福建省南安一中10-11学年高二数学下学期期末试题 文


南安一中高二年期末考数学试卷(文科) 南安一中高二年期末考数学试卷(文科)
一.选择题:每小题5分,共 60 分 1.已知全集 U={0,2,4,6,8,10},集合 A={2,4,6}, B={1},则( A.{0,1,8,10} B.{1,2,4,6} C.{0,8,10}
U

A)∪B 为( A )
D.Φ

2.若函数 y= f (x ) 是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f ( 2) = 0 , 则使 f (x ) <0 的 x 的取值范围是( D ) A. (-∞,-2) B. (2,+∞) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-2,2)

3.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是 边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那 么这个几何体的全面积为 A. ( A D. 4π ) 正视图 侧视图

3 π 2

B. 2π

C. 3π

【解析】由三视图知空间几何体为圆柱, ∴全面积为 π × ( ) × 2 + 2π ×
2

1 2

1 3 × 1 = π ,∴选 A. 2 2
俯视图

4.设数列 {a n } 的前 n 项和为 s n ,且 a1 = 1 , S n +1 = 4 S n (n∈ N + ) ,则 log A.1 解:∵ S n +1 = 4 S n
3

S10 4

的值是( C



B.3 ∴ S n +1 = 4
2

C.9
n ?1

D.4

5.设函数 f (x ) = x ? 3ax + 3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11) ,则 a+b 的值为( B ) A.-1
2

B.-2

C.-3

D.-11

解: f ' ( x ) = 3 x ? 6ax + 3b 由 f (1) = ?11 6.下列有关命题的说法正确的是( D )

f ' (1) = ?12 得 a=1,b=-3

A.命题“若 x 2 = 1, 则x = 1 ”的否命题为: “若 x 2 = 1, 则x ≠ 1 ” B. “x=-1”是“ x ? 5 x ? 6 = 0 ”的必要不充分条件
2

“ C.命题“ ?x ∈ R, 使得x 2 + x + 1 < 0 ”的否定是: ?x ∈ R, 均有x 2 + x + 1 < 0 ” D.命题“若 x = y, 则 sin x = sin y ”的逆否命题为真命题 7.设正项等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 = 3 , S 3 = 21 ,则 a 3 + a 4 + a 5 的值是( C ) A.33 B.63 解:公比为 2, 12+24+48=84 C.84 D.21

8.设等差数列的前 n 项和为 S n ,已知前 6 项和为 36, S n =324,最后 6 项和为 180, (n>6) , 则该数列的项数 n 的值是( A ) A.18 B.20 C.36 D.180
1

9.如图:已知△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°M 为 AB 的中点, PM⊥△ABC 所在的平面,那么 PA、PB、PC 的大小关系是( ) A.PA>PB>PC B.PB>PA>PC C.PC>PA>PB D.PA=PB=PC 10.方程 2 ? x + x =3 的实数解的个数为( A )
2

P

A.2

B.3
2

C.1

D.4

A

M C P

B

解:构造函数 y= 2 ? x 与 y=3- x ,由图象可知它们有二个交点 11.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点, 下面四个结论中不正确 不正确的是( C ) 不正确 A. BC//平面 PDF B. DF⊥平面 PAE C. 平面 PDF⊥平面 ABC D. 平面 PAE⊥平面 ABC 12.已知直线 x=2 及 x=4 与函数 y = log
x x 3 的图象的交点分别是

F A A、B, D B E C

与函数 y = log 7 的图象的交点分别是 C、D,,则直线 AB 与 CD( D ) A. 相交,且交点在第二象限 C. 相交,且交点在第四象限 解:A(2, log 3 )
2 4

B. 相交,且交点在第三象限 D. 相交,且交点在原点 C(2, log 7 )
2

B(4, log 3 )

B(4, log 7 )

4

K AB =

4 2 2 log 3 ? log 3 log 3 ? 0 = = K OA 即 O、A、B 三点共线 4?2 2?0

同理 O、C、D 三点共线 二.填空题:每小题 4 分,共 16 分 13.若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 的长分别是 8、12,过 AB 的中点 E 且平行于 BD、AC 的截面四边形 20 的周长是 14. Sn 是公差不等于 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S5 = 40, 且 a1 , a3 , a7 成等比数列,则 an = ___。

a n = 2n + 2
15. 将进货价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖 400 个,已知该商品每个涨价一元时,其销售就减少 20 个,为了取得最大利润,售价应定为 95 2 y=(90+a-80)(400-20a)=-20(a-5) +4500 则 a=5 16.五位同学围成一圈依次循环报数,规定:第一位同学首次报出的数为 1,第二位同学首次报出的数为-2, 第三位同学所报出的数是前第二位同学所报出数与第一位同学所报出数的差, 第四位同学所报出的数是前第三位 同学所报出数与第二位同学所报出数的差,以此类推,则前 100 个被报出的数之和为 .-5 解:该数列是 1,-2,―3,―1,2,3, 1,-2,―3,―1,2,3, 100=6×16+4

