曲线与方程 学案 2017-2018学年高中数学选修2-1 苏教版


2.6.1 曲线与方程 1. 了解曲线与方程的对应关系, 理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念. (重点、 难点) 2.理解数形结合思想,会处理一些简单的曲线与方程问题.(难点) 3.曲线与方程的对应关系.(易错点) [基础·初探] 教材整理 曲线的方程 方程的曲线 阅读教材 P60 例 1 以上的部分,完成下列问题. 1.方程与曲线的定义 在直角坐标系中, 如果曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元 方程 f(x,y)=0 的实数解满足以下关系: 如果曲线 C 上点的坐标(x, y)都是方程 f(x, y)=0 的解, 且以方程 f(x, y)=0 的解(x, y)为坐标的点都在曲线 C 上,那么,方程 f(x,y)=0 叫做曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线. 2.方程与曲线的关系 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线上,那么方程 f(x,y)=0 就是曲线的 方程.( ) ) (2)如果 f(x,y)=0 是某曲线 C 的方程,则曲线上的点的坐标都适合方程.( (3)若曲线 C 上的点满足方程 f(x,y)=0,则坐标不满足方程 f(x,y)=0 的点不在曲 线 C 上.( ) ) ) (4)方程 x+y-2=0 是以 A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.( (5)到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy=1.( 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× ? ? 2 2 2.点 A? ,-m?在方程 x +(y-1) =10 表示的曲线上,则 m=________. ?2 ? m 1 2 18 2 【解析】 据题意,有 m +(-m-1) =10,解得 m=2 或- . 4 5 18 【答案】 2 或- 5 3.方程|y|=|2x|表示的曲线是________. 【解析】 ∵|y|=|2x|,∴y=±2x,表示两条直线. 【答案】 两条直线 4 .已知曲线 C 的方程为 x - xy + 2y - 7 = 0 ,则下列四点中,在曲线 C 上的点有 ________(填序号). ①(-1,2);②(1,-2);③(2,-3);④(3,6). 【解析】 把各点的坐标代入检验知,只有(-1,2)满足方程. 【答案】 ① [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: 2 [小组合作型] 曲线与方程概念的理解 (1)判断点 A(-4,3), B(-3 2, -4), C( 5, 2 5)是否在方程 x +y =25(x≤0) 所表示的曲线上; (2)方程 x (x -1)=y (y -1)所表示的曲线是 C,若点 M(m, 2)与点 N? 2 2 2 2 2 2 ? 3 ? ,n?在曲线 ?2 ? C 上,求 m,n 的值. 【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知,只要点 M 的坐标适合曲线的方程,则点 M 就在 方程所表示的曲线上;而若点 M 为曲线上的点,则点 M 的坐标(x0,y0)一定适合曲线的方程. 【自主解答】 (1)把点 A(-4,3)的坐标代入方程 x +y =25 中,满足方程,且点 A 的 横坐标满足 x≤0,则点 A 在方程 x +y =25(x≤0)所表示的曲线上; 把点 B(-3 2,-4)的坐标代入 x +y =25,因为(-3 2) +(-4) =34≠25,所以点 2 2 2 2 2 2 2 2 B 不在方程 x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上. 把点 C( 5,2 5)的坐标代入 x +y =25,得( 5) +(2 5) =25,满足方程,但因为 横坐标 5不满足 x≤0 的条件,所以点 C 不在方程 x +y =25(x≤0)所表示的曲线上. (2)因为点 M(m, 2), N? 2 2 2 2 2 2 ? 3 ? 2 2 所以它们的坐标都是方程的解, 所以 m (m ,n?在曲线 C 上, 2 ? ? 3 ? 1? 2 2 1 3 -1)=2×1, ×?- ?=n (n -1),解得 m=± 2,n=± 或± . 4 ? 4? 2 2 1.判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手. (1)要判断点是否在方程表示的曲线上,只需检验点的坐标是否满足方程即可; (2)若所给点在已知曲线上,则点的坐标适合已知曲线的方程,由此可求点或方程中的 参数. 2.判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否都适合方 程,二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上. [再练一题] 1.若命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,则下列命题正 确的是________(填序号). ①方程 f(x,y)=0 的曲线是 C; ②方程 f(x,y)=0 的曲线不一定是 C; ③f(x,y)=0 是曲线 C 的方程; ④以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 【解析】 只有正确地理解曲线与方程的定义,才能准确作答.易知①③④错误. 【答案】 ② 由方程确定曲线 方程 2x +y -4x+2y+3=0 表示什么曲线? 2 2 【精彩点拨】 由曲线的方程研究曲线的特点, 类似于用函数的解析式研究函数的图象, 可由方程的特点入手分析. 【自主解答】 方程的左边配方得 2(x-1) +(y+1) =0, 而 2(x-1) ≥0,(y+1) ≥0, ∴2(x-1) =0,(y+1) =0, ∴x-1=0 且 y+1=0,即 x=1,y=-1. ∴方程表示点(1,-1). 2 2 2 2 2 2 曲线的方程是曲线的代数体现,判断方程表示什么曲线,可根据方程的特点利用配方、 因式分解等方法对已知方程变形,转化为我们熟知的曲线方程,在变形时,应保证变形过程 的等

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