广东省广州市执信中学、广雅中学、广州二中、广州六中四校联考2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


2017 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考试卷 文 科 数 学
命题:邓军民(广州二中) 审题:程汉波 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前 ,考生务必将自己的姓名、准 考证号、座位号、学校、班级等考生信息填涂在答卷上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用 橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答卷上,写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)若集合 A ? y y ? 2 (A) ? 0,3? 本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

?

x

? , B ? {x | x

2

? 2x ? 3 ? 0, x ? R} ,那么 A ? B =
(C) ? 3, ?? ?

(B) ? ?1,3?

? 1? ? ? 3, ?? ? (D) ? ??,

(2)已知命题 p : ?x ? R, x2 ? 2 x ? 4 ? 0 ,则 ? p 为 (A) ?x ? R, x2 ? 2 x ? 4 ? 0 (C) ?x ? R, x2 ? 2 x ? 4 ? 0 (3)已知向量 a ? ? ?1,0? , b ? ? ? (A) (B) ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0
2

(D) ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0
2

?1

3? ? ? ,则向量 a 与 b 的夹角为 2 2 ? ? ,
5? 6
(C)

? 6
2

(B)

? 3

(D)

2? 3

(4)已知函数 f ? x ? ? x ? a(b ? 1) x ? a ? b ( a, b ? R ),则“ a ? 0 ”是“ f ? x ? 为偶函数”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (5)已知函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? (其中 ? ? 将 g ? x ? ? sin 2 x 的图像 (A)向左平移 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?
2

)的图像如图 1 所示,为了得到 f ( x ) 的图像,则只需

?
? 个单位长度 3

7?

? 个单位长度 3

x
图1

(B)向右平移

? (C)向左平移 个单位长度 6

? (D)向右平移 个单位长度 6

1

(6)关于 x 的方程 x2 ? x ? q ? 0 ( q ?[0,1] ) 有实根的概率为 (A)

1 3

(B)

2 3

(C)

1 4

(D)

3 4

(7)如图 2 所示,程序框图的输出结果是 s ? 填入的关于 n 的判断条件是 (A) n ? 8? (B) n ? 8?

11 ,那么判断框中应 12
(D) n ? 10?

(C) n ? 10?

(8)直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦长为
图2

(A)1

(B)2

(C)4

(D) 4 6

(9) 设椭圆的两个焦点分别为 F 1 和 F2 , 过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?PF 1F 2 为等腰直角三 角形,则该椭圆的离心率为 (A) 2 ? 2 (B)

2 ?1 2 (C) (D) 2 ? 1 2 2

5

(10)一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 3 所示, 则这个四棱锥的体积是 (A) 2 (B) 4 (C) 8
2 2 1 1

(D) 12

正(主)视图

侧(左)视图

(11)数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? (A) ?2 (B) ?1

1 (n ? N * ) ,则 a2016 ? 1 ? an
(D)

(C) 2

1 2

4

图3

俯视图

(12)已知函数 f ( x) = í 数为 (A) 2

ì ? 2- | x |, x ? 2 ,函数 g ( x) = 3 - f (2 - x) ,则函数 y = f ( x) - g ( x) 的零点的个 2 ? ? ( x - 2) , x > 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

?x ? 2 y ? 1 ? (13)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ?1 ? 0 ?
(14)已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则



sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?



2

(15)已知双曲线 C 与双曲线 长为 .

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且 C 经过点 M (?3, 2 3) ,则双曲线 C 的实轴 9 16

4 x ? 3 y ? 16 ? 0 和直线 l2:x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4x 上一动点 P 到直线 l1 的距离为 d1 , (16)已知直线 l1:
动点 P 到直线 l2 的距离为 d2 ,则 d1 ? d2 的最小值为 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,已知 A ? (Ⅰ) 求 cos C 的值; (Ⅱ) 若 BC ? 10 , D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

?
4

, cos B ?

4 . 5

(18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列. (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 令 bn ?

1 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an ? an?1

(19) (本小题满分 12 分) 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分为 100 分) 的茎叶图如图 4 所示,其中甲班学生的平均分是 85 . (Ⅰ ) 计算甲班 7 位学生成绩的方差 s 2 ; (Ⅱ) 从成绩在 90 分 以上的学生中随机抽取两名学生, 求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式: 方差 s ?
2 2 2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ??? ? xn ? x ? , ? ? ? n?

甲 8 9 5 x 0 6 2 7 8 9
图4

乙 6 1 1 3 1 1 6

?

? ?

?

?

?

