2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程教师用书文


2018 版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.8 函数与方程教师用书 文 北师大版

1.函数的零点 (1)函数零点的定义 函数 y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反, 即 f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数 y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程 f(x)= 0 在区间(a,b)内至少有一个实数解. 2.二分法 对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x)的零 点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作 二分法. 3.二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的图像与零点的关系 Δ >0 二次函数 y=ax +
2 2

Δ =0

Δ <0

bx+c (a>0)的图像
与 x 轴的交点 零点个数 【知识拓展】 1.有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数,则 f(x)至多有一个零点. (x1,0),(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0

1

(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 2.三个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与 x 轴的交点.( × ) (2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则 f(a)·f(b)<0.( × ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × (4)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)在 b -4ac<0 时没有零点.( √ ) (5)若函数 f(x)在(a,b)上单调且 f(a)·f(b)<0,则函数 f(x)在[a,b]上有且只有一个零 点.( √ )
2 2

)

1 x 1.(教材改编)函数 f(x)= x -( ) 的零点个数为( 2 A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 1 解析 f(x)是增函数,又 f(0)=-1,f(1)= , 2 ∴f(0)f(1)<0,∴f(x)有且只有一个零点. 2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos x C.y=ln x 答案 A B.y=sin x D.y=x +1
2

1 2

)

)

解析 由于 y=sin x 是奇函数;y=ln x 是非奇非偶函数;y=x +1 是偶函数但没有零点; 只有 y=cos x 是偶函数又有零点. 1 1 3.(2016·长春检测)函数 f(x)= ln x+x- -2 的零点所在的区间是( 2 x 1 A.( ,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) e 答案 C )

2

2

1 1 1 1 1 1 1 解析 因为 f( )=- + -e-2<0, f(1)=-2<0, f(2)= ln 2- <0, f(e)= +e- -2>0, e 2 e 2 2 2 e 1 1 所以 f(2)f(e)<0,所以函数 f(x)= ln x+x- -2 的零点所在区间是(2,e). 2 x 4.函数 f(x)=2 |log0.5 x|-1 的零点个数为________. 答案 2
x

?1?x 解析 由 f(x)=0,得|log0.5x|=? ? , ?2? ?1?x 作出函数 y=|log0.5x|和 y=? ? 的图像, ?2?

由上图知两函数图像有 2 个交点, 故函数 f(x)有 2 个零点. 5. 函数 f(x)=ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点, 则实数 a 的取值范围是________.

?1 ? 答案 ? ,1? ?3 ?
解析 ∵函数 f(x)的图像为直线,由题意可得

f(-1)f(1)<0,
1 ∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得 <a<1, 3

?1 ? ∴实数 a 的取值范围是? ,1?. ?3 ?

题型一 函数零点的确定 命题点 1 确定函数零点所在区间

?1?x-2 例 1 (1)(2016·长沙调研)已知函数 f(x)=ln x-? ? 的零点为 x0,则 x0 所在的区间是 ?2?
( ) B.(1,2) D.(3,4)

A.(0,1) C.(2,3)

3

1 x-2 3 (2)(2016·济南模拟)设函数 y=x 与 y=( ) 的图像的交点为(x0,y0),若 x0∈(n,n+1), 2

n∈N,则 x0 所在的区间是________.
答案 (1)C (2)(1,2)

?1?x-2 解析 (1)∵f(x)=ln x-? ? 在(0,+∞)上为增函数, ?2? ?1?-1 又 f(1)=ln 1-? ? =ln 1-2<0, ?2?
f(2)=ln 2-? ?0<0, 2 f(3)=ln 3-? ?1>0, ?2?
∴x0∈(2,3),故选 C. 1 x-2 3 (2)令 f(x)=x -( ) ,则 f(x0)=0,易知 f(x)为增函数,且 f(1)<0,f(2)>0,∴x0 所在的 2 区间是(1,2). 命题点 2 函数零点个数的判断 例2
? ?x -2,x≤0, (1)函数 f(x)=? ?2x-6+ln x,x>0 ?
2

?1? ? ? ?1?

的零点个数是________.

