广东省汕头市潮南区届高三数学下学期考前训练试题文-精


2016 潮南区高三文科数学考前训练题
第Ⅰ卷 一、选择题(共 1 2 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知集合 M ? x ?1 ? x ? 3 (A)M (B)N

?

? ,集合 N ? ?x y ?

? x 2 ? x ? 6 ?, 则 M ? N ? (



(C) x ?1 ? x ? 2

?

?

(D) x ? 3 ? x ? 3? )

?

2、设复数 z 满足 z (2 ? i ) ? 10 ? 5i , ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为( (A) 4 (B) 3 (C) 4i ( D) - 4 )

3、数列{an}满足 an=4an-1+3,a1=0,则此数列的第 5 项是( (A)255 (B)15 (C)20

(D)8 )

4、已知平面向量 a, b 的夹角为 (A) 2 (B) 3

??

? ? ? ? ? , a +2b =2 3 ,则 a = ( ,且 b =1 3
(C) 1 (D) 3 ) (D) x ?

5、将函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 图象的一条对称轴的方程是( 6?
(C) x ?

7? (A) x ? ? 12

7? (B) x ? 12

?
6

?
3
?

y

6、设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的函数,当 x ?[?2,1) 时,

? 12
O

?4 x 2 ? 2, ?2 ? x ? 0, 21 则 f ( f ( )) ? ( f ( x) ? ? 4 ? x, 0 ? x ? 1,
3 (A) 4
1 (B) 4

) 。

? 6

x

1 (C) 4

3 (D) 4

?2

7、函数 f ( x) ? 2 sin( wx ? ? )( w ? 0, ? ? 则 f (0) ? (

?
2

) 的部分图象如图所示,

17? ) 的值为( 12



(A) 2 ? 3

(B) 2 ? 3

(C) 1 ?

3 2

(D) 1 ?

3 2

8、阅读程序框图(如图),如果输出的函数值在区间[1,3]上,那么输入的 实数 x 的取值范围是( ) (B) ?x ? R | ?2 ? x ? 2?

(A) ?x ? R | 0 ? x ? log2 3?

(C) ?x ? R | 0 ? x ? log2 3, 或x ? 2?(D) ?x ? R | ?2 ? x ? log2 3, 或x ? 2?
1

9、 已知正三角形 ABC 的边长为 4, 将它沿高 AD 翻折, 使点 B 与点 C 间的距离为 2, 则四面体 ABCD 外接球表面积为( (A) 16? ) (B)

32? 3

(C)

52? 3

(D)

13? 3

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 10、设 x , y 满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0 )的最大值为 12, ? x ? 0, y ? 0 ?


3 2 ? 的最小值为( a b
(B)6
2

). (C)12 (D)24

(A)4

x2 y 2 11、 点 A 是抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的一个 a b
交点,若点 A 到抛物线 C1 的焦点的距离为 p ,则双曲线 C2 的离心率等于( (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 5 )

12、如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体 的三视图,则该几何体的体积为( (A) )

16 3

(B) 6

(C) 第Ⅱ卷

20 3

(D)

22 3

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

x2 y2 2 2 13、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆 x +y -10x=0 的 a b
圆心重合,且双曲线的离心率等于 5,则该双曲线的标准方程为________. 14、已知函数 f(x)=2x-aln x,且 f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直,则.a 的值为 15、给出以下四个命题,其中真命题的序号为 . 。

①若命题 p :“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”,则 ?p :“ ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”; ②线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱; ③用相 关指数 R 来刻画回归效果,R 越小,说明模型的拟合效果越好;
2 2 ④若 x, y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值为
2 2

2 3 ; 3

16、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a cosC,bcosB,ccosA 成等差数列, 若 a +c=4,则 AC 边上中线长的最小值 。

2

三、解答题 17、(本题满分 12 分)设数列{an}为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2+?+2an-1+an,已知 T1=1,T2= 4. (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式.

18、(本题满分 12 分)一次测试中,为了了解学生的学习情况,从中抽取了 n 个学生的成 绩(满分为 100 分)进行统计.按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布 直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出得分在[50,60), [90,100]的数据). (1)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x, y 的值; (2)在选取的样本中,从成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名参加志愿者活动, 所抽取的 2 名同学中得分都在[80,90)内的概 率.

