2018版高中数学必修二同步学习讲义(打包39份) 人教课标版17(优秀教案)


学习目标 .整合知识结构,梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识.培养综合运用知识解 决问题的能力,能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解,渗透数形结合、分 类讨论的数学思想.
.直线的倾斜角与斜率 ()直线的倾斜角 α 的范围是°≤α<°. ()= ()斜率的求法: ①依据倾斜角;②依据直线方程;③依据两点的坐标. .直线方程的几种形式的转化
.两条直线的位置关系 设:++=,:++=,则 ()平行?-=且-≠; ()相交?-≠; ()重合?=λ,=λ,=λ(λ≠)或==(≠). .距离公式 ()两点间的距离公式. 已知点(,),(,), 则=. ()点到直线的距离公式.

①点(,)到直线:++=的距离=; ②两平行直线:++=与:++=的距离=.
类型一待定系数法的应用 例直线被两条直线:++=和:--=截得的线段的中点为(-),求直线的方程. 解方法一设直线与的交点为(,),由已知条件,得直线与的交点为(--,-),并且满足 即 解得 因此直线的方程为=, 即++=. 方法二设直线的方程为-=(+), 即-++=. 由 得=. 由 得=. 则+=-, 解得=-. 因此所求直线方程为-=-(+), 即++=. 方法三两直线和的方程为 (++)(--)=,① 将上述方程中(,)换成(---), 整理可得与关于(-)对称图形的方程: (++)(-+)=.② ①-②整理得++=,即为所求直线方程. 反思与感悟待定系数法,就是所研究的式子(方程)的结构是确定的,但它的全部或部分系数 是待定的,然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线的方程常用待定系数法求解.选 择合适的直线方程的形式是很重要的,一般情况下,与截距有关的,可设直线的斜截式方程 或截距式方程;与斜率有关的,可设直线的斜截式或点斜式方程等. 跟踪训练求在两坐标轴上截距相等,且到点()的距离为的直线的方程. 解当直线过原点时,设直线的方程为=, 即-=.

由题意知=, 解得=或=-. 所以所求直线的方程为-=或+=. 当直线不经过原点时, 设所求直线的方程为+=,即+-=. 由题意知=, 解得=或=. 所以所求直线的方程为+-=或+-=. 综上可知,所求直线的方程为-=或+=或+-=或+-=. 类型二 分类讨论思想的应用 例过点(-)、()分别作两条互相平行的直线,使它们在轴上截距之差的绝对值为,求这两条直 线的方程. 解当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为=-,=,它们在轴上截距之差的绝 对值为,符合题意. 当直线的斜率存在时,设其斜率为,则两条直线的方程分别为=(+),-=. 令=,得=-与=-. 由题意得-+=,即=. ∴两条直线的方程分别为=+,=+, 即-+=,-+=. 综上可知,所求的两直线方程分别为=-,=或-+=,-+=. 反思与感悟本章涉及直线方程的形式时,常遇到斜率的存在性问题的讨论,如两直线平行(或 垂直)时,斜率是否存在;已知直线过定点时,选择点斜式方程,要考虑斜率是否存在. 跟踪训练已知经过点(-)和点()的直线与经过点(,-)和点(,-)的直线互相垂直,求实数的 值. 解的斜率==, 当≠时,的斜率==. ∵⊥,∴·=-, 即·=-,得=. 当=时,(,-),(),这时直线为轴, (-)、(),这时直线为轴,显然⊥. 综上可知,实数的值为或. 类型三最值问题
例求函数=-的最大值与最小值,并求取最大值或最小值时的值.

