2017_2018学年高中数学第三章不等式17一元二次不等式的应用课时作业北师大版必修5


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课时作业 17 一元二次不等式的应用

|基础巩固|(25 分钟,60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B=?????x???x-x 2≤0

???,则 A∩B 等于(
??

)

A.{x|-1≤x<0} B.{x|0<x≤1}

C.{x|0≤x<2}

D.{x|0≤x≤1}

解析:∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2},

∵A∩B={x|0<x≤1}.

答案:B 2.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式为 y=3 000+20x- 0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总

成本)时的最低产量是( )

A.100 台 B.120 台

C.150 台 D.180 台 解析:由 3 000+20x-0.1x2≤25x 得 x2+50x-30 000≥0,解得 x≥150 或 x≤-200(舍

去).故选 C.

答案:C

3.关于

x

的不等式

ax-b>0

的解集是(1,+∞),则关于

x

ax+b 的不等式 x-2 >0

的解集是

()

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

1

??a>0 解析:由 ax-b>0 的解集为(1,+∞)得???ba=1,

所以axx-+2b>0 即xx+ -12>0,

解得 x<-1 或 x>2.故选 A.

答案:A 4.(甘肃白银会宁一中月考)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 实数 a 的取值范围是( )

A.[-2,2] B.[-2,2)

C.(-2,2] D.(-2,2) 解析:(1)当 a-2=0,即 a=2 时,不等式即为-4<0,对一切 x∈R 恒成立,

当 a≠2 时,则有???a-2<0 ??Δ =

a-

2+

a-



即?????a-<22<a<2, ∴-2<a<2. 综上,可得实数 a 的取值范围是(-2,2].

答案:C 5.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1

+x)成立,若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是( )

A.(-∞,-1)

B.(2,+∞)

C.(-∞,-1)∪(2,+∞)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析:由 f(1-x)=f(1+x),知 f(x)的对轴称为 x=a2=1,故 a=2.

又 f(x)开口向下,所以当 x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min=f(-1)=-1-2+ b2-b+1=b2-b-2,

f(x)>0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 f(x)min=b2-b-2>0 恒成立, 解得 b<-1 或 b>2.故选 C.

答案:C

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

x+1 6.不等式 x ≤3 的解集是________.

2

解析:原不等式等价于x+x 1-3≤0?1-x2x≤0?2x- x 1≥0?x(2x-1)≥0,且 x≠0,解

得 x≥12或 x<0.

答案:?????x???x≥12或x<0

?? ? ??

7.若函数 f(x)= x2-6kx+k+8的定义域为 R,则实数 k 的取值范围是________.

解析:由题意得,不等式 x2-6kx+k+8≥0 的解集为 R,所以函数 y=x2-6kx+k+8

的图象在 x 轴上方,与 x 轴至多有一个公共点.

所以 Δ =(-6k)2-4×1×(k+8)≤0, 整理得 9k2-k-8≤0,(k-1)(9k+8)≤0,

解得-89≤k≤1.

所以实数 k 的取值范围是???-89,1???. 答案:???-89,1??? 8.某小型服装厂生产一种风衣,日销售量 x 件与售价 P 元/件之间的关系为 P=150- 2x,生产 x 件所需成本为 C=50+30x 元,要使日获利不少于 1 300 元,则该厂日产量应在
________范围之内(件). 解析:由题意得:(150-2x)x-(50+30x)≥1 300, 化简得:x2-60x+675≤0,解得 15≤x≤45,且 x 为整数. 答案:{x|15≤x≤45,x∈N*} 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) x+1 9.解不等式:(1)2-x≥-2; x+2 (2)x2+x+1>1. 解析:(1)由x2+ -1x≥-2 可得x2+ -1x+2≥0,即52- -xx≥0,所以xx- -52≥0,不等式等价于

?? x-

x-

???x-2≠0,

解得 x<2 或 x≥5.所以原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

(2)因为 x2+x+1>0,所以原不等式可化为 x+2>x2+x+1,即 x2-1<0,解得-1<x<1,

所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}.

3

10.某单位在对一个长 800 m,宽 600 m 的草坪进行绿化时,是这样想的:中间为矩形 绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一, 试确定花坛宽度的取值范围.
解析:设花坛的宽度为 x m,则草坪的长为(800-2x) m,宽为(600-2x) m. 根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥12×800×600, 整理得 x2-700x+60 000≥0, 解不等式得 x≥600(舍去)或 x≤100, 由题意知 x>0,所以 0<x≤100. 当 x 在(0,100]内取值时,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.

|能力提升|(20 分钟,40 分)

11.在 R 上定义运算 × :A × B=A·(1-B),若不等式(x-a) × (x+a)<1 对任意的

实数 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<2 C.-12<a<32 D.-32<a<12

解析:(x-a) × (x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,所以-x2+x+a2-

a<1,即 x2-x-a2+a+1>0 对 x∈R 恒成立,所以 Δ =1-4(-a2+a+1)=4a2-4a-3<0,

所以(2a-3)(2a+1)<0,即-12<a<32.

答案:C

x-

x+

12.不等式

x- 2

<0 的解集为________.

解析:原不等式可化为(3x-4)(2x+1)(x-1)2<0,如图,

利用数轴标根法可得不等式的解集为?????x???-12<x<43且x≠1

???.
??

答案:?????x???-12<x<43且x≠1

?? ? ??

13.设函数 f(x)=lg(ax2+2ax+1).若函数的定义域为 R,求 a 的取值范围.

解析:因为 f(x)的定义域为 R,

所以当 x∈R 时,

4

ax2+2ax+1>0 恒成立. 令 g(x)=ax2+2ax+1. ①当 a=0 时,g(x)=1,显然符合题意.

②当 a≠0 时,则必须满足?????Δa>=0 4a2-4a<0, 所以 0<a<1. 综合①②可知,a 的取值范围为[0,1).

14.某工厂的固定成本为 3 万元,该工厂每生产 100 台某产品的生产成本为 1 万元,设 生产该产品 x(百台),其总成本为 g(x)万元(总成本=固定成本+生产成本),并且销售收入

r(x)满足 r(x)=???-0.5x2+7x-

x

??13.5 x

假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围内?

(2)工厂生产多少台产品时盈利最大? 解析:依题意得 g(x)=x+3,设利润函数为 f(x), 则 f(x)=r(x)-g(x),

所以 f(x)=???-0.5x2+6x-

x

??10.5-x x

(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,

因为 f(x)>0,

所以?????0-≤0x.≤ 5x72+6x-13.5>0 或?????x10>.75-x>0,

即?????0x≤2-x1≤2x7+27<0 或?????x10>.75-x>0,

得???0≤x≤7 或 7<x<10.5, ??3<x<9
则 3<x≤7 或 7<x<10.5, 即 3<x<10.5. 所以要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在大于 300 台小于 1050 台的范围内. (2)当 3<x≤7 时, f(x)=-0.5(x-6)2+4.5, 故当 x=6 时,f(x)有最大值 4.5. 而当 x>7 时,f(x)<10.5-7=3.5.

所以当工厂生产 600 台产品时,盈利最大.

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