19、(本题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

AC ? 4, BC ? 3, AA1 ? 4, AC ? BC ,点 M 在线段 AB 上.
(?) 若 M 是 AB 中点,证明 AC1 / / 平面 B1CM ; (?? ) 当 BM 长是多少时,三棱锥 B1 ? BCM 的体积是三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体
积的 .

1 ? 9

20、(本题满分 12 分)已知椭圆 C:

1 x2 y2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆心, 2 2 a b

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程.

3

(2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点,且 kOA·kOB= ? 若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由. 21、(本题满分 12 分)已知函数 g ( x) ?

b2 ,判断△AOB 的面积是否为定值? a2

1 m ?1 ? ln x , f ( x) ? mx ? ? ln x, m ? R x x

(1)若函数 y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围; (2)设 h(x)=

2e ,若在[1,e]上至少存在一个 x0,使得 f(x0)-g(x0)>h (x0)成立,求 m 的取值 范围. x

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答 时请写清题号. (22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AF 是圆 E 切线, F 是切点, 割线 ABC 与圆 E 交于 B 、 C , BM 是圆 E 的直径,

EF 交 AC 于 D , AB ?
(Ⅰ)求线段 AF 的长;

1 AC , ?EBC ? 300 , MC ? 2 . 3
B

A

(Ⅱ)求证: AD ? 3ED .
M

E

D

F

C

(23) (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4cos? ,直线 l 1:? ? 与曲线 C 交于 A, B 两点( A 不为极点) (Ⅰ)求 A, B 两点的极坐标方程; (Ⅱ)若 O 为极点,求 ?AOB 的面积.

?
3

, l 2:? sin ? ? 4 3 分别

(24) (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 3| ? | x ? 1| . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ)若存在 x ? ? ? ,1? 使不等式 a ? 1 ? f ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.
4

? 3 ? ? 2 ?

2016 潮南高三文科数学训练题参考答案 一、选择题(12 小题,共 60 分) 题序 答案 1 C 2 D 3 A 4 A 5 D 6 B 7 A 8 A 9 C 10 B 11 D 12 C

二、填空题(4 小题,共 20 分) 13、

x2 y2 ? ?1 5 20

;14、

1

;15、

①④

;16、

3

三、解答题 17、解:(1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵Tn=na1+(n-1)a2+?+2an-1+an, 由?
?T1=1, ? ? ?T2=4,

得?

?a1=1, ? ? ?2a1+a2=4,

? ?a1=1, ∴? ? ?a2=2,

∴q=2. ????????????5分

故首项a1=1,公比q=2. ????????????6分 (2)方法一:由(1)知 a1=1,q=2, ∴an=a1×q
n-1

=2

n-1

.
n-2

∴Tn=n×1+(n-1)×2+?+2×2

+2

n-1

,①

2Tn=n×2+(n-1)×22+?+2×2n-1+1×2n,②????????????9分 由②-①得 Tn=-n+2+2 +?+2
n
2

n-1

+2

n

2-2×2 n+1 n+1 =-n+ 1-2 =-n+2 -2=-(n+2)+2 . ?????????12分 方法二:设 Sn=a1+a2+?+an, 由(1)知 an=2
n-1



∴Tn=na1+(n-1)a2+?+2an-1+an =a1+(a1+a2)+?+(a1+a2+?+an-1+an) =S1+S2+S3+?+Sn=(2-1)+(2 -1)+?+(2 -1) 2-2×2 2 n n+1 =(2+2 +?+2 )-n= -n=-(n+2)+2 . ????????????12 分 1-2 18、解:(1)由题意可知,样本容量 n ?
n
2

n

8 2 ? 40 , y ? ? 10 ? 0.005 , 0.02 ? 10 40

x?

