2018年高中数学北师大版必修三应用案巩固提升案:第3章 6 章末综合检测 Word版含解析


章末综合检测(三)

(时间:120 分钟,满分:150 分)

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.给出下列四个命题:

①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;

②“当x为某一实数时,可使x2≤0”是不可能事件;

③“明天天津市要下雨”是必然事件;

④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个,5个全是次品”是随机事件.

B.1 D.3

其中正确命题的个数是( ) A.0
C.2 解析:选 C.①④正确.

2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.至少有1个黑球与都是红球 B.至少有1个黑球与都是黑球
C.至少有1个黑球与至少有1个红球 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球

解析:选 D.A 中的两个事件是对立事件,不符合要求;B 中的两个事件是包含关系,不是互斥事件,

不符合要求;C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件,不是互斥事件;D 中是互斥而不

对立的两个事件.故选 D.

3.某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表:

时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内

新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191

男婴数

2 716 4 899 6 812 8 590

这一地区男婴出生的概率约是( )

B.0.5

A.0.4

D.0.7

C.0.6

解析:选 B.由表格可知,男婴出生的频率依次约为 0.49,0.54,0.50,0.50,故这一地区男婴出生的概

率约为 0.5.故选 B.

4.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口 遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )

5

7

B.8

A.10

3

3

D.10

C.8

解析:选 B.记“至少需要等待 15 秒才出现绿灯”为事件 A,则 P(A)=4205=58.

5.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另 一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

1

1

B.2

A.3

5

2

D.6

C.3

解析:选 C.从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个

花坛中,共有 6 种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法,根据古典概型的概率计算公式,所

求的概率为46=23.故选 C.

6.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同 ,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

1

1

B.2

A.3

3

2

D.4

C.3

解析:选 A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有 9 个,其中这两位同学参加同一兴趣小组的结

果有 3 个,所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为39=13.

7.任取一个三位正整数N,则对数log2N是一个正整数的概率是( )

3 B.899

1 A.225

1 D.450

1 C.300

解析:选 C.三位正整数有 100~999,共 900 个,而满足 log2N 为正整数的 N 有 27,28,29,共 3 个,

故所求事件的概率为9300=3100.

8



在长为12

cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )

1

1

B.3

A.6

4

2

D.5

C.3

解析:选 C.设|AC|=xcm,0<x<12,则|CB|=(12-x) cm,要使矩形面积大于 20 cm2,只要 x(12-x)>

20,则 x2-12x+20<0,2<x<10,所以所求概率为 P=101-2 2=23,故选 C.

9.小明通过做游戏的方式来确定周末的活动,他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略),若弹珠

到圆心的距离大于

1 2

,则周末去逛公园;若弹珠到圆心的距离小于

1 4

,则去踢足球;否则,在家看书.则

小明周末不在家看书的概率为( )

1

1

B.6

A.2

5

13

D.12

C.16

选 C.由题意画出示意图,如图所示.表示小明在家看书的区域如图中阴影

解析:

则他在家看书的概率为π(12)2-π π(14)2=136,因此他不在家看书的概率

部分所示,

1163,故选 C.

为 1-136=

10.小莉与小明一起用A,B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6 )玩游戏,以小莉掷的A立方体朝上的数字为x,小明掷的B立方体朝上的数字为y,来确定点P(x,y),那么
他们各掷一次所确定的点P(x,y)落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为( )

1

1

B.9

A.6

1

1

D.18

C.12

解析:选 C.根据题意,两人各掷立方体一次,每人都有 6 种可能性,则(x,y)的情况有 36 种,即 P 点

有 36 种可能,而 y=-x2+4x=-(x-2)2+4,即(x-2)2+y=4,易得在抛物线上的点有(2,4),(1,3),(3,

3)共 3 个,因此满足条件的概率为336=112.

11.如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心牌(事件A)的概率为14,取到

方片牌(事件B)的概率是13,则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是( )

B.152,172

A.172,152

D.34,23

C.12,12

解析:选 A.因为 C=A+B,且 A,B 不会同时发生,即 A,B 是互斥事件,所以 P(C)=P(A)+P(B)=14

+13=172.

又 C,D 是互斥事件,且 C+D 是必然事件,

所以 C,D 互为对立事件,

则 P(D)=1-P(C)=1-172=152.

12.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )

3

1

B.10

A.10

39 C.5D.10

解析:选 D.记 3 个红球分别为 a1,a2,a3,2 个白球分别为 b1,b2.从 3 个红球、2 个白球中任取 3 个, 则所包含的基本事件有{a1,a2,a3},{a1,a2,b1},{a1,a2,b2},{a1,a3,b1},{a1,a3,b2},{a2,a3, b1},{a2,a3,b2},{a1,b1,b2},{a2,b1,b2},{a3,b1,b2},共 10 个.由于每个基本事件发生的机会均
等,因此这些基本事件的发生是等可能的.

用 A 表示“所取的 3 个球中至少有 1 个白球”,则其对立事件-A 表示“所取的 3 个球中没有白球”,

则事件-A 包含的基本事件有 1 个:{a1,a2,a3}. 所以 P(-A )=110.

故 P(A)=1-P(-A )=1-110=190.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.

13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高分别为:(单位:cm)

162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,17

9,149,172.