(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=

f(x)-log3|x|的零点个数是(
A.多于 4 B.4 答案 (1)2 (2)B C.3 D.2

)

解析 (1)当 x≤0 时,令 x -2=0,解得 x=- 2(正根舍去),所以在(-∞,0]上有一个 1 零点;当 x>0 时,f′(x)=2+ >0 恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为 f(2)

2

x

=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,所以 f(x)在(0,+∞)上有一个零点,综上,函数 f(x)的零 点个数为 2. (2)由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数. 在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图像,如图,

观察图像可以发现它们有 4 个交点,
4

即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点. 思维升华 (1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理、结合函数的性质;③数形结 合法:转化为两个函数图像的交点个数. 6 (1)已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是(

x

)

A.(0,1) C.(2,4)
2

B.(1,2) D.(4,+∞) )

(2)函数 f(x)=xcos x 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 B.5 C.6 D.7 答案 (1)C (2)C 解析

3 1 (1)因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)= -log24=- <0,所 2 2

以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4). (2)由 f(x)=xcos x =0,得 x=0 或 cos x =0. 又 x∈[0,4],所以 x ∈[0,16]. π 由于 cos( +kπ )=0(k∈Z), 2 而在 π π 3π 5π 7π 9π +kπ (k∈Z)的所有取值中,只有 , , , , 满足在[0,16]内,故零点 2 2 2 2 2 2
2 2 2

个数为 1+5=6. 题型二 函数零点的应用 2 x 例 3 (1)函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是(

x

)

A.(1,3) C.(0,3)
2

B.(1,2) D.(0,2)

(2)已知函数 f(x)=|x +3x|,x∈R,若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则 实数 a 的取值范围是________________. 答案 (1)C (2)(0,1)∪(9,+∞) 2 2 x x 解析 (1)因为函数 f(x)=2 - -a 在区间(1,2)上单调递增,又函数 f(x)=2 - -a 的一

x

x

个零点在区间(1,2)内,则有 f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0.所以 0 <a<3. (2)设 y1=f(x)=|x +3x|,y2=a|x-1|,
5
2

在同一直角坐标系中作出 y1=|x +3x|,y2=a|x-1|的图像如图所示.

2

由图可知 f(x)-a|x-1|=0 有 4 个互异的实数根等价于 y1=|x +3x|与 y2=a|x-1|的图像 有 4 个不同的交点且 4 个交点的横坐标都小于 1,
? ?y=-x -3x, 所以? ? ?y=a?1-x?
2 2

2

有两组不同解,

消去 y 得 x +(3-a)x+a=0 有两个不等实根, 所以 Δ =(3-a) -4a>0,即 a -10a+9>0, 解得 a<1 或 a>9. 又由图像得 a>0,∴0<a<1 或 a>9. 引申探究 本例(2)中,若 f(x)=a 恰有四个互异的实数根,则 a 的取值范围是________________. 9 答案 (0, ) 4 解析 作出 y1=|x +3x|,y2=a 的图像如下:
2 2 2

3 9 当 x=- 时,y1= ;当 x=0 或 x=-3 时,y1=0, 2 4 9 2 由图像易知,当 y1=|x +3x|和 y2=a 的图像有四个交点时,0<a< . 4 思维升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法 (1)步骤:①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组);③ 解不等式(组),即得参数的取值范围. (2)方法:常利用数形结合法. (1)(2016·枣庄模拟)已知函数 f(x)=x +x+a(a<0)在区间(0,1)上有零点, 则
2

a 的取值范围为________.
(2)(2015·湖南)若函数 f(x)=|2 -2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是________.
6
x

答案 (1)(-2,0) (2)(0,2) 解析 (1)∵-a=x +x 在(0,1)上有解, 1 2 1 2 又 y=x +x=(x+ ) - , 2 4 ∴函数 y=x +x,x∈(0,1)的值域为(0,2), ∴0<-a<2,∴-2<a<0. (2)由 f(x)=|2 -2|-b=0,得|2 -2|=b. 在同一平面直角坐标系中画出 y=|2 -2|与 y=b 的图像,如图所示.
x x x
2 2

则当 0<b<2 时,两函数图像有两个交点,从而函数 f(x)=|2 -2|-b 有两个零点. 题型三 二次函数的零点问题 例 4 已知 f(x)=x +(a -1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求实数 a 的 取值范围. 解 方法一 设方程 x +(a -1)x+(a-2)=0 的两根分别为 x1,x2(x1<x2),则(x1-1)(x2- 1)<0, ∴x1x2-(x1+x2)+1<0, 由根与系数的关系,得(a-2)+(a -1)+1<0, 即 a +a-2<0,∴-2<a<1. 方法二 函数图像大致如图,则有 f(1)<0,
2 2 2 2 2 2

x

即 1+(a -1)+a-2<0,∴-2<a<1. 故实数 a 的取值范围是(-2,1). 思维升华 解决与二次函数有关的零点问题: (1)利用一元二次方程的求根公式; (2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系; (3)利用二次函数的图像列不等式组.
7

2

(2016·临沂一模)若函数 f(x)=(m-2)x +mx+(2m+1)的两个零点分别在区 间(-1,0)和区间(1,2)内,则 m 的取值范围是__________.

