山东省山师附中2014届高三第一次模拟考试 数学


山师附中 2011 级高三第一次模拟考试 数学试题
本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题纸指定位置上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内,答在 试题卷上无效。

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A ? {1,3, m} , B ? {1, m} ,若 A ? B ? A ,则 m ? ( A. )

0或 3

B.
2

0或3


C.

1或 3

D.

1或3

2、已知 tan x ? 2 ,则 sin x ? 1 ? ( A. 0 B.

9 5
2

C.

4 3

D.

5 3


3、已知函数 f ( x) ? log 1 x ? 1 ,则下列结论正确的是( A. f ( ? ) ? f (0) ? f (3) C. f (3) ? f ( ? ) ? f (0)

1 2

B. f (0) ? f ( ? ) ? f (3) D. f (3) ? f (0) ? f ( ? )

1 2

1 2

4、设 a, b ? R ,则“ a ? 0, b ? 0 ”是“

a?b ? ab ”的( 2

1 2



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5、若 f ( x) ? A.

ln x , e ? a ? b ,则( ) x
B. f (a) ? f (b)
a

f (a) ? f (b)

C. f (a) ? f (b)
a a a

D. f (a) f (b) ? 1 )

6、等差数列 {an } 中 a5 ? a6 ? 4 ,则 log2 (2 1 ? 2 2 ? 2 3 ?…? 2 10 ) ? ( A. 10 B. 20 C. 40 D. 2+ log 2 5

?x ? y ? 0 ? 7、 在不等式组 ? x ? y ? 0 确定的平面区域中, z ? x ? 2 y 的最大值为 3 , a 的值为 若 则 ( ) ?y ? a ?
A.

1

B.

2

C.

3

D.

4


8、若 ? ? [

? ?

3 7 ,则 sin ? ? ( , ],sin 2? ? 4 2 8
B.

A.

3 5

4 5

C.

7 4

D.

3 4

9、小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a和b(a ? b) ,其全程的平均时速为 v ,则( ) A. a ? v ? ab B. v ? ab C.

ab ? v ?

a?b 2

D. v ?

a?b 2


2 10、已知关于 x 的方程 x ? 6 x ? a ( a ? 0) 的解集为 P ,则 P 中所有元素的和可能是(

A. 3, 6, 9

B. 6,9,12

C. 9,12,15

D. 6,12,15

11、已知点 M 是直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 上的动点,点 N 为圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上的动点, 则 MN 的最小值为( A. )

9 5

B.

1

C.

4 5
2 2

D.

13 5

12、已知定点 F (?2,0), F2 (2,0) , N 是圆 O : x ? y ? 1 上的任意一点,点 F 关于点 N 的 1 1 对称点为 M ,线段 F1M 的中垂线与直线 F2 M 相交于点 P ,则点 P 的轨迹是( A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 )

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
2 13、已知 f ( x) ? x ? px ? q 满足 f (1) ? f (2) ? 0 ,则 f (?1) ?

。 。

14、已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ?
2

15、设 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16 , AB ? AC ? AB ? AC , 则 AM ?

??? 2 ?

??? ???? ?

??? ???? ?

???? ?


2

16、已知 P, Q 为抛物线 x ? 2 y 上的两点,点 P, Q 的横坐标分别为 4, ?2 ,过 P, Q 分别作 抛物线的切线,两切线交于点 A ,则点 A 的纵坐标为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 x ? x ? 17、 (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( ? ) ? cos( ? ) ? sin( x ? ? ) 2 4 2 4
(1) 求 f ( x ) 的最小正周期。 (2) 若将 f ( x ) 的图像向右平移

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图像,求函数 g ( x) 在区间 6

?0, ? ? 上的最大值和最小值。

18、 (本小题 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 4an ? 3(n ? N * ) 。 (1)证明:数列 {an } 为等比数列; (2)若数列 {bn } 满足 bn?1 ? an ? bn (n ? N * ) ,且 b1 ? 2 ,求数列 {bn } 的通项公式。

19、 (本小题 12 分)在 ?ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c 。 已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C. (1) 求证: a, b, c 成等比数列。 (2)

若a ? 1, c ? 2, 求?ABC的面积S .

