江西省萍乡实验学校2017-2018学年第一学期第二次期中模拟考试高一数学试题


江西省萍乡实验学校 2017-2018 学年第一学期第二次期中模拟考试高一数学试题

萍实高中 2017—2018 学年第一学期第二次期中模拟考试

高一数学试题

班级

学号

姓名

成绩

注意事项:

本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟,试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ

卷为非选择题。

命题人:

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.(错变)已知集合 A ? {x | x? x ?1? ? 0},那么 ( )

A. 0? A B. 1? A C. ?1? A D. 0? A

2.(错变)方程组

? ? ?

x x

? ?

y y

? ?

2 0

的解构成的集合是(



A. ??1,1??

B. ?1,1?

C. ?1,1? D. ?1?

3.(错变)已知 M ??1,2? ? ?1,2,3?,则满足条件的集合 M 的个数是( )

A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

? x2 ?1, x ? 1

4.(改编)函数

f

?x?

?

? ?2 ?? x

,

,则 f ? f ?3?? ? ( )
x ?1

A. 1 5

B. 3

C. 2

3

D. 13 9

5.(错题改编)函数 f (x) ? x ? 2 ? 1 的定义域为( ) ln(3 ? x)
A.[2,3) B. (2,3) C.[2, ??) D. (??,3]

6.(新题)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≤0 时,f (x) ? x2 ? 1 x ,则 f 1)( =( ) 2

A. - 3 2

B. - 1

C. 3

2

2

D. 1 2

7.(错变)已知函数 f ? x? 是 R 上的偶函数,且 x ? 0 时 f ? x? ? 2x ? 4 ,则 f ? x? ? 0 的

解集为( )

A. ???,?2? ??2,??? B. ?0, 2? C. ??2, 2? D. ??2,0? ??0,2?

8.(新题)函数 f (x) ? 2x ? x3 ? 2 的零点所在的一个区间是(

A.(-2,-1)

B.(-1,0)

C.(0,1)

) D.(1,2)

9.(新题)下列函数中,既是偶函数又有零点的是( )

1
A. y ? x2

B. y ? tanx

C. y ? ex ? e?x

D. y ? ln x

? ? 10.(错题改编)已知角? 的终边过点 P ?8m, ?6cos600 ,且 cos? ? ? 4 ,则 m 的值为 5
()

A. ? 1 2

B. ? 3

1
C.

3
D.

2

2

2

11.(新题)设函数

f

(x)

?

?21?x , x ? 1 ??1? log2 x,

x

?1

则满足 f (x) ? 2 的 x 的取值范围是

A. ??1,2?

B. ?0, 2?

C. [1, ??)

D. [0, ??)

12.(新题)函数 f ? x? ? Asin ??x ??? (其中 A ? 0, ? ? ? )的部分图象如图所示,将
2

1/6

函数 f ? x? 的图象(

)可得

g

?

x

?

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

的图象.

A. 向右平移 ? 个长度单位 6

B. 向左平移 ? 个长度单位 12

C. 向左平移 ? 个长度单位 6

D. 向右平移 ? 个长度单位 12

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
2
13.(错变)计算: lg4 ? lg25 ? 83 ? __________.
14.(新题)函数 f ? x? ? ax (a ? 0, a ?1) 的反函数图像经过点 ?2,1? ,则 a ? ____________

15.(改编)若幂函数

y

?

xa

的图象经过点

? ??

9,1 3

? ??

,则

f

?25?

的值是________;

16.(新题)定义在 R 上的函数 f (x) ,对任意的 x ? R 都有 f (?x) ? ? f (x) 且当 x ? 0 时,

f (x) ? x2 ? 2x ,则不等式 xf (x) ? 0 的解集为



三、解答题(共 6 题,共 70 分,第 17 题 10 分,第 18--22 题各 12 分。解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)(错题改编)计算:

(I)计算:

sin

? ??

11? 6

? ??

?

cos

? ??

?

20? 3

? ??

?

tan

? ??

29? 4

? ??

;

(II)化简:

tan ??

?? ?cos?2?

??

?

sin

? ??

3? 2

??

? ??

.

cos??? ?? ?sin ?? ?? ?

(Ⅲ) 计算:

2

log 3

2

?

log 3

32 9

?

log 3

8

?

5log5

3

18. ( 12 分 )(新 题 ).已 知 y ? f ? x? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ?x? ? x2 ? 2x (1)求当 x ? 0 时, f ? x? 的解析式; (2)作出函数 f ? x? 的图象,并指出其单调区间.

? ? 19.(12 分)(原创)已知集合 A ? x 2 ? x ? 6 , B ? ?x 3 ? x ? 9? .
(Ⅰ)分别求 A? B , A ?B;
? ? (Ⅱ)已知 C ? x a ? x ? a ?1 ,若 C ? A ,求实数 a 的取值范围.

