2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第3单元第17讲导数在函数中的应用_图文


1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数 研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多 项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充要 条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项 式函数一般不超过三次);会求闭区间上的函数的 最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).

1   .已知函数f ? x ? 在点x0处连续,下列命题中, 正确的是 ? C

?

A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在点x0附近的左侧f ? ? x ? ? 0, 右侧f ? ? x ? ? 0,那么f ? x0 ? 是极小值 C.如果在点x0附近的左侧f ? ? x ? ? 0, 右侧f ? ? x ? ? 0,那么f ? x0 ? 是极大值 D.如果在点x0附近的左侧f ? ? x ? ? 0, 右侧f ? ? x ? ? 0,那么f ? x0 ? 是极大值

易错点: 对极值定义不理解造成错选.

x   2.函数y ? 的单调递增区间为? 2 1+x A. (??,-1) B. (?1,1) C., (1 +?) D. (??, 2)
解析: 因为y? ? 1+x 2 ? 2 x 2 1 ? x2 ? , ?1+x 2 ?2 ?1+x 2 ?2 所以由y? ? 0得1 ? x 2 ? 0,所以x 2 ? 1, 所以-1 ? x ? 1.故选B.

?

3.已知函数f ? x ? ? x3+ax 2+3x ? 9在x ? ?3时 取得极值,则a等于 ? A. 2 B. 3

?
C. 4
2

D. 5

解析: 因为f ? ? x ? ? 3x +2ax+3, 又f ? x ? 在x ? ?3时取得极值, 所以f ?(?3) ? 30 ? 6a ? 0,解得a ? 5.

4.函数f ? x ?=x -3x+1在闭区间- [ 3,0]上的
3
? ? 最大值是
解析: f ? x =3x 2-3=3( x-1)( x+1), 令f ? ? x ?=0,得x= ? 1.

,最小值是

  .

而f (-3)=-17,f (-1)=3,f ? 0 ?= 1, 故f ? x ? 在[-3,0]的最大值是3,最小值是-17.

5.若函数y=x -ax +4在? 0,2 ?内单调递减,
3 2

则实数a的取值范围为 ? ?
递减,所以y?=3x 2-2ax ? 0在 0,2 内恒成立, ? y | =0 ? 0 所以 ? x=0 ,所以a ? 3. ? y |x=2 12-4a ? 0

解析: 因为函数y=x3-ax 2+4在 ? 0,2 ?内单调

  .

1.函数的单调性与其导数的关系

?1? 对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f ? x ?, 由f ? ? x ? ? 0 ? y=f ? x ? 在(a,b)内单调递增 ? f ? ? x ? ? 0 在(a,b)内恒成立,其中(a,b)为f ? x ?的单调递增区间; ? 2 ? 对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f ? x ?, 由f ? ? x ? ? 0 ? ①  ? f ? ? x ? ? 0在(a,b)内 恒成立,其中区间(a,b)为f ? x ?的单调递减区间.

2.函数的极值与其导数的关系

?1? 极值与极值点:设函数f ? x ? 在点x0 及其附近有定义,
如果对x0附近的异于x0的所有点x,都有② _________ , 则称f ? x0 ? 为f ? x ?的极大值,记作y极大值=f ? x0 ?,x0为极 的极小值,记作y极小值=f ? x0 ?,x0为极小值点,极大值 和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极 值点. ? 2 ? 若x0为可导函数f ? x ?的极值点,则有④ _____ ; 反之,不一定成立. 大值点.反之,若③ ____________ ,则称f ? x0 ? 为f ? x ?

3.函数的最值与其导数的关系

?1?函数的最值:如果在函数y=f ? x ?的定义域I内存在 x0,使得对任意的x ? I,都有⑤ ,则称f ? x0 ? 为函数的最大值,记作ymax=f ? x0 ?;反之,若有 ⑥ ___________ ,则称f ? x0 ? 为函数的最小值, 记作ymin=f ? x0 ?.最大值和最小值统称为最值; ? 2 ? 如果函数y=f ? x ? 在闭区间[a,b]上的图象是
⑦ __________ 的曲线,则该函数在闭区间[ a,b] 上一定能够取得最大值与最小值.