其中 x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn . n

3

(20) (本小题满分 12 分) 如图 5 所示,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? BC ? 2 , AA 1 ?4,
D1 P B1 C1

P 为线段 B1D1 上一点.
(Ⅰ) 求证: AC ? BP ; (Ⅱ) 当 P 为线段 B1D1 的中点时,求点 A 到平面 PBC 的距离.

A1

D A
图5

C B

(21) (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,满足 f (0) ? 2 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1 . (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ) 若关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? 0 在 ? ?1, 2? 上有解 ,求实数 t 的取值范围; (Ⅲ) 若函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 的两个零点分别在区间 (?1, 2) 和 (2, 4) 内,求实数 m 的取值范围.

(22) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 3 . ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 ? 0, ?1? ,且离心率为 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 如图 6 所示, A, B, D 是椭圆 E 的顶点,M 是椭圆 E 上除顶点外的任意一点, 直线 DM 交 x 轴 于点 Q ,直线 AD 交 BM 于点 P ,设 BM 的斜率为 k , PQ 的斜率为 m ,则点 N ? m, k ? 是否在定直线上, 若是,求出该直线方程,若不是,说明理由.
y P D M A O B Q x

图6

4

2017 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考参考答案 文 科 数 学 一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 C 9 D 10 B 11 D 12 A

二、填空题 13. 1 ; 三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ) 因为 cos B ? 14.

1 ; 3

15. 3 ;

16. 4 .

4 3 2 且 B ? ? 0, ? ? ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? .????????????2 分 5 5

所以 cos C ? cos ?? ? A ? B ? ? cos ?

? 3? ? ? B? ? 4 ?

? cos

3? 3? 2 4 2 3 2 . ?????????5 分 cos B ? sin sin B ? ? ? ? ? ?? 4 4 2 5 2 5 10 2 ?????????5 分) 10
2 2

(或 cos C ? ? cos ? A ? B ? ? ?

? 2? 7 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 1 ? cos B ? 1 ? ? ? .????????????6 分 ? 10 ? ? ? 10 2 ? ?
10 AB ? BC AB 7 ? 由正弦定理得 ,即 2 2 ,解得 AB ? 14 .????????????8 分 sin A sin C 10 2
在 ?BCD 中, BD ? 7 , CD ? 7 ? 10 ? 2 ? 7 ?10 ?
2 2 2

4 ? 37 ,????????????9 分 5

所以 CD ? 37 .????????????10 分 18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵ a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,???????????????3 分 且 a2 , a5 , a14 成等比数列,? ?1 ? 4d ? ? ?1 ? d ??1 ? 13d ? ,
2

??????????????4 分

即 d ? 2 ,??????5 分 ∴ an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1. (Ⅱ)? bn ? ??????????????6 分

1 1 ? an ? ? (2n ? 1) ,???????????????7 分 an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 1)

5

1 1 1 1 1 1 n(1 ? 2n ? 1) ? Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 ? n ? n 2 .??????????? ????12 分 2n ? 1

????????????10 分

19.(本小题满分 12 分) 解: (I)∵甲班学生的平均分是 85, ∴

92 ? 96 ? 80 ? 80 ? x ? 85 ? 79 ? 78 ? 85 .????????????1 分 7
????????????????? 3 分

∴ x ? 5.

则甲班 7 位学生成绩的方差为

s2 ?

2 2 2 1? ?6 ? ? ? ?7 ? ? ? ?5 ? ? 02 ? 02 ? 7 2 ? 112 ? ? 40 .?????????5 分 ? ? ? ? 7?

(II)甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A, B , 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C, D, E .??????????? 6 分 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D? ,

? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D? , ? B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ? D, E ? .???????????8 分
其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况:

? A, B? , ? A, C ? , ? A, D? , ? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D? , ? B, E ? .??????????10 分
记“甲班至少有一名学生”为事件 M ,则 P ? M ? ?

7 ,?????????11 分 10
7 .????12 分 10

即从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:连结 BD ,因为 ABCD ? A1B1C1D1 是长方体,且 AB ? BC ? 2 , 所以四边形 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD ,?????????1 分 因为在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BB 1 ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD , 所以 AC ? BB1 ,?????????2 分 因为 BD ? 平面 BB1D1D , BB1 ? 平面 BB1D1D , 且 BD ? BB1 ? B ,?????????3 分 所以 AC ? 平面 BB1D1D ,?????????4 分 因为 BP ? 平面 BB1D1D ,所以 AC ? BP .?????????5 分 (Ⅱ)点 P 到平面 ABC 的距离 AA 1 ? 4 ,?????????6 分
A

D1 P A1 B1

C1

D B

C

6

?ABC 的面积 S ?ABC ?
所以 VP ? ABC ?

