人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件热点专题突破系列(六)概率与统计综合问题_图文


热点专题突破系列(六) 概率与统计的综合问题

考点一 统计与统计案例 【考情分析】以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分 析、抽象概括,作出估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直 方图、概率等知识交汇考查,考查学生数据处理能力.

【典例1】(2015·蚌埠模拟)为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别 有关,对某班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:

男生 女生 总计

喜爱打篮球 10

不喜爱打篮球 5

总计 50

已知在全部50人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为 3 .
5
(1)请将上面的列联表补充完整.
(2)试问:喜爱打篮球与性别是否有关?说明你的理由.

【解题提示】(1)由随机抽样的概率,可补充完表格. (2)可利用随机变量χ2确定,因此首先计算χ2的值.

【规范解答】(1)列联表补充如下:

喜爱打篮球 不喜爱打篮球

男生

20

5

女生

10

15

总计

30

20

(2)因为χ2= 50? (20?15 ?10?5)2 ≈8.333>6.635,
30? 20? 25? 25
所以有99%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

总计 25 25 50

【规律方法】利用独立性检验思想解决问题的步骤 (1)依题意写出列联表. (2)依据列联表用公式计算χ 2的值. (3)依据χ 2的值确定问题的结果.

【变式训练】(2015·六安模拟)某企业为了更好地了解设备改造前后 与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造 前生产的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有 65件,不合格品有30件.根据所给数据: (1)写出2×2列联表. (2)试问:产品是否合格与设备改造有关吗?

【解析】(1)由已知数据得列联表如下:

设备改造后 设备改造前
总计

合格品 65 36 101

不合格品 30 49 79

总计 95 85 180

(2)根据列联表中数据,得

χ2= 180? ?65? 49 ? 36? 30?2 ≈12.38,
101? 79?85? 95
由于12.38>6.635,所以有99%以上的把握认为产品是否合格与设备改

造有关.

考点二 统计与概率分布列综合 【考情分析】以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、 茎叶图、频率分布直方图、概率以及概率分布列等知识交汇考查,考 查学生分析问题、解决问题的能力.

【典例2】(2015·唐山模拟)从某校高三上学期期末数学考试成绩中, 随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下:

(1)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分. (2)以上述样本的频率作为概率,从该校高三学生中有放回地抽取3人, 记抽到的学生成绩不低于90分的人数为X,求X的分布列和期望.

【解题提示】(1)每个区间的中值与对应频率积的和,即为平均值. (2)由题意可知X服从二项分布.

【规范解答】(1)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的 平均分为:0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+ 0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92.

(2)样本中成绩不低于90分的频率为:0.0150×20+0.0125×20+ 0.0025×20=0.6, 所以从该校高三学生中随机抽取1人,分数不低于90分的概率为0.6. 由题意,X~B(3,0.6),P(X=k)= C3k 0.6k0.43-k(k=0,1,2,3), 其分布列为:

X

0

P

0.064

1 0.288

X的期望为:EX=3×0.6=1.8

2 0.432

3 0.216

【规律方法】统计与概率分布综合问题的解题思路 (1)找概率分布问题中随机变量的统计意义. (2)综合统计中相关图、表、数据明确相关联的随机变量的分布特征. (3)依随机变量的分布特征进一步解决相关问题.

【变式训练】(2014·新课标全国卷Ⅰ改编)从某企业生产的某种产品 中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频 率分布直方图:

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差s2(同一组 中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布 N(μ ,σ 2),其中μ 近似为样本平均数 x ,σ 2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2). ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质 量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求EX. 附: 150 ≈12.2.

【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x和样本方差s2分别为 x =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220× 0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+ 202×0.08+302×0.02=150.

(2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(20012.2<Z<200+12.2)=68.3%. ②由①知,一件产品质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 68.3%. 依题意知X~B(100,0.683), 所以EX=100×0.683=68.3.

【加固训练】为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中 的普及情况,调查部门组织了一次知识竞赛,现随机抽取了某校20名学 生的测试成绩,得到如图所示茎叶图:

(1)若测试成绩不低于90分,则称为“优秀成绩”,求从这20人中随机 选取3人,至多有1人是“优秀成绩”的概率. (2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数 较多)任选3人,记Y表示抽到“优秀成绩”学生的人数,求Y的分布列及 数学期望.

【解析】(1)优秀成绩:4人;设优秀成绩人数为X,至多一人成绩优秀

为事件A,

P(A)=

P(X=0)+

P(X=1)=

C136 C320



C126C14 C320

=52 57

.

(2)由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P= 1 .Y所有可

5

能的取值为0,1,2,3,显然 Y~B(3, 1),
5

则P(Y=i)=

Ci3

(1-1 5

)3-i

(

1 5

)i

.

即P

?

