导数高考题分析练习题(教师版精选)


导数高考题分析

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年全国一 7)设曲线 则a? A.2 答案 D B.

y? 1 2

x ?1 在点 (3, 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 2) x ?1
( C. ? )

1 2

D. ?2

2.(2008 年 湖北卷 7)若 范围是 A. C. 答案

1 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值 2
( )

[?1, ??) (??, ?1]
C

B. D.

(?1, ??) (??, ?1)

3.(2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象 可能是 ( )

答案

D

4.(2008 年辽宁卷 6)设 P 为曲线 C:

y ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾
( )

斜角的取值范围为

? ?? ?0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? 4?
B.

A.

1? ? ? ? ?1, 2 ? ? ?
A

0 ? ?1,?

C.

1? ? 0,

D.

?1 ? 1 ?2, ? ? ?

答案

5.(2007 年福建理 11 文)已知对任意实数 x ,有 时,

f (? x) ? ? f ( x),g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0
( )

f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 时
1

A. C.

f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
B

B. D.

f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

答案

6.(2007 年海南理 10)曲线 为 A. 答案

y ? e2

1

x

在点 (4,e

2

) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积
( ) D. e
2

9 2 e 2
D

B. 4e

2

C. 2e

2

7. (2007 年江苏 9) 已知二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x
( )

都有

f ( x) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为 f '(0)
B.

A. 3 D.

5 2

C. 2

3 2
答案 C

8.(2007 年江西理 9)设 则

p : f (x) ?e x ?ln x ?2 x 2 ? mx ?1

在 (0, ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 , ? ( )

p 是q的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B

9.(2007 年辽宁理 12)已知 当x

f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x) 与 g ( x) 仅
( )

? 0 时的函数值为 0,且 f ( x) ≥ g ( x) ,那么下列情形不可能出现的是 ...
f ( x) 的极大值,也是 g ( x) 的极大值 f ( x) 的极小值,也是 g ( x) 的极小值 f ( x) 的极大值,但不是 g ( x) 的极值 f ( x) 的极小值,但不是 g ( x) 的极值
C

A.0 是 B.0 是 C.0 是 D.0 是 答案

2

10.(2006 年天津卷)函数 如图所示,则函数

f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象
( )

f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点
y

y ? f ?(x)

b

a
A.1 个 答案 解析 函数 A 函数 B.2 个

O
C.3 个

x
D. 4 个

f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,

f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值

为由负到正的点,只有 1 个,选 A. 二、填空题 11. 2008 年全国二 14) ( 设曲线 答案 2 则 y ? eax 在点 (0, 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直, a ? 1) .

12.(2008 年江苏卷 8)直线 答案 ln2-1.

y?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0 ? 的一条切线,则实数 b= 2
y



14.(2008 年北京卷 12)如图,函数 其中

f ( x) 的图象是折线段 ABC ,

4) (2 0) (6 4) A,B,C 的坐标分别为 (0,,,,, ,则
?x ?0

f ( f (0)) ? 2; lim
答案 -2

f (1 ? ?x) ? f (1) ? ?x

4 3 2 1 O

A

C

.(用数字作答)

B 1 2 3 4 5 6

x

14.(2007 年广东文 12)函数

f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是____.

答案

?1 ? ? ? e , ?? ? ?
f ( x) ? x3 ? 12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别


15.(2007 年江苏 13)已知函数 为 M , m ,则 M 答案 32

?m ?

16.(2007 年湖北文 13)已知函数

y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是

3

y?
答案

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 2
3



17.(2007 年湖南理 13)函数 答案

f ( x) ? 12 x ? x3 在区间 [?3, 上的最小值是 3]



?16
y ? x3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 在点 (1, 3) 处的切线方程是 ?


