2019精选教育高中数学数系的扩充与复数的引入综合检测(带答案).doc


高中数学数系的扩充与复数的引入综合检测(带 答案)
第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在 每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.复数 z 是实数的充分而不必要条件为() A.|z|=z B.z=z C.z2 是实数 D.z+z 是实数 [答案] A [解析] 由|z|=z 可知 z 必为实数,但由 z 为实数不一定得 出|z|=z,如 z=-2,此时|z|z,故|z|=z 是 z 为实数的 充分不必要条件,故选 A. 2.(2019 湖北理,1)若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表 示复数 z,则表示复数 z1+i 的点是() A.E B.F C.G D.H [答案] D [解析] 由图可知 z=3+i, z1+i=3+i1+i=(1-i)(3+i)(1-i)(1+i)=4-2i2= 2-i,对应复平面内的点 H,故选 D. 3.(2019 荷泽高二期中)化简 2+4i(1+i)2 的结果是()
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A.2+i B.-2+i C.2-i D.-2-i [答案] C [解析] 2+4i(1+i)2=2+4i2i=2-i. 4.在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1 +2i、-2+i、0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复 数为() A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i [答案] D [解析] 在复平面内通过这四个点易知第四个顶点对应的 复数为-1+3i. 5.(2019 新课标全国文,3)已知复数 z=3+i(1-3i)2,则 |z|=() A.14 B.12 C.1 D.2 [答案] B [解析] 由题知:z=3+i(1-3i)2=3+i-2-23i=(3+ i)(-2+23)(-2-23i)(-2+23i)=-34+14i,可得|z| =(-34)2+(14)2=12,故选 B. 6.当 z=-1-i2 时,z100+z50+1 的值是() A.1 B.-1
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C.i D.-i [答案] D [解析] 原式=-1-i2100+-1-i250+1 =1-i2250+1-i2225+1 =(-i)50+(-i)25+1=-i.故应选 D. 7.复数(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数 b=() A.2 B.12 C.-12 D.-2 [答案] A [解析] (1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i 是纯虚数,2 -b=02b+10,b=2. 8.复数 z=-1+i1+i-1,在复平面内 z 所对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] B [解析] z=(-1+i)i(1+i)i-1=(-1+i)i-1+i-1 =-1+i. 9.已知复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1z2 是实数,则实 数 t 等于() A.34 B.43 C.-43 D.-34 [答案] A
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[解析] z1z-2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i.因 为 z1z2 是实数,所以 4t-3=0,所以 t=34.因此选 A. 10.已知复数 z=1-i,则 z2-2zz-1=() A.2i B.-2i C.2 D.-2 [答案] B [解析] ∵z=1-i, z2-2zz-1=-2i-2+2i1-i-1=-2-i=-2i,故选 B. 11.若 z=cos+isin(i 为虚数单位),则使 z2=-1 的值可 能是() A. B. C. D.2 [答案] D [解析] 解法 1:将选项代入验证即可.验证时,从最特殊 的角开始. 解法 2:z2=(cos+isin)2=(cos2-sin2) +2isincos=cos2+isin2=-1, sin2=0cos2=-1,2=2k(kZ), =k2(kZ),令 k=0 知选 D. 12.设复数 z=lg(m2-1)+1-mi,z 在复平面内的对应点 () A.一定不在一、二象限
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B.一定不在二、三象限 C.一定不在三、四象限 D.一定不在二、三、四象限 [答案] C [解析] ∵m2-101-m0,m<-1,此时 lg(m2-1)可正、可 负,1-m>2,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将 正确答案填在题中横线上) 13.已知 x+1x=-1,则 x2019+1x2019 的值为________. [答案] -1 [解析] ∵x+1x=-1,x2+x+1=0. x=-1232i,x3=1. 2019=3668+2,x2019=x3668+2=x2, x2019+1x2019=x2+1x2=x+1x2-2=(-1)2-2 =-1. 14.若 x、y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,则|x| +|y|=________. [答案] 22 [解析] ∵x、y 为共轭复数,x+y、xyR 由复数相等的条件有:(x+y)2=4-3xy=-6 设 x=a+bi(a、bR),则 y=a-bi, (2a)2=4a2+b2=2,|x|+|y|=2a2+b2=22.
