导数近三年高考题教师用


.导数近三年高考题
函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在 x ?
3 2

处取得极小值.

解析 : f ' (x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3x( x ? 2),? f ( x)的单调递增区间为: (??,0), (2,??), 递减区间为(0,2), ? f ( x)在x ? 2处取得极小值.
广东文 4 .函数 f ( x) ? A. (??, ?1)

1 ? lg( x ? 1) 的定义域是 1? x





C D. (??, ??)

B. (1, ??)

C. (?1,1) ? (1, ??)

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? kx ? x
3 2

?k ? R? .

(1) 当 k ? 1时,求函数 f (x) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f (x) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . 【解析】 f :
'

? x ? ? 3x 2 ? 2kx ? 1
'

(1)当 k ? 1 时 f

? x ? ? 3x 2 ? 2 x ? 1, ? ? 4 ? 12 ? ?8 ? 0

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
(2)当 k ? 0 时, f
2

'

? x ? ? 3x 2 ? 2kx ? 1,其开口向上,对称轴 x ? k

(i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即

3

1? ,且过 ? 0,

' ? 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单调递增,

从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k , 当 x ? ?k 时, f ? x ? 取得最大值

k

-k
k 3

x?

M ? f ? ?k ? ? ?k 3 ? k 3 ? k ? ?2k 3 ? k .
( ii ) 当

k

?

4k 2 ?

1 2 ?

?

?4 k

??

? k 3

?

? ,3 即 ? 0 ? ? 3 k

时 , 令

f ' ? x ? ? 3x 2 ? 2kx ? 1 ? 0
解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 , , x2 ? 2 1 3 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ?

1 2k ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结 , x1 ? x2 ? 3 3
1

合图像判断)

? m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ?? , M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
? f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,
3 2 ? f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3

解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ? ? k , ?k ? ,都有

f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x 2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? k ? f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x 2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k ) 2 ? k 2 ? 1] ? 0
3 故 f ? x ? ? f ? ?k ? ,而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k ? k ? 0

所以 f ( x) max ? f (?k ) ? ?2k ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k ks5u
3

【解析】 :看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了: 结合图像感知 x ? k 时最小, x ? ?k 时最大,只需证 f ? k ? ? f ? x ? ? f ? ?k ? 即可,避免 分类讨论.本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了 2012 年 高 考 年 报 的 “ 对 中 学 12 . 设 函 数 f ( x) ? x 3 c o xs? 1. 若 f (a) ? 11 , 则

f ( ?a ) ?

.-9

19. (本小题满分 14 分) 设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x 的单调性.

2

解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞)

f '( x ) ?

2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 , x

1 当a ? 1时,方程2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 ? 0的判别式? ? 12(a ? 1)(a ? ) 3 1 ①当0<a ? 时,? ? 0, f '( x )有2个零点 3 x1 ? (a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? ? 0, x2 ? ? , 2a 2a (1 ? a ) 2a 2a (1 ? a )

且当0 ? x ? x1或x ? x2时,f '( x ) ? 0, f ( x )在(0, x1 )与( x2 , ??)内为增函数; 当x1 ? x ? x2时,f '( x ) ? 0, f ( x )在( x1 , x2 )内为减函数 1 ②当 ? a ? 1时,? ? 0, f '( x ) ? 0, f ( x )在(0, ??)内为增函数; 3 1 ③当a ? 1时,f '( x ) ? ? 0( x ? 0), f ( x ) 在(0, ??)内为增函数; x ④当a ? 1时,? ? 0, x1 ? (a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? ? 0, x2 ? ? ? 0, 所以f '( x )在定义域内有唯一零点x1; 2a 2a (1 ? a ) 2a 2a (1 ? a )

且当0 ? x ? x1时,f '( x ) ? 0, f ( x )在(0, x1 )内为增函数;当x ? x1时,f '( x ) ? 0, f ( x ) 在( x1 , ??)内为减函数;
综上所述,f(x)的单调区间如下表:

0?a?
(0, x1 )

1 3
( x2 , ??)

1 ? a ?1 3
(0, ??) ?
(0, x1 )

a ?1
( x1 , ??)

( x1, x2 )

?
x1 ?
(其中

?

?

?

?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? , x2 ? ? 2a 2a (1 ? a ) 2a 2a (1 ? a ) )


【2012 高考真题广东理 12】曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0

【解析】 y? ? 3x ? 1 ,当 x ? 1 时, y? ? 2 ,此时 k ? 2 ,故切线方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,
2

即 2x ? y ? 1 ? 0 。 【2012 高考真题广东理 21】 (本小题满分 14 分) 设 a<1,集合 A ? {x ? R | x ? 0} , B ? {x ? R | 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a} , D ? A ? B 。
2

(1)求集合 D(用区间表示) ; (2)求函数 f ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点.
3 2

3

【答案】本题是一个综合性问题,考查集合与导数的相关知识,考查了学生综合解决问题的 能力,难度较大.

( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 ( 理 ) 卷 ( 纯 WORD 版 ) 设 函 数 )

f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? kx 2 (其中 k ?R ).
(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M .
【 答 案 】

?1 ? ?2 ?

(Ⅰ)



f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? x 2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

k ?1



,

x
f ?? x?

? ??, 0 ?
?

0 0

? 0, ln 2 ?
?

ln 2
0

? ln 2, ?? ?
?
4

f ? x?





?

大 值

?

小 值

?

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0, ln 2 ? ,递增区间为 ? ??, 0 ? , ? ln 2, ?? ? . (Ⅱ)

f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2kx ? xe x ? 2kx ? x ? e x ? 2k ? , 令 f ? ? x ? ? 0 , 得

x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? ,
令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ?

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ? ? 0, k ? 所以当 x ? 0, ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k
k

?

?

?

?

?

?

?

3

? ?
, 令 ? ? k ? ? e ? 3k , 则
k

k 令 h ? k ? ? ? k ? 1? e ? k ? 1 , 则 h? ? k ? ? k e ? 3k

k

3

?

? ? ? k ? ? ek ? 3 ? e ? 3 ? 0
所以 ? ? k ? 在 ?

3? ?1 ? ?1? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2? ? ?2 ? ?1 ? ?1 ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时 , ? ? k ? ? 0 ,当 k ? ? x0 ,1? ?2 ? ?2 ?

所以存 在 x0 ? ? 时, ? ? k ? ? 0 , 所以 ? ? k ? 在 ?

?1 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. ?2 ?

因为 h ?

1 7 ?1? ?1 ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 ,所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 ??? 2 8 ?2? ?2 ?

k ? 1 时取得“ ? ”.
综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ? 1? e ? k .
k 3

5


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