18.(2007 年浙江文 15)曲线 答案

5x ? y ? 2 ? 0
2

19.(2006 年湖北卷)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0, +∞)上的变量,则 (?r 2 )? =2 ? r ①,

①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 1 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○的式子: ② ②式可以用语言叙述为: 答案 。

V



4 4 3 ? = ? R ,又 ( ? R3) =4? R 2 3 3
3

4 2 ? 故○式可填 ( ? R3) =4? R 2 ,用语言叙述为 3

“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。” 20.(2005 年重庆卷)曲线 y=x 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为__________。 答案 三、解答题 21.(2008 年全国一 19)已知函数 (Ⅰ)讨论函数 8/3

f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1 , a ?R .

f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)设函数

? 2 1? ? f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3?
f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1

解析 当a
2

(1)

≤ 3 时, ?≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
?a ? a 2 ? 3 3

当a

2



? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? f ( x) 在 ? ??, , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ?

4

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递增 ? ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a2 ? 3 1 ≥? 3 3
7 4

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

22.(2008 年北京卷 18)已知函数

f ( x) ?

2x ? b ( x ? 1) 2

,求导函数

f ?( x) ,并确定 f ( x) 的单调

区间. 解析

f ?( x) ?

2( x ? 1) 2 ? (2 x ? b) ? 2( x ? 1) ( x ? 1) 4

?

?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)3 2[ x ? (b ? 1)] . ( x ? 1)3

??


f ?( x) ? 0 ,得 x ? b ? 1 . f ?( x) 的变化情况如下表: (??,b ? 1)
?

当 b ? 1 ? 1,即 b ? 2 时,

x
f ?( x)

b ?1
0

(b ? 11) ,

(1, ?) ?
?

?

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时,

f ?( x) 的变化情况如下表: (1,b ? 1)

x
f ?( x)
所以,当 b ? 2 时,函数 在 (1 ? ?) 上单调递减. , 当 b ? 2 时,函数 单调递减.

(??, 1)
?

b ?1
0

(b ? 1, ?) ?
?

?

f ( x) 在 (??,b ? 1) 上单调递减,在 (b ? 11) 上单调递增, ,

f ( x) 在 (??, 上单调递减,在 (1,b ? 1) 上单调递增,在 (b ? 1, ?) 1) ?



当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f 单调递减.

( x) ?

2 ,所以函数 f ( x) 在 (??, 上单调递减,在 (1 ? ?) 上 1) , x ?1

5

23.(2008 年天津卷 21)(本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? x 4 ? ax3 ? 2 x 2 ? b ( x ? R ),其中 a, b ? R .

(Ⅰ)当 a

??

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数

f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围;
f ? x ? ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.

(Ⅲ)若对于任意的 a ?[?2, 2] ,不等式

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识,考查综合分析 和解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)解析 当a 令

f ?( x) ? 4 x3 ? 3ax 2 ? 4 x ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4) .

10 2 时, f ?( x) ? x(4 x ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2) . 3 1 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2 ??
f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:
0

当 x 变化时,

x
f ?( x) f ( x)
所以

(??,0)


1 (0, ) 2


1 2
0

1 ( , 2) 2


2

(2, ??)


0

0



极小值



极大值



极小值



1 1 f ( x) 在 (0, ) , (2, ??) 内是增函数,在 (??,0) , ( , 2) 内是减函数. 2 2
f ?( x) ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根.

(Ⅱ)解析

24.(2005 年安徽卷)设函数 函数。 (Ⅰ)求 b 、 c 的值。

f ? x ? ? x3 ? bx 2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇

(Ⅱ)求 g ( x ) 的单调区间与极值。 解 (Ⅰ)∵

f ? x ? ? x 3 ? bx 2 ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x 2 ? 2bx ? c .从而

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx 2 ? cx ? (3x 2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x 2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,由此可知,
(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间;

(? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;

g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为
?4 2 。
25.( 2005 年全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角

6

分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容 积最大?最大容积是多少? 解
3

设容器的高为 x,容器的体积为 V,1 分 5分 7分
2

则 V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24) =4x -276x +4320x ∵V′=12x -552x+4320??
2 2

