2018_2019高中数学第3章三角恒等变换疑难规律方法学案苏教版必修4


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第 3 章 三角恒等变换
1 三角恒等变换中角的变换的技巧

三角函数是以角为自变量的函数, 因此三角恒等变换离不开角之间的变换. 观察条件及目标 式中角之间的联系, 消除角之间存在的差异, 或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出 结论,或有利于公式的运用,化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 4 1 例 1 设 α ,β 为锐角,且满足 cosα = ,tan(α -β )=- ,求 cosβ 的值. 5 3 分析 利用变换 β =α -(α -β )寻找条件与所求之间的关系. 1 解 ∵α ,β 为锐角,且 tan(α -β )=- <0, 3 π ∴- <α -β <0. 2 ∴sin(α -β )=- tan ?α -β ? 10 =- , 2 1+tan ?α -β ? 10
2

3 10 2 cos(α -β )= 1-sin ?α -β ?= , 10 3 2 sinα = 1-cos α = . 5 ∴cosβ =cos[α -(α -β )]=cosα cos(α -β )+sinα sin(α -β ) 4 3 10 3 ? 10? 9 10 = × + ×?- ?= 50 . 5 10 5 ? 10 ? 二、利用目标中的角表示条件中的角 sin3α 13 例 2 设 α 为第四象限的角,若 = ,则 tan2α =_________________________. sinα 5 分析 要求 tan2α 的值,注意到 sin3α =sin(2α +α )=sin2α cosα +cos2α sinα ,代 sin3α 13 入到 = ,首先求出 cos2α 的值后,再由同角三角函数之间的关系求出 tan2α . sinα 5 sin3α sin?2α +α ? 解析 由 = sinα sinα sin2α cosα +cos2α sinα 13 2 = =2cos α +cos2α = . sinα 5

1

13 4 2 ∵2cos α +cos2α =1+2cos2α = .∴cos2α = . 5 5 ∵α 为第四象限的角, 3π ∴2kπ + <α <2kπ +2π (k∈Z), 2 ∴4kπ +3π <2α <4kπ +4π (k∈Z), 4 ∴2α 可能在第三、四象限,又∵cos2α = , 5 3 3 ∴2α 在第四象限,∴sin2α =- ,tan2α =- . 5 4 3 答案 - 4 三、注意发现互余角、互补角,利用诱导公式转化角 π ?π ? 5 例 3 已知 sin? -x?= ,0<x< ,求 4 ?4 ? 13 cos2x 的值. π ? ? cos? +x? ?4 ?

分析 转化为已知一个角?

?π -x?的三角函数值,求这个角的其余三角函数值的问题.这样 ? ?4 ?

?π ? 可以将所求式子化简,使其出现? -x?这个角的三角函数. ?4 ? ?π ? ?π ? ?π ? sin? +2x? 2sin? +x?·cos? +x? ?2 ? ?4 ? ?4 ? 解 原式= = π π ? ? ? ? cos? +x? cos? +x? ?4 ? ?4 ?
=2sin?

?π +x?=2cos?π -x?, ? ?4 ? ?4 ? ? ?

π π ?π ? 5 ? π? ∵sin? -x?= ,且 0<x< ,∴ -x∈?0, ?. 4? 4 4 ?4 ? 13 ?

?π ? ∴cos? -x?= ?4 ?

? 12 2?π 1-sin ? -x?= , ?4 ? 13

12 24 ∴原式=2× = . 13 13 四、观察式子结构特征,灵活凑出特殊角 1- 3 例 4 求函数 f(x)= sin(x-20°)-cos(x+40°)的最大值. 2 分析 观察角(x+40°)-(x-20°)=60°,可以把 x+40°看成(x-20°)+60°后运用 公式展开,再合并化简函数 f(x). 1- 3 解 f(x)= sin(x-20°)-cos[(x-20°)+60°] 2
2

