2017年春季学期新人教A版高中数学必修5学案 2.5 等比数列的前n项和(第1课时)


2.5 学习目标 等比数列的前 n 项和(第 1 课时) 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路.会用等比数列的前 n 项和公式解决一些有 关等比数列的简单问题. 合作学习 一、设计问题,创设情境 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨·班·达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准 备对大臣进行奖赏. 国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”这位聪明的大臣达依尔说:“陛下,请您在这张 棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒,在第二个格子内放上 2 颗麦粒,在第三个格子内放上 4 颗 麦粒,在第四个格子内放上 8 颗麦粒,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的 2 倍 的规律,放满棋盘的 64 个格子,并把这些麦粒赏给您的仆人吧.” 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放 1 粒,第二个格内放 2 粒,第三个格内放 4 粒,第 四个格内放 8 粒,?,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他 对这位大臣的奖赏承诺. 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢? 每个格的麦粒数组成首项为 1,公比为 2 的等比数列,大臣西萨·班·达依尔所要的奖赏就 是这个数列的前 64 项和.即求 ,怎么计算? 二、信息交流,揭示规律 如何求数列 1,2,4,?2 ,2 各项的和? 以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为: S64=1+2+4+8+?+2 +2 62 63 62 63 ① 用公比 2 乘以①的两边,得 2S64=2+4+8+16+?+2 +2 由②-①可得:S64=2 -1. 这种求和方法称为 等比数列的前 n 项和公式: 当 q≠1 时,Sn= ① 或 Sn= ② ,它是研究数列求和的一个重要方法. 64 63 64 ② 当 q=1 时,Sn=na1 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1,a2,a3,?,an,?它的前 n 项和是 Sn=a1+a2+a3+?+an, 由 得 所以(1-q)Sn=a1-a1q . 所以当 q≠1 时, 当 q=1 时, 公式的推导方法二: Sn=a1+a2+a3+?+an=a1+q(a1+a2+a3+?+an-1) =a1+qSn-1=a1+q(Sn-an) ? (1-q)Sn=a1-anq(结论同上). 现在我们看一看本节开头提出的问题,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺? 国王承诺奖赏的麦粒数为 S64==2 -1≈1.84×10 , 据测量,一般一千粒麦子重约为 40g,则这些麦子的总质量约为 7.36×10 g,约合 7360 亿 吨.国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢? 三、运用规律,解决问题 【例 1】求下列等比数列前 8 项的和. (1),?. (2)a1=27,a9=,q<0. 17 64 19 n 【例 2】某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果取整数)? 四、变式训练,深化提高 已知等比数列{an}满足 a3=12,a8=,记其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若 Sn=93,求 n. 五、反思小结,观点提炼 参考答案 一、设计问题,创设情境 S64=1+2+4+8+?+2 +2 62 63 二、信息交流,揭示规律 “错位相减法” Sn=na1 三、运用规律,解决问题 【例 1】解:(1)因为 a1=,q=,所以当 n=8 时,Sn=. (2)由 a1=27,a9=,可得=27·q .又由 q<0,可得 q=-. 于是当 n=8 时,S8=. 【例 2】分析:第 1 年销售量为 5000 台. 第 2 年销售量为 5000×(1+10%)=5000×1.1(台). 第 3 年销售量为 5000×(1+10%)×(1+10%) =5000×1.1 (台). ?? 第 n 年销售量为 5000×1.1 台. 则 n 年内的总销售量为(5000+5000×1.1+5000×1.1 +?+5000×1.1 )(台). 解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以从今年起,每年的销售量组成 一个等比数列{an},其中 a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000. 于是得到:=30000. 2 n-1 n-1 2 3 整理,得 1.1 =1.6. 两边取常用对数,得 lg1.1 =lg1.6,即 nlg1.1=lg1.6. 用计算器算得 n=≈5(年). 答:大约 5 年可以使总销售量达到 30000 台. 四、变式训练,深化提高 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,则 解得 所以 an=a1q =48·. (2)Sn==96, 由 Sn=93,得 96=93,解得 n=5. 五、反思小结,观点提炼 略 n-1 n n

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