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15.若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数 x、y 的值分 别为________. [答案] x=1,y=1 [解析] 原式可以化为 (3y-2x)+(x-10y)i=1-9i, 根据复数相等的充要条件,有 3y-2x=1,x-10y=-9.解得 x=1,y=1. 16.下列命题中,错误命题的序号是____________. ①两个复数不能比较大小;②z1,z2,z3C,若(z1-z2)2+ (z2-z3)2=0,则 z1=z3;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是 纯虚数,则实数 x=1;④z 是虚数的一个充要条件是 z+zR; ⑤若 a,b 是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i 是纯虚数; ⑥复数 zR 的一个充要条件是 z=z;⑦在复数集内,-1 的 平方根是 i;⑧z21+z22=0z1=z2=0. [答案] ①②③④⑤⑧ [解析] ①错误,两个复数如果都是实数,则可比较大小; ②错误,当 z1,z2,z3 不全是实数时不成立,如 z1=i,z2 =1+i,z3=1 时满足条件,但 z1z3;③错误,当 x=-1 时,虚部也为零,是实数;④错误,此条件是必要非充分条 件;⑤错误,当 a=b=0 时,是实数;⑥是正确的;⑦是正 确的;⑧错误,如 z1=i,z2=1 满足 i2+12=0,但 z10, z20.
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三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)复平面内有 A、B、C 三点,点 A 对应 复数是 3+i,向量 AC 对应复数是-2-4i,向量 BC 表示的 复数是-4-i,求 B 点对应复数. [解析] ∵CA 表示的复数是 2+4i, CB 表示的复数是 4+i, AB 表示的复数为(4+i)-(2+4i)=2-3i, 故 OB=OA+AB 对应的复数为 (3+i)+(2-3i)=5-2i, B 点对应的复数为 zB=5-2i. 18.(本题满分 12 分)已知(1+2i)z=4+3i,求 z 及 zz. [解析] 设 z=a+bi,则 z=a-bi(a,bR) (1+2i)(a-bi)=4+3i (a+2b)+(2a-b)i=4+3i a+2b=42a-b=3,a=2,b=1,z=2+i, z=2-i, zz=2+i2-i=(2+i)25=35+45i. 19.(本题满分 12 分)虚数 z 满足|z|=1,z2+2z+1z<0, 求 z. [解析] 设 z=x+yi (x、yR,y0),x2+y2=1. 则 z2+2z+1z=(x+yi)2+2(x+yi)+1x+yi
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=(x2-y2+3x)+y(2x+1)i. ∵y0,z2+2z+1z0, 2x+1=0, ①x2-y2+3x<0, ② 又 x2+y2=1. ③ 由①②③得 x=-12,y=32. z=-1232i. 20.(本题满分 12 分)已知复数 z 满足|z|=2,z2 的虚部为 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z2,z-z2 在复平面内对应的点分别为 A,B,C, 求△ABC 的面积. [解析] (1)设 z=a+bi(a,bR),由已知条件得:a2+b2 =2,z2=a2-b2+2abi,所以 2ab=2. 所以 a=b=1 或 a=b=-1,即 z=1+i 或 z=-1-i. (2)当 z=1+i 时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i.所以点 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ABC=12|AC|1=1221 =1. 当 z=-1-i 时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i. 所以点 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以 S△ABC =12|AC|1=1221=1.即△ABC 的面积为 1. 21.(本题满分 12 分)已知复数 z1,z2 满足条件|z1|=2, |z2|=3,且 3z1+2z2=6,求复数 z1 和 z2.
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[解析] 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 a2+ b2=4,c2+d2=9,由 3z1+2z2=6,得(3a+2c)+(3b+2d)i =6, 由复数相等得 3a+2c=6,3b+2d=0. 解方程组 a2+b2=4,c2+d2=9,3a+2c=6,3b+2d=0, 得 a=1,b=3,c=32,d=-332,或 a=1,b=-3,c= 32,d=332. 所以 z1=1+3i,z2=32-323i,或 z1=1-3i,z2=32+ 323i. 22.(本题满分 14 分)已知复数 z=(2x+a)+(2-x+a)i,x, aR,且 a 为常数,试求|z|的最小值 g(a)的表达式. [解析] |z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+ 2a(2x+2-x)+2a2. 令 t=2x+2-x,则 t2,且 22x+2-2x=t2-2. 从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2, 当-a2,即 a-2 时,g(a)=a2-2; 当-a2,即 a-2 时,g(a)=(a+2)2+a2-2=2|a+1|.
综上可知,g(a)=a2-2 (a-2),2|a+1| (a-2).
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