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2

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20、 (12 分)(错题改编)已知函数, y ? 2 sin(2x ? ? ) 3
(1)求它的振幅 A、周期 T、初相? ;
(2)用“五点法”(列表,描点,连线)作出它在一个周期内的图象;
(3)说明 y ? 2sin(2 x ? ? ) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 3

22、(12

分)(新题)设 m 是实数,

f

(x)

?

m

?

2 2x ?

1

(

x

?

R) ,

(1)若函数 f (x) 为奇函数,求 m 的值;

(2)试用定义证明:对于任意 m , f (x) 在 R 上为单调递增函数;

(3)若函数 f (x) 为奇函数,且不等式 f (k ?3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 求实数 k 的取值范围.

21、(12 分)(新题) 已知函数 f ? x? ? sin ??x ???

??? ?

? 0, ?

?

? 2

? ??

的部分图象如图所示.

(1)求函数 f ? x? 的解析式;

(2)求出 f ? x? 的单调递增区间;

?
(3)将函数 f ? x? 的图象上各个点的横坐标扩大到原来的 2 倍,再将图象向右平移 6 个单

位,得到

g

?

x?

的图象,若存在

x

?

???0,

2? 3

? ??

使得等式

3g

?

x?

?1

?

2

??a

?

g

2

?

x???

成立,求

实数 a 的取值范围.

3/6

萍实高中 2017—2018 学年第一学期第二次期中模拟
考试参考答案
命题人: 一、选择题(每题 5 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A C D B A C C D C D D 解题说明: 9.D
1
【解析】因为 y ? x2 是非奇非偶函数 、 y ? tanx 为奇函数,故排除选项 A、B ,
y ? ex ? e?x 为偶函数,但无零点,故排除选项 C, y ? ln x 为偶函数,且存在零点 1;

故选 D.

10.C【解析】因为 cos? ? ? 4 ,所以角 ? 的终边在第二,三象限, m ? 0 ,从而 5
? ? OP ? ??8m?2 ? ?6sin300 2 ? 64m2 ? 9 , ?8m ? ? 4 64m2 ? 9 5

即 m2 ? 1 ,解得 m ? 1 ,故选 C。

4

2

二.填空题(每题 5 分)

13.-2
14.2【解析】反函数过 ?2,1? ,则原函数过 ?1,2? ,所以 f ?1? ? a ? 2 。

15. 1 【解析】由条件得 9? ? 1 ,即 32? ? 3?1 ,所以? ? ? 1 。

5

3

2

? ? ∴

f

?x?

?

?1
x2

,∴

f

? 25?

?

52

?1 2

?

1

。答案:

1

5

5

(?2,0) ? (0,2) 16.

三、解答题(第 17 题 10 分,第 18--22 题每题 12 分)
17.(1) 0 ;(2)1; (3)-1

【解析】(1)

sin

? ??

31? 6

? ??

?

cos

? ??

?

20 ? 3

? ??

?

tan

? ??

29 ? 4

? ??

?

?sin

? 6

?

cos

2? 3

?

tan

? 4

--3



?

?1 2

?

? ??

?

1 2

? ??

?

1

?

0 (2)原式 ?

?tanxcosx ??cosx? ?cosx ??sinx?

?

sinx cosx cosx
sinx

?1 ----------6



(3)原式=-1------------------------------------------------------------------------------------------10 分
18.(1) f ? x? ? x2 ? 2x ;(2)见解析.

(1)当 x ? 0 时, ?x ? 0 , f ??x? ? x2 ? 2x, f ?x? ? f ??x? ? x2 ? 2x 又函数 f ? x? 是定义在 R 上的偶函数,所以 f ?x? ? f ??x? ? x2 ? 2x . 所以 f ? x? ? x2 ? 2x -------------------------------------------------------------------5 分
(2)

-------------------------------8 分

增区间为

;减区间为 ???, ?1?,?0,1? -------------------------------12 分

? ? 19.解:(Ⅰ) A? B ? x 3 ? x ? 6

....................3 分

A? B ? ?x 2 ? x ? 9?
(Ⅱ)? C ? A ?

.....................6 分

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4

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?a ? 2 ??a ?1 ? 6
? 2?a ?5

...............................9 分 ..............................12 分

20.【解析】(1)y=2sin ?? 2x ? ? ?? 的振幅 A=2,周期 T= 2? = ? ,初相? = ? .------4 分

? 3?

2

3

(2)令 X=2x+ ? ,则 y=2sin ?? 2x ? ? ?? =2sinX.

3

? 3?

列表,并描点画出图象:

21.(1)

f

?x?

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

,(2)

????

? 3

?

k? , ? 6

?

k?

? ??

?

k

?

Z?

;(3)

? ??

1 2

,

17 16

? ??

.