Y=0

?=

C30

(1-1 5

)3= 64 ;P 125

?

Y=1?=

C13

(1-1 5

)2

(

1 5

)1

= 48 ;P 125

?

Y=2

?=

C32

(1-1 5

)1

(

1 5

)

2

= 12 125

.P

?

Y=3?=C33

(1-1 5

)

0

(

1 5

)

3

=1 . 125

Y

0

1

2

3

P

64 48 125 125

12 1 125 125

EY= 3? 1 ? 3.
55

考点三 期望与方差的综合应用 【考情分析】以现实生活为背景,求某些事件的概率分布列、期望值 以及方差,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等 知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力.

【典例3】(2014·湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机 的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年 内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足 80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年 份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各 年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率.

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台

数受年入流量X限制,并有如下关系:

年入流量X

40<X<80

80≤X≤120

X>120

发电机最多

1

可运行台数

2

3

若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,

则该台年亏损800万元,欲使水电站年利润的均值达到最大,应安装发

电机多少台?

【解题提示】(1)先求出年入流量X的概率,根据二项分布,求出未来4 年中,至多有1年的年入流量超过120的概率. (2)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较 即可得到.

【规范解答】(1)依题意,p1=P(40<X<80)=

10 50

=0.2,p2=P(80≤X≤120)

=

35 50

=0.7,p3=P(X>120)=

5 50

=0.1.

根据二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

p ? C04 ?1? p3 ?4 ? C14 ?1? p3 ?3 p3

= ( 9 )4 ? 4 ? ( 9 )3 ? 1 ? 0.947 7.

10

10 10

(2)记水电站年总利润为Y, ①安装1台发电机的情形: 由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年 利润Y=5000,EY=1×5000=5000. ②安装2台发电机的情形: 依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200, 因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2; 当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000, 因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;

由此得分布列如下

Y

4 200

P

0.2

所以,EY=4200×0.2+10000×0.8=8840.

10 000 0.8

③安装3台发电机的情形: 依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400, 因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2; 当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×2-800=9200, 因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7; 当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15000, 因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.

由此得分布列如下

Y

3 400

P

0.2

9 200 0.7

15 000 0.1

所以,EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.

综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.

【规律方法】 1.求数学期望值的方法 (1)求离散型随机变量分布列. (2)利用公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn. 2.均值、方差意义的应用 均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相 等,还要看随机变量的取值在均值周围的变化,方差大,说明随机变量 取值较分散;方差小,说明取值较集中.

【变式训练】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名 员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.

一次购物量

1至 4件

顾客数(人) x

结算时间 (分钟/人)

1

5至

9至

13至

17件

8件

12件

16件 及以上

30

25

y

10

1.5

2

2.5

3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望. (2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算 相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将 频率视为概率)

【解析】(1)由已知,得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.该超市

所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一

次购物的结算时间可视为总体的一个随机样本,将频率视为概率得:

P(X=1)= 15 = 3 ,P(X=1.5)= 30 = 3 ,P(X=2)= 25 =1,

100 20

100 10

100 4

P(X=2.5)= 20 =1,P(X=3)= 10 = 1 .

100 5

100 10

因此X的分布列为:

X 1 1.5 2 2.5 3

3

3

P

20

10

1 4

1 5

1 10

X的数学期望为EX= 1? 3 +1.5? 3 +2? 1+2.5? 1+3? 1 =1.9.

20

10 4

5 10

(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,Xi(i=1,2) 为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则P(A)=P(X1=1且X2=1)+ P(X1=1 且X2=1.5)+ P(X1=1.5且X2=1). 由于顾客的结算相互独立,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同,所以 P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+ P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1) = 3 ? 3+ 3 ? 3+3 ? 3 =9 .
20 20 20 10 10 20 80
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为 9 .
80

【加固训练】(2014·邯郸模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每
局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时 停止.设甲在每局中获胜的概率为P(P> 1 ),且各局胜负相互独立.已
2
知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 5 .
9
(1)求p的值.
(2)设X表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量X的分布列和数学期
望EX.

【解析】(1)当甲连胜2局或乙连胜2局时,

第二局比赛结束时比赛停止,故p2+(1-p)2= 5 ,

9

解得p= 2 或p= 1 ,又p> 1 ,故p= 2 .

3

3

2

3

(2)依题意知X的所有可能取值为2,4,6,
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 5 ,
9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,

此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响,从而有

P(X=2)= 5 ,P(X=4)= (1- 5) ? 5=20,P?X=6?=(1- 5) ? (1- 5) ?1=16,

9

9 9 81

9

9 81

则随机变量X的分布列为:

X2

4

6

P

5

9

20 16 81 81

EX= 2? 5+4? 20+6? 16 ? 266 .
9 81 81 81


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