1 3 = sin(x-20°)- sin(x-20°)-cos(x-20°)cos60°+sin(x-20°)sin60° 2 2 1 2 = [sin(x-20°)-cos(x-20°)]= sin(x-65°), 2 2 当 x-65°=k·360°+90°,即 x=k·360°+155°(k∈Z)时,f(x)有最大值 2 . 2

2

三角函数化简求值的“主角”

三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容,而“变角”是化简的重要形式,是化简求值 这场大戏中的主角,它的表演套路主要有以下几招: 第一招 单角化复角 1 例 1 已知 sinα = , α 是第二象限的角, 且 tan(α +β )=- 3, 则 tanβ 的值为________. 2 1 解析 因为 sin α = ,α 为第二象限的角, 2 所以 cos α =- 3 3 ,所以 tan α =- . 2 3

所以 tan β =tan[(α +β )-α ] - 3-?-

= ? 1+?- 3?×?-

? ?

3? ? 3 ?

?

3?

2 3 - 3 3 = =- . 2 3 3?

?

答案 -

3 3

点评 将单角用已知复角表示时, 需要将复角进行适当的组合、 拆分, 常见的拆分组合形式, 1 如:α =(α +β )-β ,α =β -(β -α ),α =(2α -β )-(α -β ),α = [(α +β ) 2 1 +(α -β )],α = [(β +α )-(β -α )]等. 2 第二招 复角化单角 sin?2α +β ? 例 2 化简: -2cos(α +β ). sinα sin?2α +β ?-2cos?α +β ?sin α 解 原式= sin α sin[α +?α +β ?]-2cos?α +β ?sin α = sin α

3

sin?α +β ?cos α -cos?α +β ?sin α sin?α +β -α ? sin β = = = . sin α sin α sin α 点评 由于该式含有 2α +β 和 α +β ,这两个角都是复角,而化简的要求为最终结果皆 为单角,所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可. 第三招 复角化复角 π 3π π 3 ?π ? ?3π ? 5 例 3 已知 <α < ,0<β < ,cos? +α ?=- ,sin? +β ?= ,求 sin(α +β )的 4 4 4 5 ?4 ? ? 4 ? 13 值. π 3π π π 解 因为 <α < , < +α <π , 4 4 2 4

?π ? 所以 sin? +α ?= ?4 ?

2?π 1-cos ? +α ?4

?=4. ? 5 ?

π 3π 3π 又因为 0<β < , < +β <π , 4 4 4 所以 cos?

?3π +β ?=- ? ? 4 ?

1-sin ?
2

?3π +β ?=-12, ? 13 ? 4 ?

所以 sin(α +β )=-sin(π +α +β )

??π ? ?3π ?? =-sin?? +α ?+? +β ?? ?? 4 ? ? 4 ?? ? ?π ? ?3π ? ?π ? ?3π ?? =-?sin? +α ?cos? +β ?+cos? +α ?sin? +β ?? ? ?4 ? ? 4 ? ?4 ? ? 4 ?? ?4 ? 12? ? 3? 5 ? 63 =-? ×?- ?+?- ?× ?= . ?5 ? 13? ? 5? 13? 65
π 3π 点评 由已知条件求出 sin α 或 cos α 过程较烦琐,故需要找到 α +β 与 +α 和 + 4 4 β 的关系,即是将所求复角化为已知复角,再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求 解.

3

三角恒等变换的几个技巧

有关三角的题目是高考的热点,素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外,还要注意灵 活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析,希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 3-sin70° 例1 =________. 2 2-cos 10°

4

解析

3-sin70° 3-sin70° 3-cos20° = = =2. 2 2-cos 10° 1+cos20° 3-cos20° 2- 2 2

答案 2 点评 常用的降幂技巧还有:因式分解降幂、用平方关系 sin θ +cos θ =1 进行降幂:如 1 4 4 2 2 2 2 2 2 cos θ +sin θ =(cos θ +sin θ ) -2cos θ sin θ =1- sin 2θ ,等等. 2 二、化平方式 例 2 化简求值: 解 因为 α ∈? 1 1 - 2 2 1 1 + cos2α 2 2
2 2

?α ∈?3π ,2π ??. ? ? 2 ?? ? ? ??

