+ln x<23x3.

[解] (1)f′(x)=x-ax,因为 x=2 是一个极值点,所以 2-a2=0,则 a=4.此时 f′(x)=x-4x=

8

x+ x- x

精品试卷
,因为 f(x)的定义域是(0,+∞),所以当 x∈(0,2)时,f′(x)<0;当 x∈(2,+∞),f′(x)

>0,所以当 a=4 时,x=2 是一个极小值点,则 a=4. (2)因为 f′(x)=x-ax=x2-x a,所以当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

当 a>0 时,f′(x)=x-ax=x2-x a=

x+ a x- a x

,所以函数 f(x)的单调递增区间为( a,+∞);

递减区间为(0, a). (3)证明:设 g(x)=23x3-12x2-ln x,则 g′(x)=2x2-x-1x,因为当 x>1 时,g′(x)= x-

x2+x+ x

>0,所以 g(x)在 x∈(1,+∞)上为增函数,所以 g(x)>g(1)=16>0,所以当 x>1 时,12x2+ln x<23x3.

导数的实际应用 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 P?A1B1C1D1,下部的形状是正 四棱柱 ABCD?A1B1C1D1(如图 3?1 所示),并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍.

图 3?1 (1)若 AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO1 为多少时,仓库的容积最大? [思路探究] (1)利用锥体和柱体的体积公式求解;(2)利用锥体和柱体的体积公式建立目标函数,结合导 数法求解. [解] (1)由 PO1=2 知 O1O=4PO1=8.因为 A1B1=AB=6, 所以正四棱锥 P?A1B1C1D1 的体积 V 锥=13·A1B21·PO1=13×62×2=24(m3). 正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 的体积 V 柱=AB2·O1O=62×8=288(m3). 所以仓库的容积 V=V 锥+V 柱=24+288=312(m3). (2)设 A1B1=a m,PO1=h m,则 0<h<6,O1O=4h.如图,连接 O1B1.因为在 Rt△PO1B1 中,O1B21+PO21=PB21,所
2
以??? 22a??? +h2=36,即 a2=2(36-h2).
于是仓库的容积
9

V=V 柱+V 锥=a2·4h+13a2·h=133a2h=236(36h-h3),0<h<6,

精品试卷

从而 V′=236(36-3h2)=26(12-h2).

令 V′=0,得 h=2 3或 h=-2 3(舍去).

当 0<h<2 3时,V′>0,V 是单调递增函数;

当 2 3<h<6 时,V′<0,V 是单调递减函数.

故当 h=2 3时,V 取得极大值,也是最大值.

因此,当 PO1=2 3 m 时,仓库的容积最大. [规律方法] 利用导数解答实际问题的一般步骤

1.利用题设中的条件建立目标函数. 2.根据题目中所要求解的问题,利用导数解答,通常是通过判断函数的单调性来求最值.

[跟踪训练] 5.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满 足关系式 y=x-a 3+10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千

克.

(1)求 a 的值;

(2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【导学号:97792175】

[解]

(1)因为

x=5

时,y=11,所以代入函数

y=x-a 3+10(x-6)2

a 得2+10=11,则

a=2.

(2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y=x-2 3+10(x-6)2(3<x<6),

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)=(x-3)???x-2 3+

x- 2???=2+10(x-3)(x-6)2(3<x<6).

则 f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).

所以当 3<x<4 时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当 4<x<6 时,f′(x)<0,f(x)为减函数.

故 x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,

即当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42.

故当销售价格 x 为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

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