20、 (本小题 12 分) 已知递增的等比数列 {an } 满足:a2 ? a3 ? a4 ? 28 , a3 ? 2 是 a2 , a4 的 且 等差中项。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an log 2 an , Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn ,求 Sn 。

21、 (本小题 13 分)定义在 R 上的函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? cx ? 2 同时满足以下条件: 3

① f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数; ② f '( x) 是偶函数;③ f ( x ) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 g ( x) ? [ x ? f ( x )] ? e ,求函数 g ( x) 在 [m, m ? 1] 上的最小值。
3 x

1 3

22、 (本 小题 13 分 )已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 2 a b 3

, (2 2 , 0) 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A, B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为

P(?3, 2) 。
(1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ?PAB 的面积。

2011 级高三第一次模拟考试数学参考答案(2013.9)
一、选择题
题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 A 6 B 7 A 8 D 9 A 10 B 11 C 12 B

二、填空题 13、 6 ;14、 2n ? 1 ;15、 2 ;16、 ?4 ; 三、解答题 x ? x ? f ( x) ? 2 3 sin( ? ) ? cos( ? ) ? sin( x ? ? ) 17、解: (1) 2 4 2 4

? 3 cos x ? sin x ……………3 分
? 2sin( x ? ) ………5 分 3 2? ? 2? 。…………………………6 分 于是 T ? 1
(2)由已知得 g ( x) ? f ( x ? ∵x ??0, ? ? ,∴( x ?

?

?

) ? 2sin( x ? ) ……………………8 分 6 6

?

?

? ? 7? ? )?? , ? 6 ?6 6 ?

∴sin( x ?

?

? 1 ? ) ? ? ? ,1? ,…………………………10 分 6 ? 2 ?

∴g ( x) ? 2sin( x ?

?
6

) ? ? ?1, 2? …………………………12 分

故函数 g ( x) 在区间 ? 0, ? ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 。 18、解: (1)由已知 Sn ? 4an ? 3(n ? N * ) 当 n ? 2 时,有 Sn?1 ? 4an?1 ? 3 ……………………2 分 两式相减得 an ? 4an ? 4an?1 整理得 an ?

4 an ?1 …………………………4 分 3

当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 0 ……………………5 分

4 等比数列。…………………………6 分 3 4 n ?1 4 n ?1 (2)由(1)可知 an ? ( ) , S n ? 4 ? ( ) ? 3 ……………………7 分 3 3
故数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 由 bn?1 ? an ? bn (n ? N ) 可得
*

b2 ? a1 ? b1 b3 ? a2 ? b2
……

bn ? an?1 ? bn?1 …………………9 分
累加得 bn ? a1 ? a2 ? …? an?1 ? b1 ? Sn?1 ? b1 ………………10 分 又 b1 ? 2 ,于是 bn ? 4 ? ( )

4 3

n?2

? 1 ……………………12 分

19、解: (1)由 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C. 可得

sin B(

sin A sin C sin A sin C ? )? ? …………………………2 分 cos A cos C cos A cos C

去分母得 sin B(sin A cos C ? sin C cos A) ? sin A sin C ……………………3 分 即 sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C 。…………………………4 分 由 A ? B ? C ? ? 可知 sin( A ? C ) ? sin B 于是 sin B ? sin A sin C …………………………5 分
2

由正弦定理得 b ? ac ,故 a, b, c 成等比数列。………………………………6 分
2

(2)由 a ? 1, c ? 2 可得 b ? 由余弦定理得 cos B ?

2。

a 2 ? c 2 ? b2 12 ? 22 ? 2 3 ? ? ,………………………8 分 2ac 2 ? 1? 2 4

∵0 ? B ? ? ,∴sin B ?

7 …………………………10 分 4

∴S ?