S100 =16×0+1-2-3-1=-5
三:解答题:共 74 分 17. 12 分) 已知三次函数 f ( x) = x + ax ? 6 x + b ,a 、b 为实数, f (0) =1,曲线 y= f ( x ) 在点(1, f (1) ) (
3 2

处切线的斜率为-6。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式;
2

(2)求函数 f (x ) 在(-2,2)上的最大值 解: (1) f ' ( x) = 3 x + 2ax ? 6
2 ' 由导数的几何意义, f (1) =-6 ∴ a = ?

3 2

∵ f (0) =1 ∴ b = 1 ∴ f (x ) = x ?
3 '

3 2 x ? 6 x + 1 ………………6分 2
2

(2) f ( x) = 3 x ? 3 x ? 6 = 3( x + 1)( x ? 2) 令 f ′(x ) =0 得 x1 = ?1 , x 2 = 2 当 x ∈ (-2,-1)时, f ' ( x) >0, f (x ) 递增; 当 x ∈ (-1,2)时, f ′( x ) < 0 , f (x ) 递减。 ∴ 在区间(-2,2)内,函数 f (x ) 的最大值为 f (?1) =

9 2

………………12分

18. (12 分)如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SA⊥平面 ABCD,SA=AD,M 为 AB 中点, N 为 SC 中点. (1)证明:MN//平面 SAD; (2)证明:平面 SMC⊥平面 SCD; (I)证明:取 SD 中点 E,连接 AE,NE, S ∵ N、E分别是SC、SD的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ NE//CD且NE=

1 CD 2 1 AB 2
N A

E

AB//CD且AB=CD AM= NE//AM且NE=AM 四边形AMNE为平行四边形 MN//AE

D M B C

MN ? 平面SAD,AE ? 平面SAD

∴ MN//平面 SAD; (2)∵SA⊥平面 ABCD

∴ SA⊥CD ∵ 底面 ABCD 为矩形, ∴ AD⊥CD 又∵SA∩AD=A ∴CD⊥平面 SAD, ∴CD⊥SD ∴CD⊥AE ∵SA=AD E 为 SD 的中点 ∴ AE⊥SD ∵ SD∩CD=D ∴ AE⊥平面 SCD ∵AE//MN ∴MN⊥平面 SCD ∵MN ? 平面 MSC ∴平面 SMC⊥平面 SCD
3

19.已知数列{ a n }的通项公式 a n = ( 2n + 1) × 2 ,它的前 n 项和为 s n ,求 s n 的表达式
n

解:∵ ∴ ∴

a n = (2n + 1) × 2 n

s n = 3 × 2 + 5 × 2 2 + 7 × 2 3 + ? + (2n ? 1) × 2 n ?1 + (2n + 1) × 2 n 2 s n = 3 × 2 2 + 5 × 2 3 + ? + (2n ? 1) × 2 n + (2n + 1) × 2 n +1
2 3 n n +1

①—②得: ? s n = 3 × 2 + 2(2 + 2 + ? + 2 ) ? ( 2n + 1) × 2 =6+ 2 ×

2 2 (1 ? 2 n ?1 ) ? (2n + 1) × 2 n +1 1? 2

=-2+ 4 × 2 n ? ( 4n + 2) × 2 n =-2-(4n-2) × 2 n ∴

s n =2+(4n-2) × 2 n

20.(12 分)右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD, EC//PD,且 PD=AD=2CE=2 . (1)若 N 为线段 PB 的中点,求证:EN⊥平面 PDB; (2)求该几何体的体积; (1)证明:连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF, ∵F 为 BD 的中点,N 为 PB 的中点 P E N D C