由 V′=12x -552x+4320=0 得 x1=10,x2=36 ∵x<10 时,V′>0, 10<x<36 时,V′<0, x>36 时,V′>0, 所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960???????????????????10 分 又 V(0)=0,V(24)=0, ??????????????????????????11 分 所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960 ???????????????????12 分

第二部分 三年联考汇编 2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 威海二模)右图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则 函数 g ( x) ? ln x ? A. ( C. ( 答案
2

f '( x) 的零点所在的区间是
B. (1, 2) D. (2,3)





1 1 , ) 4 2

1 ,1) 2
C

2.(2009 天津重点学校二模)已知函数

y ? f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0)
若a

时不等式

f ( x) ? xf ' ( x) ? 0 成立,

? 30.3 f (30.3 ) , b ? (log ? 3) f (log ? 3),
( D. a )

1 1 c ? (log 3 ) f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 9 9
A. a 答案

?b?c
C

B. c

?b?a

C. c ? a ? b

?c?b

3.(2009 嘉兴一中一模)下列图像中有一个是函数

f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? 1 3
( )

(a ? R, a ? 0) 的导数 f ?(x)

的图像,则

f (?1) ?

7

A. 答案

1 3
B

B. ?

1 3

C.

7 3

D. ?

1 5 或 3 3
)

4.(2009 年乐陵一中)图中,阴影部分的面积是 A.16 C.20 答案 B B.18 D.22

(

y?x?4
4 -2
y 2 ? 2x

二、填空题 5.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理)已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞),部分对 应值如下表,

f ?(x) 为 f(x)的导函数,函数 y ? f ?(x) 的图象如右图所示,若两正数 a,b 满足

f (2a ? b) ? 1 ,则

b?3 的取值范围是 a?3



答案

?3 7? ? , ? ?5 3?

y -2 x 1 O 1 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 3 3

6.(湖北省黄冈市 2009 年 3 月份高三年级质量检测文)设函数 (c<0)单调递增区间是 .

答案

?1 ? ? 3 ,1.? ? ?
f ?x ? ? x 3 ? 3ax2 ? bx ,其中 a, b 为实数.

三、解答题 7.(2009 厦门北师大海沧附属实验中学)已知函数 (Ⅰ) 若 (Ⅱ)若 解

f ? x ? 在 x ? 1处取得的极值为 2 ,求 a, b 的值; f ? x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数,且 b ? 9a ,求 a 的取值范围.
?????? 2 分

(Ⅰ)由题设可知:

f ??1? ? 0 且 f ?1? ? 2 ,
即?

?3 ? 6a ? b ? 0 4 ,解得 a ? , b ? ?5. 3 ?1 ? 3a ? b ? 2

??????

4分

(Ⅱ)? 又

f ??x ? ? 3x 2 ? 6ax ? b ? 3x 2 ? 6ax ? 9a ,

?????? 5 分

f ? x ? 在 ?? 1, 2? 上为减函数,
?????? 6 分

? f ?? x ? ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立,
即 3x
2

? 6ax ? 9a ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立.
?????? 10 分

? f ??? 1? ? 0 且 f ?2? ? 0 ,

8

?a ? 1 ?3 ? 6a ? 9a ? 0 ? 即? ?? 3 ? a ?1, ?12 ? 12 a ? 9a ? 0 ?a ? 7 ?

? a 的取值范围是 a ? 1.
8.(2009 厦门大同中学)设函数 (1)求函数 (2)若 x ?

??????

12 分

1 f ( x) ? ? x3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1, 0 ? a ? 1. 3

f (x) 的极大值;

?1 ? a,1 ? a ? 时,恒有 ?a ? f ?( x) ? a 成立(其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数),
f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ,且 0 ? a ? 1,????????????1 分

试确定实数 a 的取值范围. 解 当 ∴ (1)∵

f ?( x) ? 0 时,得 a ? x ? 3a ;当 f ?( x) ? 0 时,得 x ? a或x ? 3a ; f (x) 的单调递增区间为 (a,3a) ;

f (x) 的单调递减区间为 (??, a) 和 (3a,??) .?????????????3 分
故当 x ? 3a 时, (2)∵

f (x) 有极大值,其极大值为 f ? 3a ? ? 1 .
2

???????4 分

f ? ? x ? ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ? ? x ? 2a ? ? a 2 ,

当0 ? a ? ∴ ∴

1 时, 1 ? a ? 2a , 3

f ?( x) 在区间 ?1 ? a,1 ? a ? 内是单调递减.????????????????6 分
? ? ? ? ? f(x)max ? f ? ?1-a ? ? ?8a 2 ? 6a ? 1, ? f(x)min ? f ? ?1+a ? ? 2a ? 1.

