福建省长泰一中高中数学《两角和的正、余弦函数》教案(北师大版必修4)


3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角差的余弦函数 3.1.2 两角和的正、余弦函数 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)能够推导两角差的余弦公式; (2)能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式; (3)能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明; (4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (5)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过创设情境: 通过向量的手段证明两角差的余弦公式, 让学生进一步体会向量作为 一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数,然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、 两角和的正、余弦公式;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解掌 握两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. (3)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 0 思考:如何求 cos(45-30) 的值. 【探究新知】 1. 思考:如何用任意角α 与β 的正弦、 余弦来表示 cos(α -β )?你认为会是 cos(α β )=cosα -cosβ 吗? [展示课件]在直角坐标系作出单位圆,利用向量的方法求解(如教材图 3.1). 学生思考:以上推导是否有不严谨之处? 教师引导学生分析其中的过程发现: 上述证明仅仅是对α 与β 为锐角的情况, 但α 与 β 为任意角时上述过程还成立吗? 当α -β 是任意角时,由诱导公式总可以找到一个角θ ∈[0,2π ) ,使 cosθ =cos(α -β ) 若θ ∈[0,π ],则 OA ? OB = cosθ =cos(α -β ) 若θ ∈[π ,2π ),则 2π -θ ∈[0,π ],且 OA ? OB =cos(2π -θ )=cosθ =cos(α -β ). 结论归纳: 对任意角α 与β 都有 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? cos (? ? ? ) =cos ? ·cos ? +sin ? ·sin ? 这个公式称为:差角的余弦公式 C? ? ? 注意:1.公式的结构特点 2.对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦,就可以求出 cos(α -β ) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.利用差角余弦公式求 cos 15 的值 分析: cos 15 = cos (45 ? 30) 0 = cos (60 ? 45) 0 = cos (135? 120) 0 0 0 思考:你会求 sin 75 的值吗? 例 2.已知 cos ? ? ? 0 3 ? ? , ? ? ( , ? ) ,求 cos ( ? ? ) 的值. 5 2 4 0 0 0 【巩固深化,发展思维】 1.cos 175 ·cos 5 5 +sin 175 ·sin 5 5 = 0 0 0 0 . 0 2.cos (? ? 21 ) ·cos (? ? 24 ) +sin (? ? 21 ) ·sin (? ? 24 ) = 3.已知 sin??sin?=? 1 1 ? ? ,cos??cos?= ,??(0, ),??(0, ),求 cos(???)的值. 2 2 2 2 . [展示投影]思考: 如何利用差角余弦公式导出下列式子: cos (? ? ? ) = cos ? ·cos ? - sin ? ·sin ? sin (? ? ? ) =sin ? ·cos ? ? cos sin (? ? ? ) =cos ? ·cos ? -cos ? ·sin ? ? ·sin ? (可让学生自己讲解,教师只是适当点拨而已) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 3. 已 知 sin ? ? sin (? ? ? ) 的值. 思考题:已知 ? 、 ? 都是锐角, cos ? ? [学习小结] ①.两角差的余弦公式:cos (? ? ? ) =cos ? ·cos ? +sin ? ·sin ? ②.两角和的余弦公式:cos (? ? ? ) = cos ? ·cos ? - sin ? ·sin ? 两角和的正弦公式: sin (? ? ? ) =sin ? ·cos ? ? cos 两角差的正弦公式: sin (? ? ? ) =cos ? ·cos ? -cos 4 ? 5 3? ), 求 cos (? ? ? ) , , ? ? ( , ? ) , cos ? ? ? , ? ? (? , 5 2 13 2 4 5 ,cos (? ? ? ) ? ? , 求 cos ? . 5 13 C? ? ? C? ? ? S? ? ? S? ? ? ? ·sin ? ? ·sin ? ③.注意公式的结构特点 五、评价设计 1.作业:习题 3.1 A 组第 1,2,3 题. 2. (备选题) :求证:cos?+ 3 sin?=2sin( 证一:左边=2( ? +?) 6 1 3 ? ? cos?+ sin?)=2(sin cos?+cos sin?) 2 2 6 6 =2sin( 证二:右边=2(sin ? +?)=右边 6 (构造辅助角) 1 3 ? ? cos?+cos sin?)=2( cos?+ sin?) 2 2 6 6 = cos?+ 3 sin?=左边 3、进一步理解这四个公式的特点. 六、课后反思:

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