【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数 1-1-1任意角课件 新人教A版必修4_图文


第一章

三角函数

§1.1

任意角和弧度制

1.1.1

任意角

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学习目标 1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角. 2.理解并掌握终边相同的角的概念,会表示终边相同的 角所组成的集合. 3.理解并掌握象限角、轴线角的概念.

课前热身 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形.我们规定:按逆时针方向旋转形成的角 叫做________;按顺时针方向旋转形成的角叫做________;不 作任何旋转形成的角叫做________.

2.象限角 为了讨论问题的方便,我们在直角坐标系内使角的顶点与 原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边 在________,我们就说这个角是第几象限角.如果角的终边在 坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称它为轴线角 (或称为象限界角).

3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 S={β|β=________},即任一与角α终边相同的角,都可以表 示成角α与________的和.

自 1.正角

负角

零角

我 2.第几象限 校 对 3.α+k· 360° ,k∈Z 整数个周角

思考探究1

根据角的新定义,角的范围有什么变化?

提示 角的概念推广后,角的范围不再限于0° ~360° ,它 应包括任意大小的正角、负角和零角. 思考探究2 吗? 提示 终边相同的角不一定相等,它们相差360° 的整数 倍;相等的角,终边相同. 终边相同的角相等吗?相等的角终边相同

名师点拨 1.角的概念与分类 角的概念是通过角的终边的旋转来推广的.根据角的终边 的旋转“方向”,得到正角、负角和零角. (1)

(2)

(3)射线没有作任何旋转,终边位置与始边位置重合,称 这样的角为零角.

2.终边相同的角 对终边相同的角的概念的理解 (1)角α为任意角; (2)k· 360° 与α之间用“+”号,k· 360° -α可理解为k· 360° + (-α); (3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相 同; (4)k∈Z,即k为整数这个条件不可少; (5)终边相同的角表示不唯一.

3.象限角与坐标轴上的角 (1)象限角的集合

象限角

集合表示

第一象限的角 {α|k· 360° <α<k· 360+90° ,k∈Z} 第二象限的角 {α|k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k ∈Z} {α|k· 360° +180° <α<k· 360° +270° , k∈Z} {α|k· 360° +270° <α<k· 360° +360° , k∈Z}

第三象限的角

第四象限的角

(2)终边在坐标轴上的角的集合 角的终边的位置 集合表示

终边落在 x 轴的非负半轴上 {α|α=k· 360° ,k∈Z} 终边落在 x 轴的非正半轴上 {α|α=k· 360° +180° , k∈Z} 终边落在 y 轴的非负半轴上 {α|α=k· 360° +90° ,k∈Z} 终边落在 y 轴的非正半轴上 {α|α=k· 360° +270° , k∈Z} 终边落在 y 轴上 终边落在 x 轴上 终边落在坐标轴上 {α|α=k· 180° +90° ,k∈Z} {α|α=k· 180° ,k∈Z} {α|α=k· 90° ,k∈Z}

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



基本概念
)

【例1】 下列各命题正确的是( A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角 C.锐角都是第一象限角 D.小于90° 的角都是锐角

【分析】 本题可用排除法予以解答,也可利用角的定义 直接判断.

【解析】

解法1:对于A,-60° 和300° 是终边相同的

角,它们并不相等,则排除A;对于B,390° 是第一象限的角, 但它不是锐角,则排除B;对于D,-60° 是小于90° 的角,但 它不是锐角,则排除D.综上知,应选C. 解法2:因为锐角的集合是{α|0° <α<90° },第一象限的角的 集合是{α|k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈Z},当k=0时,两集合相 等,所以锐角是第一象限的角.
【答案】 C

规律技巧

要想否定一个命题,只需举出一个反例即可,

解法1就是恰当地举出一个反例,将A、B、D三个选项予以排 除,从而确定选项C;要想肯定一个命题,则需严格推证.

变式训练 1

已知集合 A={α|α 小于 90° },B={α|α 为第一 ) B.{α|α 小于 90° }

象限的角},则 A∩B=( A.{α|α 为锐角}

C.{α|α 是第一象限的角} D.以上都不对

解析 ∵-330° ∈A∩B, 但-330° 不是锐角, ∴A 错误. ∵ -90° ?A∩B,∴B 错误.∵390° ?A∩B,∴C 错误.

