山东省梁山一中10-11学年高二数学下学期期末考试 理 新人教A版【会员独享】


山东省梁山一中 2010—2011 学年高二下学期期末考试数学(理)
一、选择题: (本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.已知 x 与 y 之间的一组数据如右,则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过( ) x 0 y 1

1 3

2 5

3 7

A.点 ?2,2?

B.点 ?1.5,0?

C.点 ?1,2?

D.点 ?1.5,4?

2. 设某种植物由出生算起长到 1m 的概率为 0.8,长到 2m 的概率为 0.4,现有一个 1m 的这 种植物,它能长到 2m 的概率是( ) A.0.32 B.0.4 C.0.5 D.0.8 3.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中,直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相交,则 k 的取值范围是( ) 。 A 4

k??

3 4

B

k??

3 4

C

k?R

D

k ?R但k ? 0

6 本不同的书平均分成三堆,每堆两本,不同的分法种数是( ) 2 2 C62C4 C2 2 2 3 A C6 C4 B C 6 A3 D C6 3 3 A3 5.分类变量 X 和 Y 的列联表如右:则下列说法中正确的是( )
A.ad-bc 越小,说明 X 与 Y 关系越弱 B.ad-bc 越大,说明 X 与 Y 关系越强 C.(ad-bc)2 越大,说明 X 与 Y 关系越强 D.(ad-bc)2 越接近于 0,说明 X 与 Y 关系越强 y1 a c 总计 a+c x1 x2 y2 b d b+d
总计

6 不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有( ) A 3个 B 4个 C 6个 D 7个 7 从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为( ) A 120 B 240 C 280 D 60 8、锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征完 全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( )

a+b c+d a+b+c+d

8 25 48 60 B. C. D. 91 91 91 91 2 n 2n ( 1 ? x ? x ) ? a0 ? a1 x ? ? ? a2n x , 则 a2 ? a4 ? ? ? a2n 的值为( 9、设
A. A.



3 ?1 2
n

B.

3 ?1 2
n

C.

3n ? 2

D.

3n

10、.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向 上或向右, 并且向上、 向右移动的概率都是 的概率为( ( )1 ) ( )

1 2 2 .质点 P 移动 5 次后位于点 ( x, y), 则x ? y ? 25 2 7 8 13 16

15 16

( )

( )

11 、 设 x,y 满 足 约 束 条 件 ① 3x-y-2 ≤ 0 , ② x-y ≥ 0, ③ x ≥ 0, ④ y ≥ 0, 若 目 标 函 数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 1,则 A

25 6

B

8 3
2

1 1 ? 的最小值为( a b 11 C D 4 3

)

12、已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称, 若对任的 x,y∈R,不等式 f( x -6x+21)+f( y 2 -8y)<0 恒成立,则当 x>3 时, x2 ? y 2 的取值 范围是( B (9,25) C (13,49) D (9,49) 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置 ) A (3,7)

?0 1? ? . ? 作用下变换的结果是曲线方程 2 ?1 0? 14.若随机变量 X ~ N (? , ? 2 ) , ? ? 8 且 p(x<4)=a, 则 p(x<12)=________(用 a 表示) 3 15. ( x ?1) ? ( x ?1)2 ? ( x ?1)3 ? ( x ?1)4 ? ( x ?1)5 的展开式中的 x 的系数是___________
13.曲线 y= log x 在矩阵 M= ? ? 16 马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表:

x
P(? ? x)

1 ?

2 !

3 ?

请小牛同学计算 ? 的数学期望.尽管“! ”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断 定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E? = .

三、解答题: (共六个小题满分 70 分, 17 题 10 分,,18—22 题每题都 12 分)

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 17.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 2 ?y ? 5 ? t ? 2 ? 在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极
轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 ① 求圆 C 的直角坐标方程;

②设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5 ) ,求|PA|+|PB|。

18.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 x , ( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小值;

(Ⅱ)已知 m ? R ,命题 p:关于 x 的不等式 f ( x ) ? m2 ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立;命题

q :指数函数 y ? (m2 ? 1) x 是增函数.若“p 或 q”为真, “p 且 q”为
假,求实数 m 的取值范围.

19、如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形 ABCD 是正方形,侧面 PDC 是边长为 a 的正三角 形,且平面 PDC⊥平面 ABCD,E 为 PC 的中点. (1)求异面直线 PA 与 DE 所成的角的余弦值.

(2)求点 D 到平面 PAB 的距离.

20. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万

元。设该公司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R ? x ? 万元,

1 2 ? 10.8 ? x , 0 ? x ? 10 ? ? 30 且 R ? x? ? ? ? 108 ? 1000 , x ? 10 ? 3 x2 ? x (1)写出年利润 W ? 万元? 关于年产量 x ? 千件? 的函数解析式;

(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大。 (注:年利润=年销售收入-年总成本)

21. (12 分)已知 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右 焦点,已知点 a 2 b2

N (?

a2 , 0) 满足 F1F2 ? 2 NF1 , 且 F1 F2 ? 2 。 设 A, B 是上半椭圆上且满足 NA ? ? NB 的 c

两点。 (1)求此椭圆的方程;

(2)若 ? ?

1 ,求直线 AB 的斜率。 3

2 2 22. 设函数 f ? x ? ? ax ? 2, g ? x ? ? a x ? 2 ? ln x ,其中 a ? R , x ? 0 。

(1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? g ? x ? 在 1, g ? 1? 点处的切线方程;

?

?

(2)是否存在负数 a ,使 f ? x ? ? g ? x ? 对一切正数 x 都成立?若存在,求出 a 的取值范围; 若不存在,请说明理由。

答案:
一.选择题: (本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 9.B 10.B 11.D12.C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. x 13. y= 2 14. 1-a 15..15 16.2 17.解:①由 ? ? 2 5 sin ? ,向 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 , 即

x2 ? ( y ? 5)2 ? 5

…………5 分

②将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

2 2 2 2 t) ? ( t ) ? 5 ,即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 。 2 2 2 由于△= (3 2) ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 、 t 2 是上述方程的两实根。
得 (3 ?

所以 ? 1

?t ? t2 ? 3 2 ? , t t ? 4 ? ?12

又直线 l 过点 P (3, 5 ) ,故由上式及 t 的几何意义 得|PA|+|PB|= | t1 | + | t2 | = t1 + t 2 = 3 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 18.解: (Ⅰ)由 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | ?2 x 得
? ?? x ? 1, x ? ?2, ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 3, ? 2 ? x ? , 2 ? 1 ? 5 x ? 1, x ? , ? ? 2 作出函数 f ( x) 的图象,

可知函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值 1. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4分
2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 m ? 2m ? 2 ? 1 ,

2 即 m ? 2m ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? m ? 1 ,

∴命题 p: ?3 ? m ? 1 .

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分

2 2 2 x 对于命题 q,函数 y ? (m ? 1) 是增函数,则 m ? 1 ? 1 ,即 m ? 2 ,

∴命题 q: m ? ? 2 或 m ? 2 .

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分

由“p 或 q”为真, “p 且 q”为假可知有以下两个情形:
? ??3 ? m ? 1, ? ?? 2 ? m ? 2, 解得 ? 2 ? m ? 1 , 若 p 真 q 假,则 ?

。 。 。 。 。 。 。 。10 分

? ?m ? ?3或m ? 1, ? ?m ? ? 2或m ? 2, 解得 m ? ?3 或 m ? 2 , 若 p 假 q 真,则 ?

故实数 m 的取值范围是 (??, ?3) [? 2,1] ( 2, ??) . 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 19.解 如图取 DC 的中点 O,连结 PO, ∵△PDC 为正三角形,∴PO⊥DC 又∵面 PDC⊥面 ABCD ∴PO⊥面 ABCD ∴以 O 为坐标原点 OC、OP 所在直线为 y 轴,z 轴建立如图所示直角坐标系, 则 P(0,0, D(0, ?

a a a 3 a),A(a, ? ,0),B(a, ,0),C(0, ,0), 2 2 2 2

a ,0). 2

(1)∵E 为 PC 的中点,∴E(0,

a 3a , ) 4 4

3 3 a 3 → ∴DE=(0, a, a), PA =(a,- ,- a), 4 4 2 2 a 3 3 3 → 3 PA · DE= a×(- )+ a×(- a)=- a2, 4 2 4 2 4 3 → | PA |= 2a,|DE|= a, 2 → cos〈 PA ,DE〉=

PA· DE 6 , ?? 4 | PA |? | DE |

6 ∴异面直线 PA 与 DE 所成角的余弦值为 4 .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 a 3 (2)由(1)知 PA =(a,- ,- a), 2 2

AB =(0,a,0), DA =(0,a,0),
设平面 PAB 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n⊥ PA ,n⊥ AB =(0,a,0), a 3 PA =xa-2y- 2 az=0① ∴n· n·AB =ya=0② 3 az=0 2 令 x= 3,则 z=2,∴n=( 3,0,2). 由②得 y=0,代入①得 xa- 则 D 到平面 PAB 的距离 d 等于

DA 在 n 上射影的绝对值.

d?