2

?1 1? 答案 ? , ? ?4 2?
m≠2, ? ? 解析 依题意,结合函数 f(x)的图像分析可知 m 需满足?f?-1?·f?0?<0, ? ?f?1?·f?2?<0, m≠2, ? ? 即?[m-2-m+?2m+1?]?2m+1?<0, ? ?[m-2+m+?2m+1?][4?m-2?+2m+?2m+1?]<0,
1 1 解得 <m< . 4 2

4.利用转化思想求解函数零点问题

典例 (1)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________. (2)若关于 x 的方程 2 +2 a+a+1=0 有实根,则实数 a 的取值范围为________. 思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图像的交点个数, 利用数形结合求解参数 范围. (2)“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数 y=f(x)的值域解决. 解析 (1)函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,即方程 a -x-a=0 有两个根,即 函数 y=a 与函数 y=x+a 的图像有两个交点.
x x x
2x

x

x

当 0<a<1 时,图像如图①所示,此时只有一个交点. 当 a>1 时,图像如图②所示,此时有两个交点. ∴实数 a 的取值范围为(1,+∞). 2 +1 x (2)由方程,解得 a=- x ,设 t=2 (t>0), 2 +1
2x

8

则 a=-

t2+1 2 =-(t+ -1) t+1 t+1
2 ],其中 t+1>1, t+1 2 ≥2 2,当且仅当 t= 2-1 时取等号,故 a≤2-2 2. t+1

=2-[(t+1)+

由基本不等式,得(t+1)+

答案 (1)(1,+∞) (2)(-∞,2-2 2]

1.设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为( A.(0,1) C.(2,3) 答案 B 解析 ∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0, ∴f(1)·f(2)<0, ∵函数 f(x)=ln x+x-2 的图像是连续的, ∴f(x)的零点所在的区间是(1,2).
?2 -1,x≤1, ? 2.(2016·潍坊模拟)已知函数 f(x)=? ?1+log2x,x>1, ?
x

)

B.(1,2) D.(3,4)

则函数 f(x)的零点为(

)

A.

1 2

B.-2 D.0

1 C.0 或 2 答案 D

解析 当 x≤1 时,由 f(x)=2 -1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得

x

x= ,
又因为 x>1,所以此时方程无解. 综上,函数 f(x)的零点只有 0,故选 D. 3. 已知三个函数 f(x)=2 +x, g(x)=x-2, h(x)=log2x+x 的零点依次为 a, b, c, 则( A.a<b<c C.b<a<c 答案 B
9
x

1 2

)

B.a<c<b D.c<a<b

1 1 解析 方法一 由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0 且 f(x)为 R 上的递增函数. 2 2 故 f(x)=2 +x 的零点 a∈(-1,0). ∵g(2)=0,∴g(x)的零点 b=2. 1 1 ?1? ∵h? ?=-1+ =- <0,h(1)=1>0, 2 2 2 ? ? 且 h(x)为(0,+∞)上的增函数,
x

?1 ? ∴h(x)的零点 c∈? ,1?,因此 a<c<b. ?2 ?
方法二 由 f(x)=0,得 2 =-x; 由 h(x)=0,得 log2x=-x,作出函数 y=2 ,
x x

y=log2x 和 y=-x 的图像(如图).

由图像易知 a<0,0<c<1,而 b=2, 故 a<c<b. 4.方程|x -2x|=a +1(a>0)的解的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 (数形结合法) ∵a>0,∴a +1>1. 而 y=|x -2x|的图像如图,
2 2 2 2

)

∴y=|x -2x|的图像与 y=a +1 的图像总有两个交点. 1,x≤0, ? ? 5. 已知函数 f(x)=?1 ,x>0, ? ?x A.(1,2)

2

2

则使方程 x+f(x)=m 有解的实数 m 的取值范围是(

)

B.(-∞,-2]

10

C.(-∞,1)∪(2,+∞) 答案 D

D.(-∞,1]∪[2,+∞)

1 解析 当 x≤0 时,x+f(x)=m,即 x+1=m,解得 m≤1;当 x>0 时,x+f(x)=m,即 x+ =

x

m,解得 m≥2,即实数 m 的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选 D.
[x] 6.已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= -a(x≠0)有且仅有 3

x

个零点,则实数 a 的取值范围是________________.