1 ?(0.02 ? 0.04 ? 0.01 ? 0.005) ?10 ? 0.025 .????????????6 分 10

注:(1)中的每一列式与计算结果均为 1 分.
90 ? 内的有 4 人,设为 A, B, C , D. ;分数在 ?90, 100? 内的有 2 人,设为 a , b. ; (2)由题意,分数在 ?80,

5

从成绩是 80 分以上(含 80 分)的 6 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能的结果为:
{ A, B}, { A, C}, { A, D},{ A, a},{ A, b} , {B, C}, {B, D},{B, a},{B, b} , {C , D},{C , a},{C , b} , {D, a},{D, b} ,
{a, b} ,共 15 个????????????10 分

根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件所包含的基本事件有: { A, B} , { A, C} , { A, D} , {B, C} , {B, D} , {C , D} ,共 6 个. ∴P=0.4????????????12分 19、 (1)证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,连结 ME. ∵ 直三棱柱 ABC-A1B1C1,M 是 AB 中点, ∴侧面 B B1C1C 为矩形,ME 为△ABC1 的中位线, ∴ ME// AC1. ∵ ME 平面 B1CM, AC1 平面 B1CM,

∴ AC1∥平面 B1C ????????????5 分 (2)? S

1 1 BA ? BC sin ?ABC , S ?MBC ? BM ? BC sin ?MBC 2 2 1 1 ?V三棱锥B1 ? BCM ? ? BM ? BC sin ?ABC ? BB1 3 2 1 ?V三棱柱ABC? A1B1C1 ? BA ? BC sin ?ABC ? BB1 2 1 1 由V三棱锥B1 ? BCM ? V三棱柱ABC? A1B1C1,得 BM ? BA 9 3
?ABC

?

∵AC⊥BC,

?在Rt?ACB中,BA ? AC2 ? BC2 ? 5
? BM ? 5 3



当 BM 长是 时,三棱锥 20、 解析:(1)由题意知, e ?

的体积是三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积的 .?????12 分

c 1 ? , a 2

?e2 ?

c2 a2 ? b2 1 4 ? ? ,即a 2 ? b 2 ????????????2 分 2 2 4 3 a a

6

又b ?

6 1?1

? 3,? a 2 ? 4, b 2 ? 3 .
x2 y2 ? ? 1 ???????????4 分 4 3

故椭圆的方程为

(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2).

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得(3+4k )x +8mkx+4(m -3)=0, y2 ? ?1 ? 3 ?4
Δ =64m k -16(3+4k )(m -3)>0, 3+4k -m >0.
2 2 2 2 2 2

????????????5 分

x1 ? x 2 ? ?

8km 4(m 2 ? 3) x ? x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2

3(m 2 ? 4k 2 ) y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k x1x2+mk(x1+x2)+m = ??????????7 分 3 ? 4k 2

由k OA ? k OB ? ?

y ?y b2 3 3 3 ? ? ,即 1 2 ? ? ,得y1 ? y 2 ? ? x1 ? x2 2 4 x1 ? x2 4 4 a




3(m 2 ? 4k 2 ) 3 4(m 2 ? 3) 2 2 ? ? ? ,化简得 2m -4k =3????????????8 分 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
弦 长 公 式 得

AB ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2
m 1? k 2

48(4k 2 ? m 2 ? 3) ? (3 ? 4k 2 ) 2

24(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2

又点 O 到直线 AB 的距离 d ? 分

????????????????????????10

? S ?AOB
?12 分

m 1 1 24(1 ? k 2 ) 1 24 m 2 1 24 3 ? 4k 2 ? AB ? d ? ? ? ? ? 3 2 2 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k 2 2 1 ? k 2 2 3 ? 4k
m m x2 ? 2 x ? m ? 2 ln x , ( f ( x) ? g ( x))? ? , x x2

21、解:(1) f ( x) ? g ( x) ? mx ?