1 1 7 7 ac sin B ? ?1? 2 ? ? 。……………………12 分 2 2 4 4

20、解: (1)设等比数列 {an } 首项为 a1 ,公比为 q 。 由已知得 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ………………1 分 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 可得 a3 ? 8 。……………………3 分 于是 a2 ? a4 ? 20 。

1 ? ? a1q ? a1q 3 ? 20 ?q ? 2 ?q ? ? 故? ,解得 ? 或? 2 。……………………5 分 2 ? a3 ? a1q ? 8 ?a1 ? 2 ?a ? 32 ? ? 1
又数列 {an } 为递增数列,故 ?

?q ? 2 ,∴an ? 2n …………6 分 ?a1 ? 2

(2)∵bn ? an log2 an ? n ? 2n …………………………7 分 ∴Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? …? n ? 2n

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? …? n ? 2n+1 …………………………9 分
两式相减得 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? …? 2n ? n ? 2n?1 …………………………10 分

?

2 ? (1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 1? 2

∴Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ………………………………12 分 21、解: (1) f '( x) ? ax2 ? 2bx ? c ……………………1 分

? f '(1) ? 0 ?a ? 2b ? c ? 0 ? ? 由已知得 ?b ? 0 ,即 ?b ? 0 ,……………………4 分 ? f '(0) ? ?1 ?c ? ?1 ? ? ?a ? 1 ? 解得 ?b ? 0 。……………………5 分 ?c ? ?1 ?
故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ?

1 3 x ? x ? 2 ……………………6 分 3
x

(2)∵g ( x) ? [ x ? f ( x )] ? e ? ( x ? 2) ? e ,……………………7 分
3 x

1 3

∴g '( x) ? ( x ? 2) ? e ? e ? ( x ?1)e ………………………………8 分
x x x

令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 。 x ? 1 时,g '( x) ? 0 , 当 函数 g ( x) 单调递减; x ? 1 时,g '( x) ? 0 , 当 函数 g ( x) 单调递增。……………………9 分 若 m ? 1 ,在 [m, m ? 1] 上函数 g ( x) 单调递增,此时 g ( x)min ? g (m) ? (m ? 2)e ;…10 分
m

若 m ? 1 ? m ? 1 即 0 ? m ? 1 ,函数 g ( x) 在 [ m,1] 上单调递减,在 [1, m ? 1] 上单调递减,此

时 g ( x)min ? g (1) ? ?e ;………………………………11 分 若 m ? 1 ? 1 即 m ? 0 ,在 [m, m ? 1] 上函数 g ( x) 单调递减, 此时 g ( x)min ? g (m ?1) ? (m ?1)em?1 ;……………………12 分 综上可知,函数 g ( x) 在 [m, m ? 1] 上的最小值

g ( x) min

?(m ? 2)e m , m ? 1 ? ? ??e, 0 ? m ? 1 。…………………………13 分 ?(m ? 1)e m ?1 , m ? 0 ?

22、解: (1)由已知得 c ? 2 2,
2 2 2

c 6 ,解得 a ? 2 3 …………1 分 ? a 3

于是 b ? a ? c ? 4 ……………………2 分

∴ 求椭圆 G 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 。………………3 分 12 4

(2)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 E( x0 , y0 ) ……4 分

?y ? x ? m ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,消元整理得 4 x ? 6mx ? 3m ? 12 ? 0 ………………6 分 ?1 ? ? ?12 4
于是 ? ? (6m) ? 4 ? 4 ? (3m ?12) ? 12 ? (16 ? m ) ? 0
2 2 2

可得 m ? 16 ………………………………8 分
2

由 x1 ? x2 ? ? 可得 x0 ? ?

3 3m2 ? 12 m, x1 x2 ? ……………………8 分 2 4

3 1 3 1 m , y0 ? x0 ? m ? m ,即 E ( ? m, m) …………………………9 分 4 4 4 4 ∵ AB 为等腰三角形的底边,∴PE ? AB 1 2? m 4 ? ?1 ,解得 m ? 2 ,符合要求。………………10 分 ∴k PE ? 3 ?3 ? m 4
此时 x1 ? x2 ? ?3, x1 x2 ? 0 所以 AB ?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? 3 2 ………………………………11 分
又点 P(?3, 2) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 故 ?PAB 的面积 S ?

?3 ? 2 ? 2 2

?

3 2 ………………12 分 2

1 9 AB ? d ? ……………………13 分 2 2


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