?3π ,2π ?,所以α ∈?3π ,π ?,所以 cos α >0, ? ? ? 2 ? 4 ? 2 ? ?
1 1 - 2 2 1+cos 2α = 2 1 1 - cos α = 2 2 sin
2

α sin >0,故原式= 2

α α =sin . 2 2

点评 一般地,在化简求值时,遇到 1+cos 2α ,1-cos 2α ,1+sin 2α ,1-sin 2α 常常化为平方式:2cos α ,2sin α ,(sin α +cos α ) ,(sin α -cos α ) . 三、灵活变角
2 2 2 2

?π ? 1 ?2π ? 例 3 已知 sin? -α ?= ,则 cos? +2α ?=________. ?6 ? 3 ? 3 ?
解析 cos?

?2π +2α ?=2cos2?π +α ?-1 ? ?3 ? ? 3 ? ? ?

7 ? ?1?2 2?π =2sin ? -α ?-1=2×? ? -1=- . 6 3 9 ? ? ? ? 7 答案 - 9 点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“ 于发现前者和后者的一半互余. 四、构造齐次弦式比,由切求弦 1 cos2θ 例 4 已知 tanθ =- ,则 的值是________. 2 1+sin2θ 解析 cos2θ cos θ -sin θ = 2 2 1+sin2θ cos θ +sin θ +2sinθ cosθ
2 2 2

π 2π -α ”表示待求角“ +2α ” ,善 6 3

3 4 1-tan θ = = = =3. 2 1+tan θ +2tanθ 1 ? 1? 1 1+ +2×?- ? 4 ? 2? 4 答案 3

1 1- 4

5

cos 2θ 点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把 “ ” 化为关于 sin θ 和 cos 1+sin 2θ θ 的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘以 2 sinα 求 cosα cos2α cos4α ·cos8α …cos2 例 5 求值:sin10°sin30°sin50°sin70°. 1 解 原式= cos 20°cos 40°cos 80° 2 4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° 2sin 40°cos 40°cos 80° = = 8sin 20° 8sin 20° sin 80°cos 80° 1 sin 160° 1 = = · = . 8sin 20° 16 sin 20° 16 点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.
n n-1

α 的值

4

聚焦三角函数最值的求解策略

一、化为 y=Asin(ω x+φ )+B 的形式求解 sin x+cos x+sin xcos x 例 1 求函数 f(x)= 的最值. 2-sin2x ?sin x+cos x? -sin xcos x 解 原函数变形得:f(x)= 2-sin2x
2 2 2 2 2 4 4 2 2

1 1 2 ?? 1 ? 1- sin 2x ? ?1+2sin2x??1-2sin2x? 4 ? ?? ? = = 2-sin2x ? 1 ? 2?1- sin2x? ? 2 ? 1 1 3 1 = sin2x+ .∴f(x)max= ,f(x)min= . 4 2 4 4 例 2 求函数 y=sin x+2sinxcosx+3cos x 的最小值,并写出 y 取最小值时 x 的集合. 解 原函数化简得:y=sin2x+2cos x+1=sin2x+1+cos2x+1=sin2x+cos2x+2 π? π 3π ? = 2sin?2x+ ?+2.当 2x+ =2kπ + ,k∈Z, 4? 4 2 ? 5π 即 x=kπ + ,k∈Z 时,ymin=2- 2. 8 此时 x 的集合为{x|x=kπ +
2 2 2 2

5π ,k∈Z}. 8
2

点评 形如 y=asin ω x+bsinω xcosω x+ccos ω x+d(a,b,c,d 为常数)的式子,都能 转化成 y=Asin(ω x+φ )+B 的形式求最值. 二、利用正弦、余弦函数的有界性求解

6

2sinx+1 例 3 求函数 y= 的值域. 2sinx-1 解 原函数整理得:sinx= ∵|sinx|≤1,∴?

y+1 . 2?y-1?