4.极值与最值的区别与联系 极值是反映函数的局部性质,最值是反映函数的 整体性质.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大 (小)值也不一定是极大(小)值,极大值不一定比极 小值大.但如果函数的图象是一条不间断的曲线, 在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大(小)值就 是最大(小)值.

【要点指导】 ①y=f ? x ? 在(a,b)内单调递减; ②f ? x ? ? f ? x0 ?;③f ? x ? ? f ? x0 ?; ④f ? ? x0 ?=0;⑤f ? x ? ? f ? x0 ?; ⑥f ? x ? ? f ? x0 ?;⑦一条连续不间断

题型一 函数的单调性与导数

例1.已知函数f ? x ? ? x 3+ax 2+x+1,a ? R.

?1? 讨论函数f ? x ?的单调区间;
2 1 ? 2 ? 若函数f ? x ? 在区间(? , ? )内是减函数, 3 3 求a的取值范围.

解析: ?1? 对f ? x ?=x3+ax 2+x+1求导, 得f ? ? x ?=3x 2+2ax+1, 当? ? 0,即a 2 ? 3时,f ? ? x ? ? 0在R上恒成立, f ? x ? 在R上递增; -a ± a 2-3 当? ? 0,即a ? 3时,由f ? ? x ?=0,得x= , 3
2

-a- a 2-3 即f ? x ? 在(-?, )上递增, 3 -a- a 2-3 -a+ a 2-3 在( , )上递减, 3 3 -a+ a 2-3 在( ,+?)上递增. 3

?-a- a 2-3 2 ?- ? ? 3 3 解析: ? 2 ? 方法1:由题设得 ? , 1 ?-a+ a 2-3 ?- ? 3 3 ? 2 且a ? 3,故a ? 2. 方法2:令g ? x ?=3x 2+2ax+1, 2 1 由题设知g ? x ? 在(- ,- )内恒小于或等于零, 3 3 2 ? ? 4 4a g ?- ? ? 0 ? - +1 ? 0 ? ? ?3 3 3 所以 ? 即? ? g ?- 1 ? ? 0 ? 1 - 2a +1 ? 0 ? ? 3 ? ?3 3 2 又a ? 3,故a ? 2.即a的取值范围是[2,+?).

评析: ?1? f ? ? x ? ? 0(或f ? ? x ? ? 0)仅是f ? x ? 在某个区间上 为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函 数f ? x ? 在(a,b)上递增(或递减)的充要条件是f ? ? x ? ? 0 (或f ? ? x ? ? 0)对x ? (a,b)恒成立,但f ? x ? 不恒为0.

? 2 ?已知函数f ? x ? 是增函数(或减函数),求参数的取值 范围时,应令f ? ? x ? ? 0(或f ? ? x ? ? 0)恒成立,解出参数 的取值范围后检验参数的取值能否使f ? ? x ? 恒等于0.若 恒等于0,则参数的这个值应舍去;若f ? ? x ? 不恒等于 0,则由f ? ? x ? ? 0(或f ? ? x ? ? 0)恒成立解出的参数的取值
范围确定.

素材1:求函数f ? x ?=( x- 1)( x-2)( x-3) 的单调递增区间.
解析: 因为 f ? ? x ?=( x-2)( x-3)+( x-1)( x-3)+( x-1)( x-2) =3x 2-12 x+11. 由f ? ? x ? ? 0,得x ? 2- 3 3 或x ? 2+ . 3 3 故函数f ? x ?的单调递增区间 是(-?, 2- 3 3 ]与[2+ ,+?). 3 3

评析: 本题易错误地作答为递增区间是 3 3 (-?,- 2 ] [2+ ,+?). 3 3 误将正值区间?1,2 ? 或(3,+?)作为增区间.

题型二 函数的极值与导数

例2.已知x=3是函数f ? x ?=a ln(1+x)+x 2-10 x 的一个极值点.