DA ? n n


| 3a| 21 = a, 7 7

21 即点 D 到平面 PAB 的距离等于 7 a. 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 20 解: (1)当 0 ? x ? 10 时, W ? xR ? x ? ? (10 ? 2.7 x ) ? 8.1 x ?

x3 ? 10 。……(1 分) 30

当 x ? 10 时, W ? xR ? x ? ? (10 ? 2.7 x ) ? 98 ?

1000 ? 2.7 x ,………………(2 分) 3x

? x3 8.1 x ? ? 10, 0 ? x ? 10 ? ? 30 ………………………………………………(4 分) ?W ? ? ? 98 ? 1000 ? 2.7 x , x ? 10 ? 3x ?
/ (2)①当 0 ? x ? 10 时,由 W ? 8.1 ?

x2 ? 0, 得x ? 9 。……………………(5 分) 10

/ / 当 x ? ? 0,9? 时, W ? 0 ;当 x ? ? 9,10 时, W ? 0 ,

?

? 当 x ? 9 时,W 取得最大值,即 Wmax ? 8.1 ? 9 ?

1 ? 93 ? 10 ? 38.6 。……(7 分) 30

②当 x ? 10时 , W ? 98 ? (

1000 1000 ? 2.7 x ) ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 , 3x 3x

当且仅当

1000 100 ? 2.7 x ,即x ? 时,W 取得最大值38. ……………………(9 分) 3x 9

综合①②知:当 x ? 9 时, W 取得最大值为 38.6 万元。 故当年产量为 9 千件是,该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大(12 分) 21.解:(1)由于 F1 F2 ? 2NF1 , | F1 F2 |? 2 ,

? 2c ? 2 ? ? a2 ? 2( ? c ) ? 2c 2 ? ?a ? 2 ? c ? 2 ? a2 ? b2 ? c2 ?b ? 1 ? ∴ ,解得 ? ,

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆的方程是 2 ……………………………………………5 分
(2)∵ NA ? ? NB ,∴ A, B, N 三点共线, 而 N (?2,0) ,设直线的方程为 y ? k ( x ? 2),(k ? 0) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 2 ?x 2k 2 ? 1 2 4 2 ? y ? 1 y ? y?2?0 ? k k2 由? 2 消去 x 得:
4 2k 2 ? 1 2 ? ? ( )2 ? 8 ? ?0 0?k ? 2 k 2 ……………………………….7 分 k 由 ,解得

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由韦达定理得

y1 ? y 2 ?

4k 2k 2 , y y ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ①,

1 1 1 NA ? NB ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) y1 ? y2 3 3 3 ②. 又由 得: ,∴

4k ?4 y2 ? 2 ? ?3 2k ? 1 ? 2 ? 1 y 2 ? 2k 2 2k 2 ? 1 , ?3 将②式代入①式得: ?
16 8 ? 2 y 2k ? 1 消去 2 得: 3
解得 k ?

1 ………………………………………………………..12 分 2

2 22 解: (1)由题意可知:当 a ? 2 时, g ? x ? ? 4 x ? ln x ? 2 ,

则g

/

? x? ? 8x ?

1 。……………………………………………………(2 分) x

曲线 y ? g ? x ? 在点 1, g ? 1? 处的切线斜率 k ? g / ?1? ? 7 。 又 g ?1? ? 6 …………………………………………………………………(3 分) 曲线 y ? g ? x ? 在点 1, g ? 1? 处的切线方程为 y ? 6 ? 7( x ? 1) ,即 y ? 7 x ? 1 。 (5 分) (2) 设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? ln x ? a x ( x ? 0) 。
2 2

? ?

? ?

假设存在负数 a ,使 f ? x ? ? g ? x ? 对一切正数 x 都成立。 即当 x ? 0 时, h ? x ? 的最大值小于等于零。

h/ ? x ? ? a ?

1 ?2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 2a 2 x ? ( x ? 0) ………………………(7 分) x x
1 1

令h

/

。……………………………(8 分) ? x ? ? 0 可得 x1 ? ? 2a , x2 ? a (舍)

当0 ? x ? ?

1 / 时, h ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增; 2a

当x??

1 时, h/ ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减。 2a 1 处有极大值,也是最大值。 2a

所以 h ? x ? 在 x ? ?

? h ? x ?max

3 1 ?4 ? 1 ? ? h ? ? ? ? 0 ,解得 a ? ? e …………………(10 分) 2 ? 2a ?

3 1 ?4 所以负数 a 存在,它的取值范围为 a ? ? e ……………………(12 分) 2


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