? y+1 ?≤1,解出 y≤1或 y≥3. ? 3 ?2?y-1??

sinx+3 例 4 求函数 y= 的值域. cosx-4 解 原函数整理得:sinx-ycosx=-4y-3, ∴ y +1sin(x+φ )=-4y-3, -4y-3 ∴sin(x+φ )= . 2 1+y ∵|sin(x+φ )|≤1,解不等式? -12-2 6 -12+2 6 ≤y≤ . 15 15 点评 对于形如 y= 界性去求最值. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例 5 设关于 x 的函数 y=cos2x-2acosx-2a 的最小值为 f(a),写出 f(a)的表达式.
2

?-4y-3? 2 ?≤1 得: ? 1+y ?

asinx+b asinx+b 或 y= 的这类函数,均可利用三角函数中弦函数的有 csinx+d ccosx+d

a?2 ?a ? ? 解 y=cos2x-2acosx-2a=2cos x-2acosx-(2a+1)=2?cosx- ? -? +2a+1?. 2? ? 2 ? ?
2

2

当 <-1,即 a<-2 时,f(a)=ymin=1,此时 cosx=-1. 2 当-1≤ ≤1,即-2≤a≤2 时,f(a)=ymin=- -2a-1,此时 cosx= . 2 2 2 当 >1,即 a>2 时,f(a)=ymin=1-4a,此时 cosx=1. 2 1,a<-2, ? ? a 综上所述,f(a)=?- -2a-1,-2≤a≤2, 2 ? ?1-4a,a>2.
2

a

a

a2

a

a

点评 形如 y=acos x+bcosx+c 的三角函数可转化为二次函数 y=at +bt+c 在区间[- 1,1]上的最值问题解决. 例 6 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最值. 解 设 sinx+cosx=t, t∈[- 2, 2 ],则 2sinxcosx=t -1, 原函数变为 y=t +t+1,
7
2 2

2

2

t∈[- 2, 2 ],当 t=- 时,ymin= ;当 t= 2时,ymax=3+ 2.
点评 一般地, 既含 sinx+cosx(或 sinx-cosx)又含 sinxcosx 的三角函数采用换元法可以 1 2 转化为 t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用,设 sinx+cosx=t,则 sinxcosx= (t 2 1 2 -1);sinx-cosx=t,则 sinxcosx= (1-t ). 2 四、利用函数的单调性求解 ?1+sinx??3+sinx? 例 7 求函数 y= 的最值. 2+sinx sin x+4sinx+3 ?sinx+2? -1 解 y= = sinx+2 sinx+2
2 2

1 2

3 4

1 =(sinx+2)- , ?sinx+2? 1 令 t=sinx+2,则 t∈[1,3],y=t- .

t

1 利用函数单调性的定义可证函数 y=t- 在[1,3]上为增函数.

t

故当 t=1 即 sinx=-1 时,ymin=0; 8 当 t=3 即 sinx=1 时,ymax= . 3 例 8 在 Rt△ABC 内有一内接正方形,它的一条边在斜边 BC 上,设 AB=a,∠ABC=θ ,△

P ABC 的面积为 P,正方形面积为 Q.求 的最小值. Q
1 1 2 a 解 AC=atanθ ,P= AB·AC= a tanθ .设正方形边长为 x,AG=xcosθ ,BC= . 2 2 cosθ

AG h-x BC 边上的高 h=asinθ ,∵ = , AB h



xcosθ asinθ -x asinθ = ,∴x= , a asinθ 1+sinθ cosθ
2 2

a sin θ 2 ∴Q=x = 2. ?1+sinθ cosθ ?
2 P sinθ ?1+sinθ cosθ ? 从而 = · 2 Q 2cosθ sin θ 2 ?2+sin2θ ? ?sin2θ + 1 ?. = =1+? sin2θ ? 4sin2θ ? 4 ?

8

t 1 设 t=sin2θ (0<t<1).∴y=1+ + . 4 t
1 t ∵函数 y= + 在区间(0,1]上是单调减函数, t 4 9 ?P? ∴当 sin2θ =1 时,? ?min= . 4 ?Q? 点评 一些复杂的三角函数最值问题, 通过适当换元转化为简单的代数函数后, 可利用函数 单调性巧妙解决.