∵ ?a ?

??8a 2 ? 6a ? 1 ? a, f ?( x) ? a ,∴ ? ?2a ? 1 ? ? a.

此时, a ?? .????????????????????????????9 分 当

1 ? ? ? a ? 1 时, ? f(x)max ? f ? ? 2a ? ?a 2 . 3

? ?0 ? a ? 1, ? a 2 ? a, ? 1 ? ? ∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ? 2a ? 1 ? ? a, 即 ?a ? , 3 ??8a 2 ? 6a ? 1 ? ?a. ? ? ? 7 ? 17 7 ? 17 ?a? . ? 16 ? 16

??11 分

9

此时,

1 7 ? 17 ?a? 3 16

.???????????????????????13 分

综上可知,实数 a 的取值范围为 ?

? 1 7 ? 17 ? , ? .????????????? 16 ? ?3

14 分

2007—2008 年联考题
一、选择题 1.(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)函数 y=2x -3x -12x+5 在区间[0,3]上最大值与最小值分别 是 A. 5,-15 答案 A
x ?0
3 2

( B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16

)w.

2.(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)若 lim 能为 A. x ; 答案 B
2

f ( x)( x ? 1) 存在,则 f (x) 不可 x2 ? x
( )

B. |

x|;

C. x ;

D. ? x ;

3.(江西省五校 2008 届高三开学联考)设函数

f ( x) ? sin(?x ?

?
6

) ? 1(? ? 0)的导数f ?( x)
( )

的最大值为 3,则 f(x)的图象的一条对称轴的方程是 A. x C. x 答案

? ?
C

? ?
9 3

B. x D. x

? ?

? ?
6 2
2x ? 3 f ? x ? x ?3

4.(江西省五校 2008 届高三开学联考)已知 A.-4 答案 B B.8

f ? 3? ? 2, f ? ? 3? ? ?2, 则 lim
x ?3

(

)

C.0

D.不存在

5.(湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)已知函数 A.函数 f (x) 有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 C.函数 答案 二、填空题 6.(2008 年高考数学各校月考)定积分 答案 3

y ? f (x) 的导函数 y ? f ?(x) 的图像如下,则
( )

y

f (x) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 f (x) 有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f (x) 有 1 个极大值点,3 个极小值点
A
3? 2 0

?

? x1
| sin x | dx 的值是
.

? x2

?3O x
o O

? x4

x

7.(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)已知函数 10

f ( x) ? x3 ? 3mx 2 ? nx ? m2 在

x=-1 时有极值 0,则 m=_________;n=_________; 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质 0 答案 解析 m=2,n=9.

f ?(x) =3x2+6mx+n f ?(?1) =3-6m+n=0
2

由题意,

f(-1)=-1+3m-n+m =0 解得 ?

?m ? 1 ?m ? 2 或? ?n ? 3 ?n ? 9

y

但 m=1,n=3 时,

f ?(x) =3x +6x+3=3(x+1)2≥0 恒成立
2

即 x=-1 时不是 f(x)的极值点,应舍去 8.(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)如图为函数 象,

- 3 o

3

x

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的图

f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数,则不等式 x ? f '( x) ? 0 的解集为______
答案 三、解答题