解将已知条件变形为 =- =-. 故设(),(),(), ∴原函数变为=-. 则上式的几何意义为:轴上的点()到定点()与()的距离的差的绝对值,由图可知,当=时,取 最小值.
即=,解得=,此时点在坐标原点,最小=. 又由三角形性质可知-≤,即当-=,也即当、、三点共线时,取最大值. 由已知得的方程为-=-(-), 即=-+,令=,得=, ∴当=时,最大===. 反思与感悟数形结合是解析几何的灵魂,两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结 合常见的结合点,常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决,也能把几何问 题转化为代数问题来解决,这就是数形结合. 跟踪训练已知实数、满足+-=,求+的最小值. 解设点(,),则点在直线:+-=上,
+=()=()=, 如图所示,当⊥时,取最小值, 原点到直线的距离===, 即的最小值是. 所以+的最小值是.
例已知直线:-+=和两点(),(-,-). ()在直线上求一点,使+最小; ()在直线上求一点,使-最大. 解()设关于直线的对称点为′(,),

则 解得故′(-). 因为为直线上的一点, 则+=′+≥′, 当且仅当,,′三点共线时,+取得最小值,为′,点即是直线′与直线的交点, 解得 故所求的点的坐标为(-). (),两点在直线的同侧,是直线上的一点, 则-≤, 当且仅当,,三点共线时,-取得最大值,为,点即是直线与直线的交点,又直线的方程为= -, 解得 故所求的点的坐标为(). 反思与感悟()中心对称 ①两点关于点对称:设(,),(,),则(,)关于(,)对称的点为(-,-),即为线段的中点. ②两直线关于点对称:设直线,关于点对称,这时其中一条直线上任一点关于点对称的点在 另外一条直线上,必有∥,且到、的距离相等. ()轴对称 两点关于直线对称:设,关于直线对称,则直线与垂直,且的中点在上. 跟踪训练在直线:--=上求一点,使得: ()到()和()的距离之差最大; ()到()和()的距离之和最小. 解()如图,关于的对称点′().
直线′的方程为+-=, 由 解得 即(). ()如图,关于的对称点′(,),

由图象可知:+≥′. 当是′与的交点(,)时“=”成立, ∴(,).
.若方程(--)+(-+)+-=表示平行于轴的直线,则的值是()
,-.- 答案 解析因为平行于轴的直线斜率为零,所以由直线的一般式方程++=(+≠)得=-=?=, ≠,即--=-+≠.本题易错在忽视≠这一条件而导致多解. .已知直线不经过第三象限,若其斜率为,在轴上的截距(≠),则() .<.≤ .>.≥ 答案 解析由题意得直线的方程为=+(≠), ∵直线不经过第三象限, ∴≤,>,∴≤. .直线:-+=关于轴对称的直线方程为() .+-=.-+= .++=.--= 答案 解析直线:-+=与两坐标轴的交点分别为(-)和(),因为这两点关于轴的对称点分别为()和 (),所以直线:-+=关于轴对称的直线方程为+-=. .若直线-(+)+=与--=互相垂直,则点()到轴的距离为. 答案或 解析由题意,得+(+)=, 解得=或-, ∴点()到轴的距离为或. .直线过点()且与点(-)的距离最远,那么的方程为.

答案+-= 解析由题意知直线与垂直,且过点, ∴·=-, 又∵==, ∴=-, ∴的方程为-=-(-), 即+-=.
.一般地,与直线++=平行的直线方程可设为++=;与之垂直的直线方程可设为-+=. .过直线:++=与:++=的交点的直线系方程为+++λ(++)=(λ∈),但不包括. .点到直线与两平行线间的距离的使用条件: ()求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式. ()求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且,的系数对应相等.
课时作业
一.选择题 .已知直线的斜率为-,则将直线绕点沿顺时针方向旋转°所得的直线的斜率是() .-. 答案 解析由直线的斜率为-得直线的倾斜角为°,故绕点沿顺时针方向旋转°所得的直线的倾斜角 为°,斜率为. .过两点(-)和()的直线在轴上的截距为() .-.-. 答案 解析由两点式=,得=+,令=,有=-,即为在轴上的截距. .若直线++=平行于直线-+=,且在轴上的截距为,则,的值分别为() .和.-和 .和-.-和- 答案 解析由已知得直线++=过点(),则=-,又因为两直线平行,所以-=,解得=. .已知直线的方程为++=,当>,<,>时,直线必经过() .第一、二、三象限.第二、三、四象限 .第一、三、四象限.第一、二、四象限