根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5

cm~170.5

cm之间的概率为________.(用分数表示)

解析:样本中有 8 人身高在 155.5 cm~170.5 cm 之间,所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在 155.5

cm~170.5 cm 之间的概率为280=25.

答案:25

14.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,则AM>AC的概率是________.

解析:设 CA=CB=m(m>0),则 AB=

2m,P(AM>AC)=ABA-BAC=

2m2-m m=1-

2 2.

答案:1-

2 2

15.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为________.

解析:甲,乙,丙站成一排有(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,

乙),(丙,乙,甲),共 6 种.

甲,乙相邻而站有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共 4 种.

所以甲,乙两人相邻而站的概率为46=23.

答案:23 16.袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球,若从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概
率是190,则从中任意摸出2个球,得到的都是白球的概率为________. 解析:因为袋中装有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球,若从袋中任意摸出 2 个球,共有 10 种情况, 没有得到白球的概率为110,设白球个数为 x,则黑球个数为 5-x,那么,可知白球有 3 个,黑球有 2 个,

因此可知从中任意摸出 2 个球,得到的都是白球的概率为130.

答案:130 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率. (1)所得的三位数大于400; (2)所得的三位数是偶数.

解:1,5,6 三个数字可以排成 156,165,516,561,615,651,共 6 个不同的三位数.

(1)大于 400 的三位数的个数为 4,所以 P=46=23.

(2)三位数为偶数的有 156,516,共 2 个,

所以相应的概率为 P=26=13.

18.(本小题满分12分)现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求: (1)所取的2道题都是甲类题的概率;
(2)所取的2道题不是同一类题的概率. 解:将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题,基本事件为:{1,

2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,

5},{4,6},{5,6},共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的.

(1)用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,

4},{3,4},共 6 个,所以 P(A)=165=25.

(2)用 B 表示“不是同一类题”这一事件,则 B 包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},

{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共 8 个,所以 P(B)=185.

19.(本小题满分12分)某河流上的一座水力发电站,每年6月份的发电量y(单位:万千瓦时)与该河上

游在6月份的降雨量x(单位:mm)有关.据统计,当x=70时,y=460;x每增加10,y增加5.已知近20年x的

值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220

,140,160.

(1)完成如下的频率分布表:

近20年6月份降雨量频率分布表

降雨量

70

110

140

160

200

220

频率

0.05

0.2

0.1

(2)将频率视为概率,试估计今年6月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的

概率.

解:(1)在所给数据中,降雨量为 110 mm 的有 3 个,为 160 mm 的有 7 个,为 200 mm 的有 3 个.故近

20 年 6 月份降雨量频率分布表为:

降雨量

70

110

140

160

200

220

频率

0.05

0.15

0.2

0.35

0.15

0.1

(2)由已知可得 y=0.5x+425,

记“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”为事件 A,

则 P(A)=P(y<490 或 y>530)

=P(x<130 或 x>210)

=P(x=70)+P(x=110)+P(x=220)

=0.05+0.15+0.1

=0.3.

因此估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率为 0.3.

20.(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表

:(单位:人)

参加书法社团 未参加书法社团

参加演讲社团

8

5

未参加演讲社团

2

30

(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1 ,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
解:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人,

故至少参加上述一个社团的共有 45-30=15(人),

所以从该班随机选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 P=1455=13.

(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1}, {A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4, B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共 15 个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.

事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共 2 个.

因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P=125.

21.(本小题满分12分)求解下列各题:

(1)在区间[0,4]上随机取两个整数m,n,求关于x的一元二次方程x2-

n

x+m=0有实数根的概率P(A);

(2)在区间[0,4]上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程x2-

n

x+m=0有实数根的概率P(B).

解:方程 x2- nx+m=0 有实数根,

则 Δ=n-4m≥0,

(1)由于 m,n∈[0,4],且 m,n 是整数,

因此列举可得 m,n 可能的取值共有 25 组.

又满足 n-4m≥0 的 m,n 的取值有?????mn==00,?????mn==10,?????mn==20,?????mn==30,?????mn==40,?????mn==41,共 6 组.

因此,原方程有实数根的概率为 P(A)=265.

(2)由于??0≤m≤4对应的区域(如图中正方形区域所示)面积为 16, ?0≤n≤4

而 n-4m≥0(m,n∈[0,4])表示的区域(如图中阴影部分所示)面积为12×1×4=2.

因此,原方程有实数根的概率为 P(B)=SS正阴方影形=18.

22.(本小题满分12分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为

此,某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表

所示(单位:min):

组别

候车时间

人数



[0,5)

2



[5,10)

6



[10,15)

4



[15,20)

2



[20,25]

1

(1)求这15名乘客的平均候车时间;

(2)估计这60名乘客中候车时间少于10 min的人数;

(3)若从上表第三、四组的6人中选2人做进一步调查,求抽到的2人恰好来自不同组的概率.

解:(1)115×(2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1)=115×157.5=10.5,

故这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 min.

(2)由频率估计概率,可知侯车时间少于 10 min 的概率为21+56=185,

故这 60 名乘客中候车时间少于 10 min 的人数约为 60×185=32.

(3)记第三组的 4 名乘客为 a1,a2,a3,a4,第四组的 2 名乘客为 b1,b2.从 6 人中选 2 人的所有可能情 况为(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3, b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共 15 种,其中 2 人恰好来自不同组的情况为(a1,b1),(a1, b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),共 8 种,
故所求概率为185.


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