?3 4? 4 3 答案 ? , ?∪[ , ) ?4 5? 3 2
解析 当 0<x<1 时,f(x)= [x] -a=-a;

x

[x] 1 当 1≤x<2 时,f(x)= -a= -a;

x x

x x

[x] 2 当 2≤x<3 时,f(x)= -a= -a;?

f(x)=

[x] [x] [x] -a 的图像是把 y= 的图像进行纵向平移而得到的,画出 y= 的图像,如图

x

x

x

3 4 4 3 所示,通过数形结合可知 a∈( , ]∪[ , ). 4 5 3 2

7 .若函数 f(x) = x + ax + b 的两个零点是- 2 和 3 ,则不等式 af( - 2x)>0 的解集是 ________________. 3 答案 {x|- <x<1} 2 解析 ∵f(x)=x +ax+b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3 是方程 x +ax+b=0 的两根,
?-2+3=-a, ? 由根与系数的关系知? ?-2×3=b. ? ? ?a=-1, ?b=-6, ?
2 2 2

2

∴?

∴f(x)=x -x-6. ∵不等式 af(-2x)>0, 即-(4x +2x-6)>0?2x +x-3<0,
11
2 2

3 解集为{x|- <x<1}. 2
?2 -1,x>0, ? 8. 已知函数 f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0,
x

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 则实数 m 的取

值范围是________. 答案 (0,1) 解析
? ?2 -1,x>0, 画出函数 f(x)=? 2 ?-x -2x,x≤0 ?
x

的图像,如图.

由于函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 结合图像得 0<m<1,即 m∈(0,1). 9.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 015 +log2 015x,则在 R 上,函数 f(x) 零点的个数为________. 答案 3 解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数, 1 x 因此 f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=2 015 +log2 015x 在区间(0, )内存在一个零点, 2 015 又 f(x)为增函数, 因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点. 根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解, 从而函数 f(x)在 R 上的零点的个数为 3. 10.(2016·衡水期中)若 a>1,设函数 f(x)=a +x-4 的零点为 m,函数 g(x)=logax+x- 1 1 4 的零点为 n,则 + 的最小值为________.
x x

m n

答案 1 解析 设 F(x)=a ,G(x)=logax,h(x)=4-x,则 h(x)与 F(x),G(x)的交点 A,B 横坐标分 别为 m,n(m>0,n>0). 因为 F(x)与 G(x)关于直线 y=x 对称, 所以 A,B 两点关于直线 y=x 对称.
x

12

又因为 y=x 和 h(x)=4-x 交点的横坐标为 2, 所以 m+n=4. 又 m>0,n>0, 1 1 1 1 m+n 所以 + =( + )· m n m n 4 1 n m 1 = (2+ + )≥ (2+2 4 m n 4

n m × )=1. m n

当且仅当 = ,即 m=n=2 时等号成立. 1 1 所以 + 的最小值为 1.

n m m n

m n

? 1? 11.设函数 f(x)=?1- ?(x>0). ?
x?
(1)作出函数 f(x)的图像; 1 1 (2)当 0<a<b 且 f(a)=f(b)时,求 + 的值;

a b

(3)若方程 f(x)=m 有两个不相等的正根,求 m 的取值范围. 解 (1)如图所示.

1 -1,x∈?0,1], ? ? x 1? ? (2)∵f(x)=?1- ?=? ? x? 1 ?1-x,x∈?1,+∞?, ? 故 f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数. 1 1 1 1 由 0<a<b 且 f(a)=f(b),得 0<a<1<b 且 -1=1- ,∴ + =2.

a

b

a b

(3)由函数 f(x)的图像可知,当 0<m<1 时,方程 f(x)=m 有两个不相等的正根. 12.关于 x 的二次方程 x +(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围. 解 显然 x=0 不是方程 x +(m-1)x+1=0 的解, 1 0<x≤2 时,方程可变形为 1-m=x+ ,
2 2

x

1 又∵y=x+ 在(0,1]上是减少的,在[1,2]上是增加的,

x

1 ∴y=x+ 在(0,2]上的取值范围是[2,+∞),

x

13

∴1-m≥2,∴m≤-1, 故 m 的取值范围是(-∞,-1]. 13.已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x -2x. (1)写出函数 y=f(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围. 解 (1)设 x<0,则-x>0, ∴f(-x)=x +2x. 又∵f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-x -2x.
?x -2x,x≥0, ? ∴f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0. ?
2 2 2 2

(2)方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解. 即 y=f(x)与 y=a 的图像有 3 个不同的交点, 作出 y=f(x)与 y=a 的图像如图所示,

故若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解只需-1<a<1, 故 a 的取值范围为(-1,1).

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