2018-2019学年高中数学几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则


精心备战 ,精神 饱满; 小心开 战,经 受考验 ;沉着 应战, 曙光初 现;衷 心攻战 ,胜利 见面; 成功结 战,斩 将过关 。高考 临近, 愿你这 位久经 沙场的 战士, 顺风扬 帆,一 路向前 ,金榜 如愿! 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 【选题明细表】 知识点、方法 常用函数的导数 导数的计算 导数的几何意义 综合问题 【基础巩固】 1.下列结论 ①(sin x)′=-cos x;②( )′= ;③(log3x)′= 其中正确的有( B ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 ;④(ln x)′= . 题号 1,3,8 2,7 4,5,10 6,9,11,12,13 解析 : 在①中 (sin x) ′ =cos x, 在②中 ( ) ′ =- , 在③中 (log3x) ′ = ,④正确.故选 B. 2.已知 f(x)=x2,则 f′(3)等于( C ) (A)0 (B)2x (C)6 (D)9 解析:因为 f(x)=x2,所以 f′(x)=2x,所以 f′(3)=6. 故选 C. 3.函数 y=x2sin x 的导数为( A ) (A)y′=2xsin x+x2cos x (B)y′=2xsin x-x2cos x (C)y′=x2sin x+2xcos x (D)y′=x2sin x-2xcos x 解析:因为 y=x2sin x, 所以 y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. 故选 A. 4.已知 f(x)=x3 的切线的斜率等于 1,则其切线方程有( B ) (A)1 个 (B)2 个 (C)多于两个 (D)不能确定 解析:因为 f′(x)=3x2, 所以令 3x2=1,得 x=± . 所以可得切点坐标为( , )和(- ,- ). 所以 f(x)=x3 有两条斜率为 1 的切线.故有两个切线方程.故选 B. 5.(2018·大理高二检测 ) 曲线 y= ( B ) (A) (B) (C) (D) ,于是 y′ =1, 在点 ( , ) 处切线的倾斜角为 解析:由于 y= ,所以 y′= 所以曲线在点( , )处的切线的斜率等于 1,倾斜角为 .故选 B. 6.(2018·葫芦岛高二检测)曲线 y=ex 在(2,e2)处的切线与坐标轴所 围三角形的面积为( D ) (A) e2 (B)2e2 (C)e2 (D) 解析:y′=ex,所以 y′ x=2 =e2, 所以切线方程为 y-e2=e2(x-2), 即 y=e2x-e2. 当 x=0 时,y=-e2;当 y=0 时,x=1. 所以 S 三角形= ×1×|-e2|= .故选 D. 7.(2018· 大 连 高 二 双 基 检 测 ) 已 知 f(x)= x3+3xf ′ (0), 则 f ′ (1)= . 解析:由于 f′(0)是一常数, 所以 f′(x)=x2+3f′(0), 令 x=0,则 f′(0)=0, 所以 f′(1)=12+3f′(0)=1. 答案:1 8.求下列函数的导数: (1)y= -ln x; (2)y=(x2+1)(x-1); (3)y= ; (4)y= . - . 解:(1)y′=( -ln x)′=( )′-(ln x)′= (2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′ =(x3)′-(x2)′+x′-1′ =3x2-2x+1. (3)y′= (4)y′= = = . . 【能力提升】 9.(2018·昆明高二质检 ) 设 f0(x)=sin x,f1(x)=f ′ 0(x),f2(x)=f ′ 1 (x),…, (x)=f′n(x),n∈N,则 f2 018(x)等于( B ) (B)-sin x (C)cos x (D)-cos x (A)sin x 解析:因为 f0(x)=sin x, 所以 f1(x)=f′0(x)=(sin x)′=cos x, f2(x)=f′1(x)=(cos x)′=-sin x, f3(x)=f′2(x)=(-sin x)′=-cos x, f4(x)=f′3(x)=(-cos x)′=sin x, 所以 4 为最小正周期,所以 f2 018(x)=f2(x)=-sin x. 故选 B. 10.(2018· 桂 林 高 二 检 测 ) 若 存 在 过 点 O(0,0) 的 直 线 l 与 曲 线 f(x)=x3-3x2+2x 和 y=x2+a 都相切,则 a 的值是( C ) (A)1 (B) (C)1 或 (D)1 或- 解析:因为(0,0)在 f(x)上,当 O(0,0)为 f(x)的切点时, 因为 k=f′(0)=2,所以 l 方程为 y=2x, 又 l 与 y=x2+a 相切,所以 x2+a-2x=0 满足Δ =4-4a=0,得 a=1;当 O(0,0) 不是 f(x)的切点时, 设切点为(x0, -3 +2x0),则 k=3 -6x0+2, 所以 =3 -6x0+2,得 x0= , 所以 k=- ,所以 l:y=- x.由 得 x2+ x+a=0,由题意得Δ = -4a=0,所以 a= .综上得 a=1 或 a= .故 选 C. 11.已知 f(x)=cos x,g(x)=x,则关于 x 的不等式 f′(x)+g′(x)≤0 的解集为 . 解析:f′(x)+g′(x)=-sin x+1≤0,所以 sin x≥1, 又 sin x≤1,所以 sin x=1,所以 x= +2kπ ,k∈Z. 答案:{x x= +2kπ ,k∈Z} 12.(2018· 银 川 高 二 月 考 ) 设 函 数 f(x)=ax- , 曲 线 y=f(x) 在 点 (2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=

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