高二数学北师大版选修2-2第二章 2.1 导数的概念 课件(北师大版选修2-2)_图文


第二章 变化率与导数 2.1 导数的概念 导数的概念 上一节练习题中我们提到了高台跳水这个问题, 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这 段时间里运动状态,需要用瞬时速度描述运 动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度. 又如何求 瞬时速度呢? 如何求(比如, t=2时的)瞬时速度? 通过列表看出平均速度的变化趋势 : 当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势? 瞬时速度? ? 我们用 ?t ? 0 lim h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t 表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值13.1”. ? 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度? ?t ? 0 lim h (t0 ? ?t ) ? h (t0 ) ?t 导数的概念: 设函数 y=f(x) ,当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数 值从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率 为 ?y ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x x1 ? x0 ?x 当x1趋于x0时,如果平均变化率趋于一个固定 的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的 瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在x0点的导数.通常用符号 f / ( x0 ) 表示记作 f ( x1 ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ( x0 ) ? lim ? lim ? lim ?x ?o ?x x ? x0 ?x?o x1 ? x0 ?x / 例1 一条水管中流过的水量y(单位:m3) 是时间x(单位:s)的函数y= f(x)=3x.求函 数y= f(x)在x=2处的导数,并解释它的实际 意义. 解 当x从2变到2+△x时,函数值从3×2变到 3( 2+△x ),函数值y关于x的平均变化率为 f (2 ? ?x) ? f (2) 3(2 ? ?x) ? 3 ? 2 ? ?x ?x 3?x ? ?3 ?x 当x趋于2,即△x趋于0 s时水量的瞬时变化率, 即水流的瞬时速度.也就是如果水管中的水以 x=2 s时的瞬时速度流动的话,每经过1 s,水 管中流过的水量为3 m3 例2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 ? 单位 :0 C ? 为 f ? x ? ? x 2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义. ' 解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ?2? ?y f ?2 ? ?x ? ? f ?2? ? 和 f ?6?. 根据导数的定义 , ?x ?x 2 ?2 ? ?x ? ? 7?2 ? ?x ? ? 15 ? 22 ? 7 ? 2 ? 15 ? ?x ' ? ? 4 ?x ? ?x 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3, ?x ?y 所以, f ?2 ? ? lim ? lim ??x ? 3? ? ?3, ?x ?0 ?x ?x ?0 ' 同理可得 f ' ?6? ? 5. 请同学们自己完成具体 运算过程 . 在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为 ? 3 与5.它说明在第 2h附近, 原油温度大约以 30 C / h的速 率下降 ; 在6h附近, 原油温度大约以 5 C / h的速率上升 . 一般地 , f ' ? x0 ?反映了原油温度在时刻 x 0附近的变化 情况. 0 练习: 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1) =6Δx+(Δx)2 ?f 再求 ? 6 ?? x ?x ?y 再求 lim ?6 ? x ?0 ? x 例 3 如图1.1 ? 4, 它 表示人体血管中药 物浓度 c ? f ? t ? (单 位 : mg / ml ) 随时间 t ? 单位 : min ? 变化的 函数图象.根据图象, 估计 t ? 0.2, 0.4, 0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 ? 精确到0.1? . c?mg/ ml? 1 .1 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 .0 1 .1 t ?m in? 图1.1 ? 4 解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 , 就是 药物浓度 f ?t ?在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示 曲线 f ?t ?在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 ? 4,画出曲线上某点处的切 线, 利用网格 估计这条切线的斜率 , 可以得到此刻药物浓度 瞬 时变化率的近似值 . 作t ? 0.8处的切线 ,它的斜率约为 ? 1.4, 所以 f ?0.8? ? ?1.4. ' 下表给出了药物浓度瞬 时变化率的估计值 , 验证 一下, 这些值是否正确 . 药物浓度的瞬时变化率 f ' ?t ? 0.4 0 ? 0.7 ? 1.4 t 0.2 0.4 0.6 0.8 小结: 由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) ?y (2) 求平均变化率 ?x ?y (3)求极限 f ( x0 ) ? lim ?x ?x ? 0 '

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