?1? 求a; ? 2 ? 求函数f ? x ?的极大值; ? 3? 若直线y=b与函数y=f ? x ?的图象有3个交点,
求b的取值范围.

a 解析: ?1?因为f ? ? x ? ? +2 x-10, 1+x a 所以f ? ? 3?= +6-10 ? 0,因此a ? 16. 4 16 +2 x-10 ? 2 ?由?1? 知,f ? ? x ? ? 1+x 2? x-1?? x-3? ? ( x ? -1). x+1 此时,f ? ? x ?、f ? x ?随x的变化情况如下表: 由上表知函数f ? x ?的极大值为f ?1? ? 16ln 2-9.

16 解析: ? 2 ?由?1? 知,f ? ? x ? ? +2 x ? 10 1+x 2? x ? 1?? x ? 3? ? ( x ? ?1). x+1 此时,f ? ? x ?、f ? x ?随x的变化情况如下表: .

(-1,1)

1

(1,3)

3



0
极大值



0
极小值

由上表知函数f ? x ?的极大值为f ?1? ? 16ln2 ? 9.

解析: ? 3?由? 2 ? 知,f ? x ? 在(?1,1)内单调递增, 在 ?1,3?内单调递减,在(3,+?)上单调递增, 且当x ? 1或x ? 3时,f ? ? x ? ? 0, 所以f ? x ?的极大值为f ?1? ? 16ln 2 ? 9, 极小值为f ? 3? ? 32ln 2 ? 21. 若直线y ? b与函数y ? f ? x ?的图象有3个交点, 当且仅当f ? 3? ? b ? f ?1?. 因此,b的取值范围为(32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9).

评析: (1)运用导数求可导函数 y= f(x)极值 的步骤: ①先求函数的定义域,再求函数y= f(x)的导 函数f′(x) ; ②求方程f′(x) =0的根; ③ 检查 f′(x) 在方程根的左右的值的符号, 如果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得极 大值.如果左负右正,那么 f(x) 在这个根处 取得极小值.

评析: (2) 根据定义,极值点是区间 [a , b]
内部的点,不会是区间的端点a、b,且极值

必须在区间内的连续点处取得.

评析: (3) 一个函数在其定义域内可以有 许多个极小值和极大值,且极小值与极大 值没有必然的大小关系.如果函数在[a,b] 上有极值的话,它的极值点的分布是有规 律的,相邻两个极大值点之间必有一个极 小值点,同样,相邻两个极小值点之间必 有一个极大值点,极大值点与极小值点是 交替出现的.

评析: ? 4 ? 若函数f ? x ? 在[a,b]内有极值,则f ? x ? 在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间[a,b]上单 调的函数没有极值.注意:可导函数的极值点必 须是导数为0的点,导数为0的点不一定是极值点. 可导函数f ? x ? 在点x0处取得极值的充要条件是 f ? ? x0 ?=0,且在x0的左侧与右侧的f ? ? x ?的符号不同, 不可导的点也可能是极值点.

素材2.若上例2 ? 3? 变为:方程f ? x ?=b有一解、 两个不同解、三个不同解,那么实数b的取 值范围将如何? 解析: 由上表不难解得b ? 32ln 2 ? 21
或b ? 16ln 2 ? 9时有一解, b ? 16ln 2 ? 9或b ? 32ln 2 ? 21时, 有两个不同的实数解; 32ln 2 ? 21 ? b ? 16ln 2 ? 9时, 方程有三个不同的实数解.

题型三

函数的最大值、最小值与导数

例3.已知函数f ? x ?=ln x-(a ? R,a ? 0). 1 ?1? 若a=-1,求f ? x ? 在[ ,e]上的 e 最大值和最小值; 3 ? 2 ? 若f ? x ? 在区间[1,e]上的最小值是 , 2 求实数a的值.