答案 D



终边相同的角

【例 2】

(1)如图所示,如按逆时针旋转,终边落在 OA

位置时的角的集合是________;终边落在 OB 位置时角的集合 是________.

(2)写出在-720° ~720° 范围内与-1020° 终边相同的角. 【分析】 (2)先写出与-1020° 终边相同的所有角, 然后取 k 值求满足条件的角.

【解析】

(1)根据终边相同的角的表示,故终边落在 OA

位置时的角的集合是{α|α=60° +k· 360° ,k∈Z};终边落在 OB 位置时的角的集合是{β|β=225° +k· 360° ,k∈Z}.

(2)∵-1020° =-360° ×3+60° ,∴和-1020° 终边相同的 所有角为 k· 360° +60° ,k∈Z. 根据题意有:-720° ≤k· 360° +60° <720° , 13 11 解之得- 6 ≤k< 6 ,∴k=-2,-1,0,1. 从而所求的角为: - 2×360° + 60° = - 660° , - 1×360° + 60° = - 300° , 0×360° +60° =60° ,1×360° +60° =420° .

【答案】

(1){α|α=60° +k· 360° ,k∈Z}

{β|β=225° +k· 360° ,k∈Z} (2)-660° ,-300° ,60° ,420°

规律技巧

(1)写出与-1020° 终边相同的角的集合时, 尽可

能地用一个简单的角,即先把任意角化为 α+k· 360° (k∈Z,且 0° ≤α<360° )的形式,关键是确定 k,用观察法或用除法; (2)求适合某种范围内的角的方法是通过解不等式求出 k 的 范围,取范围中的整数 k,即可求出相应范围内的角.

变式训练 2

(1) 与 - 490°终 边 相 同 的 角 的 集 合 是

________, 它们是第________象限角, 其中最小正角是_______, 最大负角是________. (2)写出终边在下图所示直线上的角的集合.

(1)解析 ∵-490° =-2· 360° +230° , ∴与-490° 终边相同的角为{α|α=k· 360° +230° ,k∈Z}. ∵230° 角的终边在第三象限, ∴它们是第三象限的角. 令 k=0,得最小正角为 230° . 令 k=-1,得最大负角为-130° .

答案 (1){α|α=k· 360° +230° ,k∈Z} 三 230° -130° (2)解 ①在 0° ~360° 范围内,终边在 x 轴上的角有两个, 即 0° 和 180° , 因此, 所有与 0° 角终边相同的角构成集合 S1={β|β =0° +k· 360° ,k∈Z},而所有与 180° 角终边相同的角构成集合 S2={β|β=180° +k· 360° ,k∈Z},于是,终边落在 x 轴上的角的 集合为 S=S1∪S2={β|β=k· 180° ,k∈Z}.

②由图易知,在 0° ~360° 范围内,终边在直线 y=-x 上的 角有两个,即 135° 和 315° ,因此,终边在直线 y=-x 上的角 的集合 S={β|β=135° +k· 360° ,k∈Z}∪{β|β=315° +k· 360° ,k ∈Z}={β|β=135° +k· 180° ,k∈Z}.

③由教材例 3 可知终边在直线 y=x 上的角的集合为{β|β= 45° +k· 180° ,k∈Z},于是所求角的集合 S={β|β=45° +k· 180° , k∈Z}∪{β|β=135° +k· 180° , k∈Z}={β|β=45° +2k· 90° , k∈Z} ∪{β|β=45° +(2k+1)· 90° ,k∈Z}={β|β=45° +n· 90° ,n∈Z}.



象限角的确定
α 若 α 是第一象限角,则 2α, 分别是第几象限 2

【例 3】 角?

【分析】 由 α 是第一象限角可知 k· 360° <α<k· 360° +90° (k α ∈Z), 则 2α, 的范围分别为 2k· 360° <2α<2k· 360° +180° (k∈Z), 2 α k· 180° < <k· 180° +45° (k∈Z).通过对整数 k 分类讨论可知:2α 2 α 是第一、二象限角或终边落在 y 轴正半轴上的角,2是第一、三 象限角.