试题解析:

(1)设函数 f ? x? 的周期为T ,由图可知 T ? 2? ? ? ? ? ,∴T ? ? ,即 2? ? ? ,

2 3 62

?

∵? ? 0 ,∴? ? 2 ,∴ f ?x? ? sin?2x ??? ,

上式中代入

? ??

? 6

,1???

,有

s

i

n???

? 3

?

?

? ??

?

1





? ?? ? ? ? 2k?

3

2



k?Z ,即

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------8 分

(3)方法一 把 y=sinx 的图象上所有的点向左平移 ? 个单位,得到 y=sin ?? x ? ? ?? 的图象,

3

? 3?

再把 y=sin ?? x ? ? ?? 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到

? 3?

2

y=sin ?? 2x ? ? ?? 的图象,最后把 y=sin ?? 2x ? ? ?? 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐

? 3?

? 3?

标不变),即可得到 y=2sin ?? 2x ? ? ?? 的图象.------------------------------------------------12 分
? 3?

方法二 将 y=sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 1 倍,纵坐标不变,得到
2
y=sin2x 的图象;

再将 y=sin2x 的图象向左平移 ? 个单位;
6

得到 y=sin2 ?? x ? ? ?? =sin ?? 2x ? ? ?? 的图象;再将 y=sin ?? 2x ? ? ?? 的图象上每一点的横坐标保持

? 6?

? 3?

? 3?

不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍,得到 y=2sin ?? 2x ? ? ?? 的图象
? 3?

? ? ? ? ? 2k? 6



k ? Z ,又∵ ?

? ? ,∴? ? ?

2

6

,∴ f

?

x

?

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

,--4



(2)令 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? ?k ? Z? ,解得 ? ? ? k? ? x ? ? ? k? ?k ? Z? ,

2

62

3

6



f

?x?

的递增区间为

????

? 3

?

k?

,

? 6

?

k?

? ??

?

k

?

Z?

;-----------------------7



(3)经过图象变换,得到函数 g ? x? 的解析式为 g ? x? ? sinx ,

? ? 于是问题即为“存在

x

?

???0,

2? 3

? ??

,使得等式

3sinx

?1

?

2

a ? sin2x

成立”,



2a

?

?2sin2

x

?

3sinx

?

1在

x

?

???0,

2? 3

? ??

上有解,令

t

?

sinx

??0,1?





2a

?

?2t

2

?

3t

?1在

t

??0,1?

上有解,其中

?2t 2

?

3t

?1

?

?2

? ??

t

?

3 4

?2 ??

?

17 8

?

???1,

17 8

? ??





2a

?

???1,

17 8

? ??

,∴实数

a

的取值范围为

? ??

1 2

,

17 16

? ??

.--------------------------------------12



5/6

22.试题解析:(1)∵

f

(?x)

?

m?

2 2?x ?1

?

2 ? 2x m ?1? 2x

,且

f

(?x) ?

f

(x)

?

0



2m

?

2(1? 2x ) 1? 2x

?

0

(注:通过

f

(0)

?

0 求也同样给分)∴

m

? 1-------4



(2)证明:设

x1, x2

? R, x1

?

x2 ,则

f

(x1) ?

f

(x2 )

?

(m ?

2

2x1

) ?1

?

(m

?

2

2x2

) ?1

?

2 2x2 ?1

?

2 2x1 ? 1

?

2(2x1 ? 2x2 ) (2x1 ? 1)(2x2 ? 1)

∵ x1, x2 ? R, x1 ? x2 ∴ (2x1 ? 2x2 ) ? 0

∴ f (x1) ? f (x2 ) ? 0 即 f (x1) ? f (x2 ) 。 所以 f (x) 在 R 上为增函数。 ---------7 分 (3)因为 f (x) 为奇函数且在 R 上为增函数,

由 f (k ?3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 得: f (k ? 3x ) ? ? f (3x ? 9x ? 2) ? f (?3x ? 9x ? 2)

∴ k ? 3x ? ?3x ? 9x ? 2 即 32x ? (1 ? k)3x ? 2 ? 0 对任意 x ? R 恒成立。

令 t ? 3x (t ? 0) 问题等价于 t2 ? (1 ? k)t ? 2 ? 0 对任意 t ? 0 恒成立。

令 f (t) ? t2 ? (1 ? k)t ? 2 ,其对称轴 x ? k ? 1 2 --------------------------------9 分
当 k ? 1 ? 0 即 k ? ?1时, f (0) ? 2 ? 0 ,符合题意。 2
当 k ? 1 ? 0 时,即 k ? ?1时,对任意 t ? 0 , f (t) ? 0 恒成立,等价于 ? ? (1 ? k)2 ? 8 ? 0 2
解得: ?1 ? k ? ?1 ? 2 2 -------------------------------------------------10 分
综上所述,当 k ? ?1 ? 2 2 时,不等式 f (k ?3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立
-------------------------------------------------------------------------12 分

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