2017届河北省武邑中学高三上学期第四次调研数学(文)试题


数学试题(文科)
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上. 1. 已知集合 A=?x x2 ? 4x ? 12 ? 0? , B ? ?x 2x ? 2? ,则 A ? B ( A. ?x x ? 6? B. ?x x ? 2? ) C. 4 ) D. 4 2 C. ?x ? 6 ? x ? 2? ) D. ?x 1 ? x ? 2?

2.双曲线 2x2 ? y2 ? 8 的实轴长是( A. 2 B. 2 2

3.下列命题的说法错误的是(

A.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题. B.“ x ? 1 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.对于命题 p : ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 . D.命题“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为:“若 x ? 1 ,则 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” 4. 函数 y ? x 3 的图象大致形状是(
2



A

B

C

D. )

n, 5.已知两个不同的平面 a ,? 和两条不重合的直线 m , 则下列四个命题中不正确的是 (

A.若 m / / n , m ? a ,则 n ? a C.若 m ? a , m / / n , n ? ? ,则 a ? ?

B.若 m ? a , m ? ? ,则 a / / ? D.若 m / / a , a ? ? ? n ,则 m / / n

6. 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a1 , a3 , a 4 成等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 和,则
S3 ? S 2 的值为( S5 ? S3

) B. 3 C. ?2
1第

A. 2


D. ?3

3 O 为坐标原点, 7. 若抛物线 y 2 ? 2 x 上一点 M 到它的焦点 F 的距离为 , 则 ?MFO 的面积为 ( 2



A.

2 2

B.

2 4

C.

1 2

D.

1 4

8. 以 ? a,1? 为圆心, 且与两条直线 2 x ? y ? 4 ? 0 及 2 x ? y ? 6 ? 0 同时相切的圆的标准方程为 ( A. x2 ? ? y ? 1? ? 5
2



B. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

C. ? x ? 1? ? y2 ? 5
2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

b ? ?sin 20?,cos20?? , 9. 向量 a ? ? cos25?,sin 25?? , 若 t 是实数, 且 u ? a ? tb , 则 u 的最小值为 (

?

?

?

?

?

?



A. 2

B. 1

C.
6

2 2

D.

1 2

? 10. 将函数 f ? x ? ? 2cos 2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g ? x ? 的图象,若函数 g ? x ? 在区

间 ? 0, ? 和 ? 2a, ? 上均单调递增,则实数 a 的取值范围是( 6 ? ? 3? ?
? ? A. ? , ? ?3 2?

?

a?

?

7? ?


? ?4 8 ?

? ?

? ? B. ? , ? ?6 2?

? ?

? ? C. ? , ? ?6 3?

? ?

? D. ? ,

? 3? ?

11.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的增函数, 函数 y ? f ? x ? 1? 的图像关于 ?1,0 ? 对称, 若对任意 x ,
2 2 2 2 y ? R ,不等式 f x ? 6x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 恒成立,则当 x ? 3 时, x ? y 的取值范围是(

?

?

?

?



A. ? 3,7 ? 12.已知函数 f ? x ? ? A. ?2

B. ? 13,7 ?

C. ?9,49?

D. ?13, 49 ? )

x ? sin ? x 在 ? 0,1? 上的最大值为 m , 在 ?1, 2? 上的最小值为 n , 则 m? n ? ( x ?1

B. ?1

C. 1

D. 2

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知函数 y ? 14.已知 sin ?
ln x 在点 ? m, f ? m?? 处的切线平行于 x 轴,则实数 m ? ______. x

? 5? ? 1 ? a ? ? ,那么 cos 2a ? ______. ? 2 ? 4

15. .已知某棱锥的三视图如图(最左侧是正视图)所示,俯视图为正方形及一条对角线,根 据图中所给的数据,该棱锥外接球的体积是_____.



2第

?? x ? a ? 2 , x ? 0 ? 16.设 f ? x ? ? ? 1 ,若 f ? 0 ? 是 f ? x ? 的最小值,则实数 a 的取值范围为_____. ? x ? ? a, x ? 0 x ?

三、解答题:大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 2a cos B ? 2c ? b . (1)求 A 的大小; (2)若 a ? 2 , b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ? ? ? n ? 1? ? 2n ,又数列 ?bn ? 满足 : an ? bn ? n . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)当 ? 为何值时,数列 ?bn ? 是等比数列?并求此时数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ? AA1 ? 平面 ABC , ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 3 . (Ⅰ)过 BC 的截面交 A1 A 于 P 点,若 ?PBC 为等边三角形,求出点 P 的位置; (Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,求四棱锥 P ? BCC1 B1 与三棱柱 ABC —A1 B1C1 的体积比.