1 解析: ?1?当a=-1时,f ? x ?=ln x+ , x 定义域为(0,+?). 1 1 x-1 由f ? ? x ?= - 2 = 2 =0,得x=1. x x x x ? ? 0,1?时,f ? ? x ? ? 0,f ? x ? 递减; x ? (1,+?),f ? ? x ? ? 0,f ? x ? 递增. 1 又f ?1?=1,f ()=-1+e,f ? e ?=1+ , e 1 易知f ( ) ? f ? e ? ? f ?1?, e 1 f ( x) max =f ( )=e-1, f ( x) min =f (1)=1. e

x+a 解析: ? 2 ?由f ? ? x ?= 2 ,x ? [1,e]. x ①当a ? -1时,因为x ? 1,所以x+a ? 1+a ? 0, 所以f ? x ? 在[1,e]上递增. 3 3 于是f ? x ?min =f ?1?=-a= ,a=- ,不成立. 2 2 ②当a ? -e时,而x ? e,x+a ? e+a ? 0, 所以f ? x ? 在[1,e]上递减, a 3 e 于是f ? x ?min =f ? e ?=1- = ,所以a=- ,不成立. e 2 2

解析: ③当-e ? a ? ?1时, 在区间[1,-a]上,f ? ? x ? ? 0,f ? x ? 递减, 在区间[?a,e]上,f ? ? x ? ? 0,f ? x ? 递增, 3 所以f ? x ?min ? f (?a )=ln(?a)+1 ? , 2 所以a ? ? e . 综上得,实数a ? ? e .

评析: (1) 函数的最大值和最小值是一个整体

性概念,最大值必须是整个区间上所有函数值
中的最大值,最小值必须是整个区间上所有函

数值中的最小值.
(2)函数的极值可以有多个,但最大值(最小值) 只能有一个.

(3)极值只能在区间内取得,最值却可以在端点
处取得.

评析: ? 4 ? 一般的,在闭区间[a,b]上的连续函数 f ? x ? 必有最大值与最小值,在区间(a,b)内的连续 函数不一定有最大值与最小值.若函数y=f ? x ? 在 闭区间[a,b]上单调递增,则f ? a ? 是最小值,f ? b ? 是 最大值;若函数y=f ? x ? 在闭区间[a,b]上单调递减, 则f ? a ? 是最大值,f ? b ? 是最小值.

素材3.已知a是实数,函数f ? x ? ? ( x ? a).

?1? 求函数f ? x ?的单调区间; ? 2 ? 设g ? a ?为f ? x ? 在区间?0, 2?上的最小值, 写出g ? a ?的表达式.

解析: ?1?函数的定义域为[0,+?), x ? a 3x ? a ? ? x ? 0 ?. 2 x 2 x 若a ? 0,则f ? ? x ? ? 0,f ? x ? 有单调递增区间[0,+?); f ? ? x ? ? x+ a 若a ? 0,令f ? ? x ? ? 0,得x ? , 3 当0 ? x ? 时,f ? ? x ? ? 0,当x ? 时,f ? ? x ? ? 0, a 故f ? x ?的单调递减区间为[0, ], 3 a 单调递增区间为[ ,+?). 3

? 2 ? 若a ? 0,f ? x ? 在? 0, 2? 上单调递增, 所以g ? a ? ? f ? 0 ? ? 0,若0 ? a ? 6,
解析: a a f ? x ? 在[0, ]上单调递减,在[ , 2]上单调递增, 3 3 a 2a a 2 3 2 所以g ? a ? ? f ( ) ? ? =a . 3 3 3 9 若a ? 6,f ? x ? 在? 0, 2? 上单调递减, 所以g ? a ? ? f ? 2 ? ? 2 (2 ? a ). ?0 ? 3 ?2 3 2 综上所述,g ? a ? ? ? a ? 9 ? 2?2 ? a? ? ? a ? 0? ? 0 ? a ? 6?. ? a ? 6?
3

备选例题 对任意的正整数n, 1 1 1 求证: ln( +1)> 2 ? 3 . n n n

证明: 令函数f ? x ? ? x 3 ? x 2+ln( x+1),
3 2 1 3 x + ? x ? 1 ? 则f ? ? x ? ? 3 x 2 ? 2 x+ ? . x+1 x+1 所以当x ? [0,+?)时,f ? ? x ?>0,

所以函数f ? x ? 在[0,+?)上单调递增,又f ? 0 ? ? 0, 所以x ? (0,+?)时,恒有f ? x ?>f ? 0 ? ? 0, 即x 3>x 2 ? ln( x+1)恒成立, 故当x ? (0,+?)时,有 ln( x+1)>x 2 ? x 3 . 1 对任意正整数n,取x ? ? (0,+?), n 1 1 1 则有 ln( +1)> 2 ? 3 ,所以结论成立. n n n

评析: 利用导数证明不等式,就是把不等式恒
成立的问题通过构造函数,转化为利用导数求

函数最值的问题.