______.

(??, ? 3) ? (0, 3)
3

8.(2007 年江苏省淮安市)已知函数 F(x)=|2x-t|-x +x+1(x∈R,t 为常数,t∈R) (1)写出此函数 F(x)在 R 上的单调区间; (2)若方程 F(x)-m=0 恰有两解,求实数 m 的值。

t t ? 3 ? 2 ?? x ? 3 x ? 1 ? t , x ? 2 ?? 3 x ? 3, x ? 2 解 (1)F ( x ) ?| 2 x ? t | ? x ? x ? 1 ? ? ∴ F ' ( x) ? ? t t ? ? x3 ? x ? 1 ? t x ? ? ? 3 x 2 ? 1, x ? 2 2 ? ?
3

由-3x +3=0 得 x1=-1,x2=1,而-3x -1<0 恒成立 ∴ i) 当

2

2

t <-1 时,F(x)在区间(-∞,-1)上是减函数 2 t t ≥-1 时,F(x)在区间(-∞, )上是减函数 2 2

在区间(-1,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数 ii) 当 1> 在区间(

t ,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数 2 t iii) 当 ≥1 时,F(x)在(-∞,+∞)上是减函数 2 t <-1 时,F(x)在 x=-1 处取得极小值-1-t, 2

(2)由(1)可知 i) 当

在 x=1 处取得极大值 3-t,若方程 F(x)-m=0 恰有两解, 此时 m=-1-t 或 m=3-t

11

ii) 当-1≤

t t t3 t <1,F(x)在 x= 处取值为 ? ? ? 1, 8 2 2 2

在 x=1 处取得极大值 3-t,若方程 F(x)-m=0 恰有两解, 此时 m= ?

t3 t ? ? 1 或 m=3-t 8 2

9.(2008 年四川省成都市一诊)已知函数

y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,其图像均在 x 轴
f (m ? n) ? [ f (m)]n ,且 f (2) ? 4
,又当 x ? 0 时,其

的上方,对任意的 m、n ? [0, ??) ,都有 导函数

f ?( x) ? 0 恒成立。

(Ⅰ)求 f(0)、f(-1)的值;

? kx ? 2 ? (Ⅱ)解关于 x 的不等式: ? f ( ) ? ? 2 ,其中 k ? (?1,1). 2 x2 ? 4 ? ?
解 (1)由 f(m·n)=[f(m)] 得:f(0)=f(0×0)=[f(0)]
n 0

2

∵函数 f(x)的图象均在 x 轴的上方,∴f(0)>0,∴f(0)=1

……………………………3 分 …………………3 分

∵f(2)=f(1× 2)=[f(1)]2=4,又 f(x)>0∴f(1)=2,f(-1)=f(1)=2
2

? ? k x ? 2 ?? ? kx? 2 ? ? kx? 2 ? ? 2? ? 2 ? f ? 2 (2) ? f ? ?? ? 2 ? f ? ? ? f (?1) 2 2 ?2 x ?4 ? ? x ?4? ? ? 2 x ? 4 ??

? | kx? 2 | ? ? f? 2 ? ? f (1) ? x ?4?
又当 x ? 0 时,其导函数

f ' ? x ? ? 0 恒成立,∴ y ? f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上为单调递增函数



kx ? 2 x ?4
2

? 1 ? kx ? 2 ? x 2 ? 4 ? ? k 2 ? 1? x 2 ? 4kx ? 0

①当 k

? 0 时, x ? ?0? ;
4k ? 4k ? ? 4k ? ?0? ? x ? 0 ,∴ x ? ? , 0? ; ? 0 时, x ? x ? 2 ? 2 2 1? k ? 1? k ? ?1 ? k ?
,∴ x ?

②当 ?1 ? k

③当 0 ? k

4k ? 4k ? ?0?0? x? ? 1时, x ? x ? 2 ? 1? k ? 1? k 2 ?

4k ? ? ?0, 1 ? k 2 ? ? ?

综上所述:当 k

? 4k ? , 0? ; ? 0 时, x ? ?0? ;当 ?1 ? k ? 0 时, x ? ? 2 ?1 ? k ?

当0? k

4k ? ? 。 ? 1时, x ? ?0, 2 ? 1? k ? ?
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