由于 f(x)-g(x)在[1,+∞)内为单调函数, 则 mx -2x+m≥0 或者 mx -2x+m≤0 在[1,+∞)上恒成立, 即m ?
2 2

2x 2x 或者 m ? 在[1,+∞)上恒成立, 2 1? x 1? x2

7

故 m≥1 或者 m≤0, 综上,m 的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞). ???????????? (2)构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? mx ? 5分

m 2e ? 2 ln x ? x x m 2e ? 0 , ? 2 ln x ? ?0 当 m≤0 时,由 x∈[1,e]得 mx ? x x
∴在[1,e]上不存在一个 x0,使得 f(x0)-g(x0)>h(x0);????????????7 分 当 m>0 时, F ?( x) ? m ?

m 2 2e m x2 ? 2 x ? m ? 2e ? ? ? x2 x x2 x2
2

∵x∈[1,e],所以 2e-2x≥0,mx +m>0, ∴F'(x)>0 在[1,+∞)上恒成立, 故 F(x)在[1,e]上单调递增, F ( x) max ? me ? 只要 me ?

m ?4 e

m 4e ? 4 ? 0 ,解得 m ? 2 e e ?1 4e , ? ?) . ????????????12 分 故 m 的取值范围是 ( 2 e ?1
22、解: (Ⅰ)因为 BM 是圆 E 直径, 所以, ?BCM ? 90 ,??????1 分
0 0 又 MC ? 2 , ?EBC ? 30 ,

A

所以 BC ? 2 3 ,?????????2 分
B

又 AB ?

1 1 AC , 可知 AB ? BC ? 3 ,所以 AC ? 3 3 3 2
2

??????3 分
E D H F

根据切割线定理得: AF ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,? ??????????4 分 即 AF ? 3 ?? ?????????????? ?????????????5 分 (Ⅱ)过 E 作 EH ? BC 于 H ,???????????????????? ???6 分 则 ?EDH ~?ADF ,???????????? ?????????????7 分
M

C

ED EH ? ,?????????????????????????8 分 AD AF 1 又由题意知 CH ? BC ? 3, EB ? 2 2
从而有 所以 EH ? 1 , 因此 ??????????? ??9 分 ?????????????10 分

ED 1 ? ,即 AD ? 3ED AD 3

8

? ? sin 2 ? ?4cos ? ? 23、解(1)由 ? ,显然极点 ? 0,? ? 为该方程的解,但由于 A 不为极点 ? ?? ? 3 ?
8 ? ?? ? ? ?8 ? ? 3 所以得 ? ,所以 A ? , ? ?3 3 ? ?? ? ? ? 3 ?

????????????3 分

?? ? 8 3 2 ? ?? ? ? sin ? ?4cos ? ? ? 由? 解得: ? ? 所以 B ? 8 3, 3 ? ? ? ? ? ? sin ? ? 4 3 ?? ? 6 ?
(2)由(1)得 A ? , 所以 ?AOB ? 所以 S ?AOB

?????????6 分

?? ?8 ? ? ? ? , B ? 8 3, ? 3? ?3 3 ? ?
?
, OA ?

8 , OB ? 8 3 ????????????8 分 3 6 1 8 1 64 1 3 ????????????10 分 ? OA OB sin ?AOB ? ? ? 8 3 ? ? 2 3 2 3 2

24、解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?| 2 x ? 3| ? | x ? 1| .

3 ? ? 3 x ? 2 x ? ? ? 2 ? 3 ? ? f ( x) ? ? x ? 4 ? ? x ? 1 2 ? 3 x ? 2 x ?1 ? ? ?

???????????????????2 分

3 ? ? 3 ?x ? ? ?? ? x ? 1 ? x ? 1 f ( x) ? 4 ? ? 或? 2 或? 2 ?3x ? 2 ? 4 ? ? ??3x ? 2 ? 4 ? x ? 4 ? 4
? x ? ?2或0 ? x ? 1或x ? 1

?????????4 分

?????????????? ???????5 分

综上所述,不等式 f ( x) ? 4 的解集为: ? ??, ?2? ? (0, ??) ?? ???????6 分 (Ⅱ)存在 x ? ? ? ,1? 使不等式 a ? 1 ? f ( x) 成立 ? a ? 1 ? ( f ( x))min ???????7 分 由(Ⅰ)知, x ? ? ? ,1? 时, f ( x) ? x ? 4

? 3 ? ? 2 ?

? 3 ? ? 2 ?

9

?x ? ?

3 5 时, ( f ( x)) min ? ???????????? ???????8 分 2 2 5 3 a ?1 ? ? a ? ?????????????????????????9 分 2 2

∴实数 a 的取值范围为 ?

?3 ? , ?? ? ?????????????? ???????10 分 ?2 ?

10


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