20.(本小题满分 12 分) 如图,已知 ?ABC 的边 AB 所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , M ? 2,0? 满足 BM ? MC ,点 T ? ?1,1? 在
??? ? ??? ? AC 边所在直线上且满足 AT ? AB ? 0 . ???? ? ???? ?



3第

(1)求 AC 边所在直线的方程; (2)求 ?ABC 外接圆的方程; (3)若动圆 P 过点 N ? ?2,0? ,且与 ?ABC 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
? 6? x2 y 2 6 1, ? 2 ? 1 , ? a ? b ? 0? 的离心率 ,且过点 ? ? 2 ? ?. a b 3 ? 3 ?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设与圆 O : x2 ? y 2 ? 相切的直线 l 交椭圆 C 与 A , B 两点,求 ?OAB 面积的最大值及取得 最大值时直线 l 的方程. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? ax ? 1? ,其中 a ? 0 . (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2) 若函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 内至少有 1 个零点,求实数 a 的取值范围;
3 4

数学试题(文科)答案
一、选择题: DCABD ABACA DD 二、填空题:13. e 三、17.
页 4第

14. ?

7 8

15.

8 2 ? 3

16. 0 ? a ? 2

解法一:? 2a cos B ? 2c ? b ,由余弦定理得 2a ? 即 b2 ? c2 ? a2 ? bc 根据余弦定理,有 cos A ? 又 O ? A ? ? ,故 A ?
?
3

a 2 ? c 2 ? b2 ? 2c ? b 2ac

b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? 2bc 2bc 2

??b ? c ? ? 3bc ? 4 ,又 b ? c ? 4 , ? bc ? 4
2

1 ? S?ABC ? bc sin A ? 3 2

18.解:解:(Ⅰ)由 Sn ? ? ? ? n ? 1? ? 2n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ? ;当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ? n ? 1? ? 2n ? ? n ? 2? ? 2n?1 ? n ? 2n?1 , 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?
? ?? ? n ? 1? , n ?1 ? ?n ? 2 ? n ? 2 ?

?1 ? ? ? n ? 1? , (Ⅱ)由 an ? bn ? n 有 bn ? ? 则数列 ?bn ? 为等比数列, ? n ?1 ?? 1 ? ? n ? 2 ? ? ? ? ?? 2 ?

则首项为 b1 ?

1

?

满足 n ? 2 的情况,故 ? ? 1 ,
b1 ?1 ? q n ? 1? q 1 2n ? 2 ? 1 ? 1 ? ? ? n ? 1 ? 2 ? 1? 2 1?
? ? ? ?1, 2 ? ?

则 b1 ? b2 ? …+bn ?
? ? 1 2n

而 2 ?1 ?

1 ? ? ? 是单调递增的,故 b1 ? b2 ? …+bn ? 2 ?1 ? n ? ? 2

19.(1)由题意 PC ? PB ? 2 2 ,

2分 4分 6分 7分

在三棱柱中,由 AA1 ? 平面ABC 且 AB ? AC ? 2 可得, PA ? 2 , 故点 P 的位置为 AA1 的三等分点,且靠近 A1 处 (2)由(1)可知, VABC ? A B C ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 6 ,
1 1 1

1 2



5第

1 1 2 Vp ? A1B1C1 ? ? ? 2 ? 2 ?1 ? 3 2 3 1 1 4 Vp ? ABC ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , 3 2 3

8分 9分

所以 Vp ? BCC * ? 6 ? ? ? 4 ,所以所求两个几何体的体
1 1

4 3

3 2

20. 试题解析:(1)? AT ? AB ? 0,? AT ? AB ,又 T 在 AC 上,
? AT ? AB ,? ?ABC 为 Rt ?ABC ,
??? ? ??? ?

又 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,所以直线 AC 的斜率为 ?3 ,又因为点 T ? ?1,1? 在直线 AC 上,所以 AC 边所在直线的方程为: y ? 1 ? ?3? x ? 1? ,即 3x ? y ? 2 ? 0 . (2) AC 与 AB 的交点为 A ,所以由 ?
???? ? ???? ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, ?3x ? y ? 2 ? 0,

解得点 A 的坐标为 ? 0, ?2? ,? BM ? MC ,? M ? 2,0? 为 Rt ?ABC 斜边上的中点,即为 Rt ?ABC 外接 圆的圆心,又 r ? AM ? ? 2 ? 0 ? ? ? 0 ? 2 ? ? 2 2 ,
2 2

从而 ?ABC 外接圆的方程为: ? x ? 2? ? y2 ? 8 .
2

(3)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 ,即 PM ? PN ? 2 2 . 故点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ? 2 ,半焦距 c ? 2 . 所以虚半轴长 b ? c2 ? a2 ? 2 . 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为
x2 y 2 ? ?1 x ? ? 2 . 2 2

?

