3.2.1 古典概型(公开课)_图文


考察两个试验:

(1)抛掷一枚质地均匀的硬币的试验; (2)掷一颗质地均匀的骰子的试验.
在这两个试验中,可能的结果分别有哪些?

基本事件
基本事件:在一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件。 基本事件的特点:

(1)任何两个基本事件是互斥
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示

成基本事件的和。

例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不 同字母的试验中,有哪些基本事件?
分析:为了解基本事件,我们可以按照字典排序的顺序,
把所有可能的结果都列出来。
b a c d b d c c d

解:所求的基本事件共有6个:

树 状 图

A ? {a, b} B ? {a, c} C ? {a, d} D ? {b, c} E ? {b, d} F ? {c, d}

观察对比

上述试验和例1的共同特点:

1、有限性:
试验中所有可能出现的基本事件只有有限个

2、等可能性:
每个基本事件出现的可能性相等
我们将具有这两个特点的概率模型 称为古典概率模型,简称古典概型.

试一试
(1)向一个圆面内随机地投射一个点, 如果该点落在圆内任意一点都是等可能的, 你认为这是古典概型吗? 为什么?

有限性

等可能性

(2)如图,某同学随机地向一 靶心进行射击,这一试验的结果只 有有限个:命中10环、命中9 环……命中5环和不中环。你认为 这是古典概型吗?为什么?

有限性

等可能性

小结

判断一个试验是否为古典概型, 在于检验这个试验是否同时具有 有限性和等可能性,缺一不可.

例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不
同字母的试验中, (2)出现字母“d”的概率是多少?
把所有可能的结果都列出来。
b a c d b d c c d

分析:为了解基本事件,我们可以按照字典排序的顺序,

解:出现字母“d”的概率为
“出现字母d”所包含的基本事件的个数 3 1 P(“出现字母d”)= = = 基本事件的总数 6 2

古典概型的概率公式

A包含的基本事件的个 数m P?A ? ? 基本事件的总数 n
求古典概型概率的步骤:

(1)先判断试验是否为古典概型;

(2)写出基本事件空间Ω,求n
(3)写出事件A ,求m

m (4)代入公式 P?A ? ? ,求概率 n

例2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般
是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答 案。如果考生掌握了考察的内容,它可以选择 唯一正确的答案。假设考生不会做,他随机的 选择一个答案,问他答对的概率是多少?
解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有4个:选择 A、选择B、选择C、选择D,即基本事件只有4个,考生随机 的选择一个答案是选择A、B、C、D的可能性是相等的,由 古典概型的概率计算公式得: P ( “答对” )= “答对”所包含的基本事件的个数
4 =1/4=0.25

若是多选题的话,则随机地选择一个答案, 答对的概率是多少?
解:①若只有一个选项是正确的,则有4种 ②若有两个选项是正确的,则正确答案可以是(A、B)(A、 C)(A、D)(B、C) (B、D) (C、D)共 6种 ③若有三个选项是正确的,则正确答案可以是(A、B、C) (A、B、D)(A、C、D)(B、C、D)共4种

④若四个选项都正确,则正确答案只有1种。
∴正确答案的所有可能结果有4+6+4+1=15种,从这15种 答案中任选一种的可能性只有1/15

例3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?
解:(1)掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子 标上记号1,2以便区分,由于1号骰子的结果都可以 与2号骰子的任意一个结果配对,我们用一个“有序 实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如 表),其中第一个数表示1号骰子的结果,第二个数 表示2号骰子的结果。

1号骰子

2号骰子

1

2

3

4

5

6

1
2

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,4)
(2,3) (2,1) (2,2)(2,3) (2,4)(2,5) (2,6) (3,2) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)(4,5) (4,6)

3
4 5 6

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
(2)在上面的结果中,向上的点数之和为5的结果有4种,分 别为:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)。 (3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和 为5的结果(记为事件A)有4种,则
A所包含的基本事件的个数 4 1 P A)= ( = = 基本事件的总数 36 9

列 表 法

为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号 思考与探究会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?

如果不标上记号,类似于(3,6)和(6,3)的结果 将没有区别。

为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号 思考与探究会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?
如果不标上记号,类似于(3,6)和(6,3)的结果 将没有区别。
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,2) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,1) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P A)= (

A所包含的基本事件的个数 2 = 基本事件的总数 21

例4、假设储蓄卡的密码由4个数字组合, 每个数字可以是0,1,2,……,9十个 数字中的任意一个。假设一个人完全忘 记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取 款机上随机试一次密码就能取到钱的概 率是多少?
分析:一个密码相当于一个基本事件,总共有10000个基本事
件,它们分别是0000,0001,0002,……,9998,9999. 随机的试密码,相当于试到任何一个密码的可能性都是相等 的,所以这是一个古典概率。事件“试一次密码就能取到钱” 由1个基本事件构成,即由正确的密码构成。

1 解: P(“试一次密码就能取到钱”)= 10000

感受高考
(2009天津卷文)为了了解某工厂开展群众体育活动 的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B, C三个区中 抽取7个工厂进行调查,已知A, B,C区中分别有18, 27,18个工厂 (1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数 (2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查 结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个 来自A区的概率
(1)解: ∵18:27:18=2:3:2 共抽取7人
∴从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.

(Ⅱ)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比, 用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。 解:设在A区中抽得的2个工厂为 A 1,A 2 ,在B区中抽得的3个 工厂为 B 1,B 2 ,B 3 ,在C区中抽得的2个工厂为 C 1,C 2 ,在这7个 工厂中随机抽取2个,全部的可能结果有:
(A 1,A 2 ), 1,B 1 ), 1,B 2 ), 1,B 3 ), 1,C 1 ), 1,C 2 ) (A (A (A (A (A (A 2 ,B 1 ), 2 ,B 2 ), 2 ,B 3 ), 2 ,C 1 ), 2 ,C 2 ) (A (A (A (A (B1,B 2 ), 1,B 3 ), 1,C 1 ), 1,C 2 ) (B (B (B (B 2 ,B 3 ), 2 ,C 1 ), 2 ,C 2 ) (B (B (B 3 ,C 1 ), 3 ,C 2 ) (B (C1,C 2 )共21种

随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有
( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A1 , C1 ), ( A1 , C2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , C1 ), ( A2 , C2 )共11种

11 所以所求概率为 21

自我评价练习
1 1、从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为 5 ,已知袋中红 球有3个,则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为( D ) A. 5 B. 8 C. 10 D.15

2、先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为(
A.

1 8

B.

1 3

7 C. 8

D.

2 3

c)

3、一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外 完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率 是(A )
2 A. 3
B.

1 4

C.

3 4

D.

1 16

小 结与思考
1、古典概型的两个基本特征是什么?
试验结果具有有限性和等可能性

2、古典概型下的概率如何计算?
任何事件的概率为: P(A)= A包含的基本事件的个数 基本事件的总数

作用布置
1、必做:活页P36  1-9
2、选作:(思考题)
从含有两件正品A,B 和一件次品 C 的3件产品中 (1)任取两件; (2)每次取1件,取后不放回,连续取两次; (3)每次取1件,取后放回,连续取两次, 分别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。


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