四川省成都市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第4课时 椭圆的简单几何性质同步测试 新人教A版选修21


第 4 课时 椭圆的简单几何性质
基础达标(水平一 )

1.已知椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m 等于( ).
A.4 B.8 C.4 或 8 D.以上均不对 【解析】①当椭圆的焦点在 x 轴上时,10-m-(m-2)=4,解得 m=4;②当椭圆的焦点在 y 轴 上时,m-2-(10-m)=4,解得 m=8.故选 C. 【答案】C 2.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正△MF1F2,若边 MF1 的中点在此椭圆上,则 此椭圆的离心率为( ).

A.

B.

-1 C.

D.

-1

【解析】如图,由题意知△F1PF2 为直角三角形, ∠PF2F1=30°,

又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=

c,

所以 2a=|PF1|+|PF2|=(1+

)c,

所以 =

=

=

-1.

【答案】D 3.若将一个椭圆绕中心旋转 90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭 圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程的是( ).

A. + =1 B. + =1

C. + =1 D. + =1 【解析】由题意,当 b=c 时,将一个椭圆绕中心旋转 90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转 前椭圆的两焦点,即该椭圆为“对偶椭圆”.只有选项 A 中的 b=c=2 符合题意. 【答案】A
1

4.设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过点 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰 直角三角形,则椭圆的离心率是( ).

A.

B.

C.2-

D.

-1

【解析】设椭圆焦点在 x 轴上,点 P 在 x 轴上方,则其坐标为

,因为△F1PF2 为等

腰直角三角形,所以|PF2|=|F1F2|,即

=2c,即 b2=2ac,a2-c2=2ac,等式两边同除以 a2,化简

得 1-e2=2e,解得 e=

-1,故选 D.

【答案】D

5.经过点(2,-3)且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同焦点的椭圆方程为

.

【解析】椭圆 9x2+4y2=36 可化为

+

=1,

则它的两个焦点分别为(0,-

),(0,

).

设所求椭圆的方程为 + 又该椭圆过点(2,-3),

=1(λ >0).

所以 +

=1,解得 λ =10 或 λ =-2(舍去).

所以所求椭圆的方程为 + =1.

【答案】 + =1

6.椭圆 + =1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|、|F1F2|、

|F1B|成等比数列,则该椭圆的离心率为

.

【解析】∵A、B 分别为左、右顶点,F1、F2 分别为左、右焦

点,∴|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,得

(a-c)(a+c)=4c2,即 a2=5c2,∴离心率 e=

.

【答案】
2

7.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点
所得四边形的面积为 4 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 A,B 是直线 l:x=2 上不同的两点,若 · =0,求|AB|的最小值.

【解析】(1)由题意得

解得

所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.

(2)由(1)知,点 F1(-

,0),F2(

,0),设直线 l:x=2

上不同的两点 A,B 的坐

标分别为 A(2

,y1),B(2

,y2),则

=(-3

,-y1),

=(-

,-y2),



·

=0 得 y1y2+6=0,

即 y2=-

,不妨设 y1>0,则|AB|=|y1-y2|=y1+

≥2

时取等号,所以|AB|的最小值是 2

.

拓展提升(水平二)

,当 y1=

,y2=-

8.设 F1,F2 分别是椭圆 E: + =1(a>b>0)的左,右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( ).

A.

B.

C.

D.

【解析】

3

设直线 x= 与 x 轴交于点 M,则∠PF2M=60°,在 Rt△PF2M

中,|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=

-c,故 cos 60°=

=

= ,解得 = ,故

离心率 e= . 【答案】C

9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A、B1、B2 分别为椭圆 C: + =1(a>b>0)的右、下、

上顶点,F 是椭圆 C 的右焦点.若 B2F⊥AB1,则椭圆 C 的离心率是

.

【解析】由题意得- · =-1? b2=ac? a2-c2=ac? 1-e2=e,又 0<e<1,故 e=

.

【答案】

10.已知曲线 C 上有一动点 M(x,y),向量 a=(x+2,y)和 b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线 C 的

离心率是

.

【解析】因为|a|+|b|=6 表示动点 M(x,y)到点(-2,0)和(2,0)的距离之和为 6,所以曲线

C 是椭圆,且长轴长 2a=6,即 a=3,又 c=2,所以 e= .

【答案】

11.已知椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点为 F2(3,0),离心率为 e.

(1)若 e= ,求椭圆的方程. (2)设直线 y=kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2,BF2 的中点.若坐标原点 O 在以
MN 为直径的圆上,且 <e≤ ,求 k 的取值范围.

4

【解析】(1)由题意得 又 a2=b2+c2,解得 b2=3,

解得 a=2

,

所以椭圆的方程为 + =1.

(2)联立

得(b2+a2k2)x2-a2b2=0.

设点 A(x1,y1),B(x2,y2),

所以 x1+x2=0,x1x2=

.

依题意,OM⊥ON, 易知,四边形 OMF2N 为平行四边形, 所以四边形 OMF2N 为矩形,所以 AF2⊥BF2,

因为

=(x1-3,y1),

=(x2-3,y2),

所以

·

=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即

整理得 k2=

=-1-

.

又因为 <e≤ ,所以 2

≤a<3

,12≤a2<18,

所以 k2≥ ,即 k∈



.

+9=0,

5


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