5

行百里者半九十

——《三角恒等变换》一章易错问题盘点 一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例 1 已知 sinα = 5 10 ,sinβ = ,α 和 β 都是锐角,求 α +β 的值. 5 10 5 10 2 5 ,sinβ = ,所以 cosα = ,cosβ 5 10 5

[错解] 因为 α 和 β 都是锐角,且 sinα = 3 10 = , 10 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ = 5 3 10 2 5 10 2 × + × = . 5 10 5 10 2

π 3π ? π? 因为 α ,β ∈?0, ?,则 α +β ∈(0,π ).所以 α +β = 或 . 2? 4 4 ? [剖析] 由 sinα = 5 10 ,sinβ = ,α 和 β 都是锐角,可以知道 α 和 β 都是定值, 5 10

因此 α +β 也是定值,因此上述解法出现两个答案,其中就有一个是错误的.这是因为 sin(α +β )在第一、第二象限没有区分度,应选择计算 cos(α +β )的值. [正解] 因为 α 和 β 都是锐角,且 sinα = 3 10 = , 10 cos(α + β ) = cosα cosβ - sinα sinβ = 2 5 3 10 5 10 2 × - × = . 因为 α , β ∈ 5 10 5 10 2 5 10 2 5 ,sinβ = ,所以 cosα = ,cosβ 5 10 5

?0,π ?,则 α +β ∈(0,π ),所以 α +β =π . ? ? 2? 4 ?
温馨点评 根据条件求角,主要有两步:?1?求角的某种三角函数值;?2?确定角的范围,
9

从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数, 且确定范围要尽量缩小.

二、忽视条件中隐含的角的范围而致错 例 2 已知 tan α +6tanα +7=0,tan β +6tanβ +7=0,α ,β ∈(0,π ),且 α ≠β , 求 α +β 的值. [错解] 由题意知 tanα ,tanβ 是方程 x +6x+7=0 的两根,由根与系数的关系得:
?tanα +tanβ =-6 ? ? ?tanα tanβ =7 ?
2 2 2

① ②

tanα +tanβ -6 ∴tan(α +β )= = =1. 1-tanα tanβ 1-7 ∵0<α <π ,0<β <π ,∴0<α +β <2π , π 5π ∴α +β = 或 α +β = . 4 4 [剖析] 由①②知 tanα <0,tanβ <0.角 α ,β 都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.
?tanα +tanβ =-6, ? [正解] 由? ? ?tanα tanβ =7,

可知 tanα <0,tanβ <0.∵α ,β ∈(0,π ), π π ∴ <α <π , <β <π .∴π <α +β <2π . 2 2 5π 又∵tan(α +β )=1,∴α +β = . 4 温馨点评 在给值求角或给式求角时, 由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的 联系,一些隐含的制约条件不易被发现,容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔 细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.

三、忽略三角形内角间的关系而致错 3 5 例 3 在△ABC 中,已知 sinA= ,cosB= ,求 cosC. 5 13 3 4 [错解] 由 sinA= ,得 cosA=± , 5 5 5 12 4 由 cosB= ,得 sinB= ,当 cosA= 时, 13 13 5 16 cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB= . 65

10

4 当 cosA=- 时, 5 56 cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB= . 65 [剖析] 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的和为 π ,解题时要充分利用这一定理.本题得到 4 4 cosA=± 后,没有对 cosA=- 这一结果是否合理进行检验,从而导致结论不正确. 5 5 5 12 ? π? [正解] 由 cosB= >0,∴B∈?0, ?,且 sinB= . 2? 13 13 ? 3 4 由 sinA= ,得 cosA=± , 5 5 4 1 2π 当 cosA=- 时,cosA<- .∴A> . 5 2 3 12 3 π ? π? ∵sinB= > ,B∈?0, ?,∴B> . 2? 13 2 3 ? 4 故当 cosA=- 时,A+B>π ,与 A,B 是△ABC 的内角矛盾. 5 4 ∴cosA= , 5 16 cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB= . 65 温馨点评 涉及三角形中的内角问题时,一定要注意内角和 A+B+C=180°这一隐含条件. 尤其是由内角正弦值确定角的大小时,要防止增解出现.