答案 解析直线的方程可化为=--, ∵>,<,>, ∴->且->.故直线经过第一、二、三象限. .等腰直角三角形中,∠=°,若,的坐标分别为(),(),则点的坐标可能是() .()或() .()或() .() .() 答案 解析设点坐标为(,),根据题意可得 即 解得或 所以()或(). .已知点(,)在直线-+=上,为原点,则的最小值为()
.. 答案 解析直线上的点到原点的距离的最小值,即原点到直线的距离,根据点到直线的距离公式得 ==.故选. .已知点(),()到经过点()的直线的距离相等,则的方程为() .--= .= .--=或= .以上都不对 答案 解析当、都在的同侧时, 设的方程为-=(-), 此时,∥,所以===,的方程为--=. 当,在的两侧时,,到=的距离相等,因此,的方程为=,故选. .已知直线:=+,直线与关于直线=-对称,则直线的斜率为() .-..- 答案 解析关于直线=-的对称直线为-=-+,即=+, 所以的斜率为,故选. 二、填空题

.若点(,-)在直线:-+=上,则与:--=的位置关系是. 答案⊥ 解析将(,-)点的坐标代入-+=,
得=-,则 kl1 ·kl2 =-×=-,
∴⊥. .直线+-=与+-=的交点为(,-),则坐标原点到直线+=的距离为. 答案 解析将=,=-代入直线方程可得 解得 ∴直线+=可化为+-=. 则坐标原点到直线+-=的距离为=. .将一张坐标纸折叠一次,使得点()与点()重合,点()与点(,)重合,则+=. 答案 解析由题意可知纸的折痕应是点()与点()连线的垂直平分线,即直线=-,它也是点()与点(,) 连线的垂直平分线, 于是 解得故+=. 三、解答题 .已知两条直线:++=,:(-)++=,当为何值时,与()相交;()平行;()重合? 解当=时,:+=,:=,∴∥. 当=时,:++=,:+=,∴与相交. 当≠且≠时,由=,得=-或=,由=,得=. 故()当≠-且≠且≠时,与相交. ()当=-或=时,∥. ()当=时,与重合. 四、探究与拓展 .已知平面上一点(),若直线上存在点使=,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是 “切割型直线”的是.(填序号) ①=+;②=;③=;④=+. 答案②③ 解析根据题意,关键是看所给直线上的点到定点的距离能否取.可通过求各直线上的点到点的 最小距离,即点到各直线的距离来分析. ①由点到直线的距离公式得==>,故直线上不存在点到的距离等于,不是“切割型直线”; ②由点到直线的距离公式得=<,故直线上可以找到两个不同的点,使之到点的距离等于,

是“切割型直线”; ③由点到直线的距离公式得==,故直线上存在一点,使之到点的距离等于,是“切割型直 线”; ④由点到直线的距离公式得==>,故直线上不存在点到的距离等于,不是“切割型直线”. .已知三条直线:-+=,:+-(+)=,:(+)-+(+)=,它们围成△. ()求证:不论取何值时,△中总有一个顶点为定点; ()当取何值时,△的面积取最值?并求出最值. ()证明设直线与直线的交点为. 由 解得 ∴点的坐标为(-), ∴不论取何值,△中总有一个顶点(-)为定点. ()解由 解得 即与交点为(,+). 再由解得 即与交点为. 设边上的高为, ∴△=· =·· =·=·=. 当=时,=;当≠时,=. ∵函数()=+的值域为[,+∞)∪(-∞,-]. ∴-≤<或<≤, ∴≤≤或<≤. 当=时,△的面积的最大值为,当=-时,△的面积的最小值为.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语的 婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁能表 达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样;从书中 找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起相关的重 要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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