1 ? AB ? BC ? 2 ,?????????7 分 2

1 1 8 S ?ABC ? AA1 ? ? 2 ? 4= ,?????????8 分 3 3 3

在 Rt?BB1P 中, BB1 ? 4, B1P ? 2 ,所以 BP ? 3 2 ,同理 CP ? 3 2 . 又 BC =2 ,所以 ?PBC 的面积 S?PBC ?

1 ? 2? 2

?3 2 ?

2

? 12 ? 17 .?????????10 分
1 3 8 ,??????11 分 3

设三棱锥 A ? PBC 的高为 h ,则因为 VA? PBC ? VP? ABC ,所以 S? PBC ? h ? 所以

17 8 8 17 8 17 ,即三棱锥 A ? PBC 的高为 .????????12 分 h ? ,解得 h ? 3 3 17 17

21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 f (0) ? 2, 得 c ? 2 ,??????????1 分 又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1 ,得 2ax ? a ? b ? 2 x ? 1 ,?????????2 分
? 2a ? 2 故? 解得: a ? 1, b ? ?2 ,??????????3 分 ?a ? b ? ?1

所以 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2 .

??????????4 分

(Ⅱ) f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ? 1)2 ? 1 ,对称轴为 x ? 1? ? ?1, 2? ,??????????5 分 又 f (?1) ? 5 , f (2) ? 2 ,所以 f max ( x) ? f (?1) ? 5 . ??????????6 分

关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? 0 在 ? ?1, 2? 有解,则 t ? f (x)max ? 5 , 所以实数 t 的取值范围为 (??,5) . ??????????8 分

(Ⅲ) g ( x) ? x2 ? (2 ? m) x ? 2 ,若 g ( x) 的两个零点分别在区间 (?1, 2) 和 (2, 4) 内,

? g (?1) ? 0 ? 5 ? m ? 0 ? ? 则满足 ? g (2) ? 0 ? ? 2 ? 2m ? 0 ? g (4) ? 0 ?10 ? 4m ? 0 ? ?
解得: 1 ? m ?

??????????11 分

5 ? 5? ,所以实数 m 的取值范围为 ?1, ? . 2 ? 2?

??????????12 分

22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意,得 b ? 1 ,???????????????1 分
2 2 2 2 c 3 ,又 a 2 ? b2 ? c 2 ,所以 3a ? 4c ? 4 ? a ? b ? ,即 a 2 ? 4 ,??????????2 分 ? a 2

7

所以椭圆 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????????3 分 4
1 x ? 1 ,????4 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ? ?2,0? , B ? 2,0? , D ? 0,1? ,所以直线 AD 的方程为 y ? 由题意,直线 BP 的方 程为 y ? k ? x ? 2? , k ? 0 且 k ? ?

1 , 2

1 ? ? y ? x ?1 ? 4k ? 2 4 k ? , 2 由? ,解得 P ? ? ???????????????5 分 ? 2k ? 1 2k ?1 ? ? y ? k ? x ? 2? ? ? y ? k ? x ? 2? ? 设 M ? x1 , y1 ? ,则由 ? x 2 , 2 ? y ? 1 ? ?4
2 2 2 2 消去 y 整理得 4k ? 1 x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 ???????????????6 分

?

?

所以 2 x1 ?

16k 2 ? 4 8k 2 ? 2 , 即 ???????????????????7 分 x ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

? 8k 2 ? 2 4k ? 4k y1 ? k ? x1 ? 2 ? ? ? 2 , ? 2 ? ,????????????????8 分 ,即 M ? 2 4k ? 1 ? 4k ? 1 4k ? 1 ?
设 Q ? x2 ,0? ,则由 M , D, Q 三点共线得 kDM ? kDQ ,即

?

4k ?1 ?1 4k 2 ? 1 ? ,?????????9 分 2 x2 8k ? 2 4k 2 ? 1

所以 x2 ?

? 4k ? 2 ? 8k 2 ? 2 4k ? 2 , 0 ? , ?????????10 分 ,所以 Q ? ? 2 4k ? 4k ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1 ?

4k ?0 2k ? 1 2 k ? 1 PQ m ? ? 所以 的斜率 , ?????????????11 分 4k ? 2 4k ? 2 4 ? 2k ? 1 2k ? 1
所以 2k ? 1 ? 4m ,即点 N ? m, k ? 在定直线 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 上. ?????????????12 分

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