四、忽略三角函数的定义域而致错 1+sinx-cosx 例 4 判断函数 f(x)= 的奇偶性. 1+sinx+cosx 1+sinx-cosx [错解] f(x)= 1+sinx+cosx 1+2sin = 1+2sin 2sin = 2cos

x
2

cos -?1-2sin ? 2? 2 ?
2

x ?

x?

x

cos +?2cos -1? 2 ? 2 2 ?
2

x ?

x

?

?cos 2? x? ?sin 2?

x?

x +sin ? 2? ? x =tan , x x? 2 +cos ? 2 2? x
2

由此得 f(-x)=tan?- ?=-tan =-f(x), 2 ? 2?

? x?

x

11

因此函数 f(x)为奇函数. [剖析] 运用公式后所得函数 f(x)=tan 的定义域为{x|x∈R,x≠2kπ +π ,k∈Z}.两函 2 数的定义域不同,变形后的函数定义域扩大致错. [正解] 事实上,由 1+sinx+cosx≠0 可得 sinx+cosx≠-1, 2 ? π? ? π? 即 2sin?x+ ?≠-1,从而 sin?x+ ?≠- , 4? 4? 2 ? ? π 5π π 7π 所以 x+ ≠2kπ + 且 x+ ≠2kπ + (k∈Z), 4 4 4 4 故函数 f(x)的定义域是
? ? 3π ?x|x≠2kπ +π 且x≠2kπ + ,k∈Z?, 2 ? ?

x

显然该定义域不关于原点对称. 因此,函数 f(x)为非奇非偶函数. 温馨点评 判断函数的奇偶性,首先要看定义域,若定义域不关于原点对称,则函数一定是 非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错. 五、误用公式 asinx+bcosx= a +b sin(x+φ )而致错 例 5 若函数 f(x)=sin(x+θ )+cos(x-θ ),x∈R 是偶函数,求 θ 的值. [错解] ∵f(x)=sin(x+θ )+cos(x-θ ), π? ? ∴f(0)=sinθ +cosθ = 2sin?θ + ?. 4? ? ∵f(x)=sin(x+θ )+cos(x-θ )是偶函数. π? ? ∴|f(0)|=f(x)max= 2.∴f(0)= 2sin?θ + ?=± 2, 4? ? π? π π ? ∴sin?θ + ?=±1,∴θ + =kπ + ,k∈Z. 4 4 2 ? ? π 即 θ =kπ + ,k∈Z. 4 [剖析] ∵x+θ 与 x-θ 是不同的角. ∴函数 f(x)的最大值不是 2,上述解答把 f(x)的最大值误当作 2来处理. [正解] ∵f(x)=sin(x+θ )+cos(x-θ )是偶函数. ∴f(x)=f(-x)对一切 x∈R 恒成立. 即 sin(x+θ )+cos(x-θ )=sin(-x+θ )+cos(-x-θ )恒成立. ∴[sin(x+θ )+sin(x-θ )]+[cos(x-θ )-cos(x+θ )]=0. ∴2sinxcosθ +2sinxsinθ =0 恒成立.
12
2 2

即 2sinx(cosθ +sinθ )=0 恒成立. π? ? ∴cosθ +sinθ = 2sin?θ + ?=0. 4? ? π π ∴θ + =kπ ,即 θ =kπ - ,k∈Z. 4 4 温馨点评 注意公式 asin x+bcos x= a +b ·sin?x+φ ?的左端是同角 x.当三角函数式
2 2

不符合这一特征时,不能使用该公式. 例如:函数 f?x?=sin?x+θ ?+ 3cos?x-θ ??x∈R?的最大值不是 2.

13


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