【解】

∵k· 360° <α<k· 360° +90° (k∈Z),

∴2k· 360° <2α<2k· 360° +180° (k∈Z). ∴2α是第一、二象限角或终边落在y轴正半轴上的角. α 又k· 180° <2<k· 180° +45° (k∈Z), ∴当k=2n(n∈Z)时, α n· 360° <2<n· 360° +45° .

α ∴2是第一象限角. 当 k=2n+1(n∈Z)时, α n· 360° +180° < <n· 360° +225° , 2 α ∴2是第三象限角. α 故2是第一、三象限角.

α α 规律技巧 若已知角 α 是第几象限角,判断2,3等是第几 象限角,主要方法是解不等式并对整数 k 进行分类讨论. ?1?求解题的思维模式应是: 由欲求想需求, 由已知想可知, 抓住内在联系,确定解题方略. ?2?由 α 的象限确定 2α 的象限时,应注意 2α 可能不再是象 限角,对此特殊情况应特别指出.如 α=135° 而 2α=270° 就不再 是象限角.

变式训练 3

α 设 α 是第二象限角, 则3的终边不可能在( B.第二象限 D.第四象限

)

A.第一象限 C.第三象限

解析

∵α 是第二象限角,

∴k· 360° +90° <α<k· 360° +180° . α ∴k· 120° +30° <3<k· 120° +60° . α 这里 k∈Z,令 k=0,得 30° < <60° ,在第一象限; 3 α 令 k=1,得 150° < <180° ,在第二象限; 3

α 令 k=2,得 270° <3<300° ,在第四象限. α 因此,3的终边不可能在第三象限.

答案 C

易错探究 【例4】 从0时整到1时15分,钟表面上的时针和分针各 转过的度数为多少?

【错解】

5 ∵1小时15分=4小时=75分钟,

360° ∴从0时整到1时15分,钟表面上的时针转过的度数为 12 5 ×4=37.5° . 360° 从0时整到1时15分,钟面上的分针转过的角度为 60 ×75 =450° .

【错因分析】

时钟的时针、分针、秒针都是按顺时针旋

转的,因此它们所转过的角应为负角,不能错写成正角.

【正解】

5 ∵1小时15分=4小时=75分钟,

∴从0时整到1时15分,钟面上的时针转过的度数为 360° 5 - × =-37.5° . 12 4 从0时整到1时15分,钟面上的分针转过的角度为 360° - ×75=-450° . 60

达 标 测 试 1.610° 是( ) B.第二象限角 D.第四象限角

A.第一象限角 C.第三象限角

解析

610° =360° +250° ,因为 250° 是第三象限角,所以

610° 是第三象限角.
答案 C

2.若角 α,β 的终边相同,则 α-β 的终边在( A.x 轴的正半轴 C.x 轴的负半轴 B.y 轴的正半轴 D.y 轴的负半轴

)

解析

∵角 α,β 终边相同,∴α=k· 360° +β(k∈Z),

∴α-β=k· 360° (k∈Z), 故 α-β 的终边在 x 轴的正半轴上.

答案

A

3.将表的分针拨快 10 分钟,则分针转过的角的度数是 ( ) A.60° C.-60° B.30° D.-30°

解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,应为负角, 所以A、B不正确.又拨快10分钟,故转过的角度应为周角的 1 1 ×6=-60° . 6,即-360°

答案

C

α 4.已知α为第三象限的角,则2所在的象限是( A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

)

解析 ∵α为第三象限的角, ∴k· 360° +180° <α<k· 360° +270° (k∈Z). α ∴k· 180° +90° <2<k· 180° +135° (k∈Z). α 当k=0知, 在第二象限; 2 α 当k=1知, 在第四象限. 2

答案

D

5.已知-990° <α<-630° ,且α与120° 角的终边相同,则α =________.

解析

α与120° 角的终边相同,则α可以表示为α=k· 360°

+120° ,k∈Z,要使-990° <α<-630° ,则取k=-3,此时α= -960° .
答案 -960°


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