2019-2020学年度最新高中数学专题17函数奇偶性的图象和性质课件新人教A版必修1_图文


1.具有奇偶性的函数的图象的特征: 偶函数的图象关于y轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 2.应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求 出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值: 利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求 参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组), 进而得出参数的值. (4)画函数图像和判断单调性: 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区 间上的单调性. 例1.根据函数图象判断函数的奇偶性: 根据图象的对称性易知:A、D为偶函数,B、C为奇函数 例2.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( C ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(- ∞ ,0) 解析:将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值 得 f ( x) ? ??x2 ? 2 ? ??? x2 ? x, x 2x, ? 0, ,画出函数f(x)的图像,如图: x ? 0, 观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故 函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.故选C. 例3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 且 f (x)-g(x)=??? 1 2 x ? ? ? ,则f(1),g(0),g(-1)之间的大小关系 是_f_(_1)_>_g_(_0)_>_g_(_-_1_)_. 解析:在 f ( x)-g ( x)=??? 1 2 ? ?? x 中,用-x替换x,得f(-x)-g(-x) =2x,由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x. 于是解得 f ? x g ??1?=- 5 ?= 2? ,故 x ? 2x 2 ,g ? x?=- 2?x f(1)>g(0)>g(-1). ? 2 2x ,于是 f ?1?=- 3 4 ,g ?0?=-1 , 4 例4.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(3)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积. 解:(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(3)=f(3-4)=-f(1)=-1. (2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)= f(1-x).故知函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称. 又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图像关于原点成中心对 称,则-1≤x≤0时,f(x)=x,则f(x)的图像如图所示. 当-4≤x≤4时,设f(x)的图像与x轴围成的图形面积 为S,则S=4S△OAB=4. 例5.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞), (x1≠x2),有 f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ,则( A x1 ? x2 ) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 解:由题意知x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数且当x∈R时,f(x) 的图像关于直线x=0对称,所以f(1)>f(-2)>f(3),故选A. 例6.设函数f(x)=x3cos x+1.若f(a)=11,则f(-a)=___?__9___. 解析:观察可知,y=x3cos x为奇函数,且f(a)=a3cos a+1=11,故 a3cos a=10.则f(-a)=-a3·cos a+1=-10+1=-9. 例7.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=______0__ . 解析:法一:∵f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对 于x∈R恒成立,两边平方整理得ax=0对于x∈R恒成立,故a=0. 法二:由f(-1)=f(1),得|a-1|=|a+1|得a=0. 例8.设奇函数f(x)的定义域是[-5,5],当x∈[0,5]时,f(x)的 图象如图1,则不等式f(x)<0的解是(-2,0)∪(2,5] . 解:根据奇函数的图象关于原点成中心 对称的性质,画出函数f(x)在[-5,5]上 的图象如图2. 根据图象,易知不等式f(x)<0的 解是(-2,0)∪(2,5]. 在 多 年 的 高 三 复 习 备 考 中 , 老 师 认 为 以 下 六 句 话 可 作 引 导 学 生 科 和 应 基 本 指 南 。 这 就 是 : 础 决 定 能 力 ; 过 程 结 果 细 节 成 败 心 态 状 度 落 实 一 切 毫 无 疑 问 , 高 考 复 习 的 主 要 目 就 是 回 归 基 础 巩 固 夯 实 。 没 有 能 力 中 每 一 道 题 查 都 离 不 开 可 谓 成 也 败 分 拿 下 来 总 法 上 去 为 此 对 知 识 足 够 重 视 和 耐 心 急 功 近 利 往 自 多 次 测 试 过 程 决 定 结 果 些 学 生 因 平 时 或 间 投 入 所 以 到 了 出 后 才 感 紧 张 备 事 个 系 统 天 、 节 课 部 如 在 某 方 面 话 必 然 会 产 良 只 调 控 期 待 好 里 说 细 指

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