?



6第

2 ?1 ? 2 ?1 2 ? 3b ?a 解(1)由题意可得: ? ?c ? 6 ? 3 ?a

2分

a2 ? 3, b2 ? 1,?

x2 ? y2 ? 1 3
3 3 ,? y ? ? , 2 2

4分

(2)①当 k 不存在时, x ? ?
? S?OAB ? 1 3 3 ? 3? ? 2 2 4

5分

②当 k 不存在时,设直线为 y ? kx ? m ,
A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
? x2 2 ? ? y ?1 , 1 ? 3k 2 x2 ? 6km ? 3m2 ? 3 ? 0 ?3 ? y ? kx ? m ?

?

?

6分 7分 8分 10 分

x1 ? x2 ?

?6km 3m2 ? 3 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

d ? r ? 4m2 ? 3?1 ? k 2 ?

1 ? 10k 2 ? 9k 4 4k 2 ? ?6km ? AB ? 1 ? k 2 ? ? 3 ? ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 ? 6k 2 ? 9k 4 1 ? 6k 2 ? 9k 4 ? 1 ? 3k ?
? 3 ? 1? 4 ?2 1 2 ? 9 k ? 6 k2

当且仅当
? S ?OAB ?

1 3 ? 9k 2 ,即 k ? ? 时等号成立 2 3 k

11 分

1 1 3 3 AB ? r ? ? 2 ? ? , 2 2 2 2 3 3 ,此时直线方程 y ? ? x ? 1 . 2 3

? ?OAB 面积的最大值为

12 分

21.(1)依题意知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , 且 f ' ? x ? ? ? 2a 2 x ? a ?
1 x 2a 2 x ? ax ? 1 ? 2ax ? 1?? ax ? 1? ? ,??????2 分 ?x ?x

当 a ? 0 时, f ? x ? ? ln x ,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增;??????3 分
页 7第

当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 得 0 ? x ?

1 1 ? 1 ? ,由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? ,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增,在 2a 2a ? 2a ?

? 1 ? ? , ?? ? 上单调递减:??????4 分 2 a ? ? 1? 1 1 ? 当 a ? 0 时由 f ' ? x ? ? 0 得 0 ? x ? ? ,由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? ? ,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上单调递增,在

a

a

?

a?

? 1 ? ? ? , ?? ? 上单调递减:??????5 分 ? a ? ? (2)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 1 ? 内有 1 个零点 x0 ? 1 ;??????6 分 2a ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 上单调递增,在 ? , ?? ? 上单调递减: 2a ? ? 2a ?

? 当 a ? 0 时,由(1)知函数 f ? x ? 在 ? 0,

①若

1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,由于当 x ? 0 时, f ? x ? ? ?? 且 2a 2

f ?1? ? ?a2 ? a ? 0 ,知函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 内无零点;??????7 分

②若 0 ?

1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ,即 a ? 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? ,1? 上单调递减,要使函数 f ? x ? 2a 2 ? 2a ? ? 2a ?
1 ? 1 1 4 3 ? ? 0 ,即 ? a ? e ;??????9 分 2 2 ? 2a ? a? ? a ?

? 在 ? 0,1? 内至少有 1 个零点,只需满足 f ?

1? ? ? 1 ? 当 a ? 0 时,由(1)知函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上单调递增,在 ? ? , ?? ? 上单调递减; ?

1 ③若 ? ? 1 ,即 ?1 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,由于当 x ? 0 时, f ? x ? ? ?? ,且 a
f ?1? ? ?a2 ? a ? 0 ,知函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 内有 1 个零点;??????10 分
1? 1 ? ? 1 ? ④若 0 ? ? ? 1 ,即 a ? ?1 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上单调递增,在 ? ? ,1? 上单调递减:由于当 a a ? ? ? a ?
? 1? ? 1? x ? 0 时, f ? x ? ? ?? ,且当 a ? ?1 时, f ? ? ? ? ln ? ? ? ? 0 ,知函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 内无零 a ? ? ? a?

点:??????11 分 综上可得: a 的取值范围是 ? ?1,0? ? ? , e 3 ? .??????12 分
? ?1 1 ?2 2
4

?



8第


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