1 PD 2 1 又 EC//PD 且 EC= PD 2
∴NF//PD 且 NF= ∴NF//EC 且 NF=EC ∴四边形 NFCE 为平行四边形 ∴NE//FC ∵PD⊥平面 ABCD, ,AC ? 平面 ABCD ∴PD⊥AC, ∵AC⊥BD 且 PD∩BD=D ∴AC⊥平面 PBD ∵EN//AC ∴NE⊥平面 PBD (2)∵PD⊥平面 ABCD, ,BC ? 平面 ABCD ∴PD⊥BC, ∵BC⊥CD,平面 PDCE∩平面 DBC=CD ∴BC⊥平面 PDCE ∵ S 梯形PDCE= ( PD + CE ) × CD = ∴四棱锥 B-CEPD 的体积

A

B

P E N D F A B C

1 2

1 (1 + 2) × 2 = 3 2

V B ?CEPD =

1 1 S 梯形PDCE × BC= × 3 × 2 = 2 3 3

∵三棱锥 P-ABD 的体积

V P ? ABD

1 1 1 4 = S ?ABD × PD= × × 2 × 2 × 2 = 3 3 2 3

4

21. (12 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 s n , a1 = 1 且满足 s n =2 s n ?1 +n (n>1 且 n∈ N + ) (1)求数列 {a n } 的通项公式和前 n 项的和 (2)设 Tn =

2011 lg 2 ,求使得不等式 T1 × T2 + T2T3 + ? + Tn ?1 × Tn ≥ 成立的最小正整数 n 的值 lg(a n + 1) 2012

解: (1)当 n>2 时 ∵ s n =2 s n ?1 +n ∴ s n ?1 =2 s n ? 2 +n-1
]

两式相减得 a n =2 a n ?1 +1 ∵ a 2 = 3 也满足上式 ∴ a n =2 a n ?1 +1 (n>1 且 n∈ N + ) ∴

a n +1=2( a n?1 +1)
又∵ a1 + 1 = 2 ,∴ {a n + 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 ∴ a n + 1 = 2 ,∴ a n = 2 ? 1 (n∈ N + )
n n

2(1 ? 2 n ) ∴ sn = ? n = 2 n +1 ? 2 ? n (n∈ N + ) 1? 2
(2)∵ Tn =

lg 2 lg 2 1 = = lg(a n + 1) lg 2 n n 2011 得 2012

由 T1 × T2 + T2T3 + ? + Tn ?1 × Tn ≥ ∴ ? ? ∴ 1?

?1 ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? 2010 + ? + ? +?+ ? ?≥ 2 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2011
∴ n ≥ 2011 即 n 的最小值是 2011

1 1 ≥ 1? n 2011

22. (14 分)已知函数 f ( x ) =

x?a ax

(a>0)

(1)判断并证明 y= f (x ) 在 x∈(0,+∞)上的单调性; (2)若存在 x 0 ,使 f ( x 0 ) = x 0 ,则称 x 0 为函数 f (x ) 的不动点,现已知该函数有且仅有一个不动点,求 a 的值, 并求出不动点 x 0 ;

5

(3)设 g (x ) = axf ( x ) + 解: : (1) f ( x ) =

1 3 x ? 2 x 2 + 2 x ,若 y= g (x) 在(0,+∞)上有三个零点 , 求 a 的取值范围. 3

1 1 ? a x

任取 x1 、 x 2 ∈(0,+∞)设 x1 > x 2

x ? x2 1 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = ( ? ) ? ( ? ) = 1 a x1 a x2 x1 x 2
∵ x1 > x 2 >0 ∴ x1 - x 2 >0, x1 x 2 >0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0 ,函数 y= f (x ) 在 x∈(0,+∞)上单调递增。 (2)解:令 x = 令△=0 得 a = 将a =

x?a 2 ,则 ax ? x + a = 0 , ax

1 (负值舍去) 2

1 2 代入 ax ? x + a = 0 得 x0 =1 2 1 3 2 (3)∵ g ( x) = x ? 2 x + 3 x ? a , 3
∴ g ' ( x) = x 2 ? 4 x + 3 X (0,1) + ↑ 1 0 令 g ' ( x) = 0 得 x=1 或 x=3 (1,3) ↓ 3 0 -a ↑ (3,+∞) +

g ' ( x)
G(x)

4 ?a 3

?4 ? ?a >0 若 y= g (x) 在(0,+∞)上有三个零点,则 ? 3 ?? a < 0 ?


0<a<

4 3
? ? 4? 3?

∴ a 的取值范围是 ? 0, ?

6


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