高三数学-2018年北京四中数学第三次统测(L) 精品


2018 年北京四中数学第三次统测(理科) 一、选择题:(每小题 5 分) 1. 在正实数集上定义一种运算*: 当 时, a*b=b3: 当 ) 时, a*b=b2。 根据这个定义,满足 3*x=27 的 x 的值为( A.3 B.1 或 9 C.1 或 D.3 或 2. 函数 的部分图象大致是( ) A. B. C. D. 3. 在 的展开式中,含 -2 公差为 3 的等差数列的( ) 项的系数是首项为 A.第 13 项 B.第 18 项 C.第 11 项 D.第 20 项 4. 若将函数 的图象按向量 平移,使图象上点 P 的坐标由(1, ) 0)变为(2,2),则平移后图象的解析式为( A. C. B. D. 5. 一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面, 球心到这个平面的距离是 4cm, 则该球的体积是( ) A. B. C. D. 6. 已知函数 是( A.2 B.3 ) 在点 处连续,则 的值 C.-2 D.-4 7. 已知 , ,点 C 在坐标轴上,若 的点 C 的个数为( ) D. 4 ,则这样 A.1 B.2 C.3 8. 设数集 都是集合 的“长度”,那么集合 , 的子集, 如果把 叫做集合 ) ,且 的“长度”的最小值是( A. B. C. D. 二、填空题:(每小题 5 分) 9. 若 (m∈R+)是纯虚数,则 _____. 的值为_____, 的虚部是 10. 在数列 数列 前 中, 若 且对任意 有 则 项的和为_____,前 项和最小时的 等于_____. 11. 若 ,则目标函数 的取值范围是_____. 12. 向量 a、b 满足(a-b)·(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,则 a 与 b 夹角的余弦值等于_____. 13. 已知 P 是抛物线 上的动点,定点 A(0,-1),若点 M 分 所成的比为 2,则点 M 的轨迹方程是 _____,它的焦点坐标是_________. 14. 若定义在区间 D 上的函数 对于 D 上的任意 n 个值 , 总满足 ,则 称 为 D 上的凸函数. 现已知 中, 三、解答题 15. (本小题满分 13 分) 在 上是凸函数, 则锐角 的最大值是_________. 矩形 ABCD,AB=4,BC=3,E 为 DC 中点,沿 AE 将Δ AED 折起,使二 面角 D-AE-B 为 60°。 (I)求 DE 与平面 AC 所成角的大小; (II)求二面角 D-EC-B 的大小。 16. (本小题满分 13 分) 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答 对其中的 6 道题, 乙能答对其中的 8 道题, 规定每位考生都从备选题中随机抽 出 3 道题进行测试,至少答对 2 道题才算合格。 (1) 求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少? (2) 求乙答对试题数 的概率分布及数学期望。 17. (本小题满分 14 分) 设函数 (1)试确定 (2)求 的值; 的单调区间. 在 时取得极值. 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 (1) 求 的值,使点 为 ; . 到直线 的距离最短 (2) 若不等式 在 恒成立,求 的取值范围. 19. (本小题满分 13 分) 直线 与曲线 交于 ( 异于原点 ) ; 过 且斜率为 的直线与曲线 交于 ( 异于 );过 且斜率为 的直线与 曲线 曲线 ( 交于 交于 ). ( ( 异于 异于 ),……, 过 且斜率为 坐标为 的直线与 , ),……。设 (Ⅰ)求 (Ⅱ)判定 和 的表达式; 是否存在,若存在,求它的值;若不存在,说明理由. 20. (本小题满分 13 分) 已知 顶点, 为椭圆 和双曲线 的公共 的动点,且有 的斜率分别 分别为双曲线和椭圆上不同于 , 设 是 . (1)求证 (2)设 ; 分别为 双曲 线和椭 圆的 右焦点 ,若 的值. ∥ ,求 答案 一、选择题:(每小题 5 分) 1、D 2\C 3\D 4\C 5\C 6\B 7\C 8\C 二、填空题:(每小题 5 分) 9. -8 10 、 4 或 5 11 、 [8 , 14] 12、 13、y=6x2-1(x≠0) 14 15.如图 1,过点 D 作 DM⊥AE 于 M,延长 DM 与 BC 交于 N,在翻折过程 中 DM⊥AE,MN⊥AE 保持不变,翻折后,如图 2,∠DMN 为二面角 D-AE-B 的平面角,∠DMN=60°,AE⊥平面 DMN,又因为 AE AC⊥平面 DMN。 平面 AC,则平面 (I)在平面 DMN 内,作 DO⊥MN 于 O, ∵平面 AC⊥平面 DMN, ∴DO⊥平面 AC。 连结 OE,DO⊥OE,∠DEO 为 DE 与平面 AC 所成的角 如图 1,在直角三角形 ADE 中,AD=3,DE=2, , 。 如图 2,在直角三角形 DOM 中,DO=DM·sin60°= , 在 直 角 三 角 形 DOE 中 , , 则 。 ∴DE 与平面 AC 所成的角为 。 (II)如图 2,在平面 AC 内,作 OF⊥EC 于 F,连结 DE, ∵DO⊥平面 AC,∴DF⊥EC,∴∠DFO 为二面角 D-EC-B 的平面角。 如图 1,作 OF⊥DC 于 F,则 RtΔ EMD∽RtΔ OFD, ,∴ 。 如图 2,在 RtΔ DOM 中,OM=DMcos∠DMO=DM·cos60°= . 如图 1,DO=DM+MO 。 在 RtΔ DFO 中, , ∴二面角 D-EC-B 的大小为 。 16. 解:(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B 则 (2)乙答对试题数ξ

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