1.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法:

?1? 确定函数f ? x ?的定义域; ? 2 ? 令f ? ? x ?=0,求出 此方程在f ? x ?的定义域内的一切实根; ? 3? 把函数f ? x ? 无定义的点的横坐标和上面的各
实根按由小到大的顺序排列起来,这些点把定 义域分成若干个小区间;

? 4 ? 确定f ? ? x ? 在各小开区间内的符号,根据f ? ? x ?的 符号判断函数f ? x ? 在每个相应的小开区间的增减性.

2.求可导函数y=f ? x ?的极值的方法:

?1? 求导数f ? ? x ?; ? 2 ? 求方程f ? ? x ?=0的根; ? 3? 检验f ? ? x ? 在每个根左、右的符号,
如果根的左侧附近为正,右侧附近为负, 则f ? x ? 在这个根处取得极大值; 如果根的左侧附近为负,右侧附近为正, 则f ? x ? 在这根处取得极小值.

3.求可导函数f ? x ? 在闭区间[a,b]上的最值的方法:

?1? 求f ? x ? 在(a,b)内的极值; ? 2 ? 将求得的极值与f ? a ?,f ? b ?比较,其中最大的一个
为最大值,最小的一个为最小值. 4.注意:

?1? 利用导数求单调区间时,必须先求定义域; ? 2 ? 使导函数f ? ? x ?=0的点称为函数的驻点,则可导函
数的极值点必是驻点,但驻点不一定是极值点.求一 个可导函数的极值时,常常把驻点附近的函数值的讨 论情况列成表格,注意这里的“可导”两字必不可少.

1 已知函数f ? x ? ? 2 x+ ? ln x+3,求f ? x ?的单调区间. x
1 错解: 因为f ? x ?=2 x+ -ln x+3, x 1 1 2 x 2-x-1 ? 2 x+1?? x-1? 所以f ? ? x ?=2- 2 - = = . 2 2 x x x x 1 令f ? ? x ? ? 0,得x ? - 或x ? 1. 2 1 令f ? ? x ? ? 0得- ? x ? 1, 2 1 所以f ? x ?的增区间为(-?,- ) (1,+?), 2 1 减区间为(- , 1). 2

错解分析: 上述错解中忽视了函数的单调区间是 定义域的子集的条件,任何性质的讨论都必须在 定义域内进行,其次,如果一个函数单调性相同 的区间不止一个,这些区间之间不能用“ ”连接, 而应用“逗号”或“和”字隔开.

1 正解: 因为f ? x ?=2 x+ -ln x+3 x 的定义域为(0,+?), 1 1 2 x 2-x-1 ? 2 x+1?? x-1? f ? ? x ?=2- 2 - = = . 2 2 x x x x x ? (0,+?). 令f ? ? x ? ? 0,得x ? 1.令f ? ? x ? ? 0得0 ? x ? 1, 所以f ? x ?的增区间为(1,+?), 减区间为(0, 1).


相关文档

2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第3单元第18讲导数的综合应用
2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第4单元第21讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第4单元第20讲任意角的三角函数
2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第4单元第24讲三角函数的图象
2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第4单元第22讲两角和与差及二倍角的三角函数
2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第3单元第19讲定积分及简单应用
2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第5单元第30讲平面向量的应用
2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第4单元第23讲简单的三角恒等变换
【苏教版】2012高考语文《新课标同步导学》一轮复习课件必修5第17课论厄运
2012年高考一轮复习新课标语文山东专用 第3编专题17 散文 第2节 调研探究
电脑版